深入數(shù)列本質(zhì) 構(gòu)造函數(shù)解題

☉河北省秦皇島市山海關(guān)第一中學(xué) 閻國培

數(shù)列本質(zhì)上是以正整數(shù)集為定義域的特殊函數(shù)，具有函數(shù)的一些特殊性質(zhì).對于其中的一些特殊的數(shù)列不等式問題，僅從數(shù)列的思想方法層面來研究會存在一定的困難，此時從函數(shù)層面來思考問題則顯得較為簡單.

一、真題解析，解法點評

1.真題呈現(xiàn)

（2017年浙江卷第22題）已知數(shù)列｛xn｝滿足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）.證明：當(dāng)n∈N*時，

（1）0＜xn+1＜xn；

2.試題解析

證明：（1）略.

（2）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1，可得xnxn+1=+xn+1·ln（1+xn+1），則xnxn+1-4xn+1+2xn=-2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）.根據(jù)上式構(gòu)造函數(shù)，記（fx）=x2-2x+（x+2）ln（1+x）（x≥0），2，函數(shù)（fx）在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞增，則在x=0處取得最小值，即（fx）≥（f0）=0.

3.解法點評

上述問題為涉及不等式證明的數(shù)列問題，主要考查學(xué)生知識的綜合運用以及邏輯思維能力.求解過程由結(jié)論出發(fā)進(jìn)行不等式的靈活變形，通過對數(shù)列形式的有效分析構(gòu)造了研究數(shù)列不等式的函數(shù)，最后利用函數(shù)的性質(zhì)來實現(xiàn)不等式的證明.上述解法是對函數(shù)思想解題應(yīng)用的充分體現(xiàn)，對于涉及數(shù)列的單調(diào)性和不等式問題.如果能通過形式轉(zhuǎn)化的方式構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題來求解，往往會有著良好的解題效果，對于該思路可以進(jìn)行推廣學(xué)習(xí).

二、考題銜接，函數(shù)分析

上述利用函數(shù)研究數(shù)列不等問題是一種較為有效的方法，充分體現(xiàn)了函數(shù)與數(shù)列的本質(zhì)聯(lián)系性，一般的求解過程是基于理解和分析數(shù)列的通項或數(shù)列間關(guān)系式，通過變形的方式構(gòu)造與之形式相似的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來研究數(shù)列問題，其中以單調(diào)性最為常用.

試題1 （2015年廣東卷第21題）數(shù)列｛an｝滿足a1+

（1），（2）略；

分析：從結(jié)論“Sn＜2+2lnn”入手，對其縮放轉(zhuǎn)化為求不等式左邊含有（n-1）項，可考慮將lnn分解為（n-1）項，因而可將問題轉(zhuǎn)化為證明，可通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的性質(zhì)來求解.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項an；

（2）設(shè)Sn=a1+a2+…+an，Tn=a1·a2·…·an，求證

解：（1）略.

在上述數(shù)列不等式問題證明過程中都采用了構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式成立，函數(shù)思想是分析數(shù)列性質(zhì)的重要的思想方法.求解的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，實現(xiàn)原問題的有效轉(zhuǎn)化.

三、解后反思，教學(xué)思考

1.夯實基礎(chǔ)，注重融合

分析近年高考數(shù)列問題，高考對數(shù)列考查偏向于與其他知識結(jié)合，例如不等式、函數(shù)等，更加注重考查學(xué)生的創(chuàng)新意識與綜合分析能力.但基礎(chǔ)知識仍然是解題的關(guān)鍵，試題千變?nèi)f化，但仍然是以基礎(chǔ)知識、基本思想作為解題的突破口.教學(xué)中也應(yīng)該相對應(yīng)地重視學(xué)生基礎(chǔ)能力、基本經(jīng)驗的培養(yǎng)，緊密圍繞教材，緊扣考綱要求，夯實基礎(chǔ)知識，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識的有效融合，鍛煉學(xué)生思維的的靈活性，特別要加強(qiáng)知識融合后解題方法的學(xué)習(xí)，以提高學(xué)生解題能力為教學(xué)出發(fā)點.

2.思想學(xué)習(xí)，發(fā)展思維

數(shù)列是一種以正整數(shù)集為定義域的特殊函數(shù)，所以對于特定問題可以從函數(shù)性質(zhì)角度來研究，可通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)模型來研究數(shù)列問題，從而拓寬解題的思路.數(shù)列的構(gòu)造思想和模型化思想是高考的難點，課改的推進(jìn)促進(jìn)了題型的綜合演變，但沒有降低對數(shù)學(xué)思想的考查要求，反而相應(yīng)的有所上升.利用構(gòu)造思想，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是研究數(shù)列問題的一種重要思路，在教學(xué)中要以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和構(gòu)造思想為教學(xué)重點，力求在思想上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3.注重創(chuàng)新，提升能力

創(chuàng)新是高考永恒不變的主旋律.近年的高考數(shù)列試題也越發(fā)注重對學(xué)生創(chuàng)新意識的考查，以數(shù)列問題為例，問題考查遵從層次型、遞進(jìn)型、思維情景型，使學(xué)生便于理解、探究、創(chuàng)造、深入反思問題，充分理解數(shù)列知識的核心重點，從而掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想.在教學(xué)中也應(yīng)該注重知識的創(chuàng)新學(xué)習(xí)，充分利用教學(xué)資源，重現(xiàn)數(shù)列發(fā)展演變規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，激活創(chuàng)新思維，使學(xué)生可以很好地應(yīng)對高考創(chuàng)新題，并提升自身的整體創(chuàng)新能力.

四、總結(jié)提高

數(shù)列不等式問題的解決要從數(shù)列的本質(zhì)出發(fā)，充分結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性，利用函數(shù)單調(diào)性來解析數(shù)列規(guī)律，從而促進(jìn)問題的高效解決.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生研究和討論數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，注重基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，掌握解題的思想方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，從思想上提升解題能力.

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