高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)值得注重之“五環(huán)”

☉安徽省臨泉一中 張凱華

新課程理念指導(dǎo)下的教學(xué)對于學(xué)生的發(fā)展、學(xué)生解題能力、學(xué)習(xí)興趣等諸多方面更為關(guān)注，高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的有效組織也因此成為新課標(biāo)理念下數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個令人關(guān)注的重要問題.本文結(jié)合教學(xué)實踐與案例對高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)作出了一定的思考與研究.

一、注重提煉思想方法

數(shù)學(xué)知識的理解與記憶因為數(shù)學(xué)思想方法的牢固掌握與運(yùn)用而變得更加簡單，因此，教師在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)有目的、有計劃地引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行體會和提煉，并在數(shù)學(xué)思想與方法的啟迪中逐漸提升自己數(shù)學(xué)解題的綜合能力.

例1 已知方程2sin2x-cosx-a=0有實根，求參數(shù)a的取值范圍.

學(xué)生自主思考，易得：令t=cosx，原方程即為2t2+t+a-2=0，t∈［-1，1］，問題轉(zhuǎn)化為：方程2t2+t+a-2=0在［-1，1］內(nèi)至少有一實根，求a的范圍.

解法二：原題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)a=-t2-t+2的值域，t∈［-1，1］，易知-1≤a≤

解法三：原題轉(zhuǎn)化為：求a的取值范圍，使y=a與拋物線y=-2t2-t+2（t∈［-1，1］）相交.由數(shù)形結(jié)合法，易知-1≤a≤.

解法四：設(shè)f（x）=2x2+x+a-2，原題轉(zhuǎn)化為f（x）在［-1，1］內(nèi)與x軸有交點，借助函數(shù)圖像易得解法一.

解法一的關(guān)鍵在于三角方程語言向代數(shù)方程的轉(zhuǎn)化并最終轉(zhuǎn)化成解不等式，方程與不等式的轉(zhuǎn)化思想在整個解題過程中得到了充分的體現(xiàn).解法二則運(yùn)用分離參數(shù)將原方程有解轉(zhuǎn)化成了函數(shù)值域問題進(jìn)行了求解.解法三、四則分別運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)的思想方法使得問題由抽象變得具體最終得以解決.

教師在一題多解的這一案例的解決中不斷啟發(fā)學(xué)生并得到了以上四種解法，教師在四種解法得以呈現(xiàn)之后又引導(dǎo)學(xué)生對這幾種解法進(jìn)行比較與評價，最終得到數(shù)學(xué)思想與方法的巧妙運(yùn)用使得解法二、三、四更為簡便與快捷的結(jié)論.

事實上，此題還可以通過設(shè)定兩個未知數(shù)來轉(zhuǎn)化原題，教師可以將這一方法進(jìn)行一定的引導(dǎo)并讓學(xué)生在課后繼續(xù)探索，這樣的解題注重的是數(shù)學(xué)思想方法在具體運(yùn)用中的提煉過程，是對學(xué)生思維進(jìn)行不同角度的鍛煉與拓展過程.

二、注重暴露探索過程

德國教育家第斯多惠曾發(fā)表過教師應(yīng)“教人發(fā)現(xiàn)真理”的著名觀點.高中數(shù)學(xué)教師在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)注重解題途徑的探尋過程，讓學(xué)生在“為什么這么做”的問題引領(lǐng)與思考中不斷嘗試與探索，并最終在認(rèn)知沖突、思維觸動、交流與反思中形成正確的思維.

例2 求證：正四棱錐底面上任意一點到其各個側(cè)面的距離之和恒定不變.

分析與嘗試：①根據(jù)題意嘗試作一點P及其到各側(cè)面的距離，該點毫無規(guī)律性，故而嘗試失敗.②勉強(qiáng)作出每一個距離但無法確定其長度大小，與解題無法聯(lián)系因而失敗.

教師在學(xué)生的兩次失敗嘗試之后開始引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變視角進(jìn)行思考：如果不作距離轉(zhuǎn)而在“和”字上做文章可否突破呢？如果學(xué)生仍然不能求得突破，教師可以追問：你們?nèi)绻麑υ}進(jìn)行降維思考能得到怎樣的命題呢？怎樣證明？可有什么啟示？

學(xué)生在一系列的嘗試與教師的點撥中逐步獲得了正確的解題方法，也很快明白了換角度思考解決問題的普遍規(guī)律.因此，教師在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)著眼于學(xué)生對題目的分析、推理與方法選擇，使得探索解決問題的過程能夠暴露出來并讓學(xué)生體驗到思維的碰撞與轉(zhuǎn)變.

三、注重學(xué)生思維選擇

教師在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生真正袒露其解題的思維和過程，并根據(jù)學(xué)生所反饋出的思維信息進(jìn)行及時的點撥、糾正與引導(dǎo)，盡量使學(xué)生在自身的思維軌道上產(chǎn)生更多的生成性信息，即使面對與自身思維相違背的學(xué)生反饋，教師也應(yīng)該盡量換位思考去了解學(xué)生心中所想，并因此獲得最適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)手段和方法，學(xué)生也因此在分析與比較中學(xué)會了解題方法的選擇.

思路4：在思路3的基礎(chǔ)上利用sin210°+cos210°=1實施“1”的代換（受阻）.

教師面對學(xué)生的這幾種解題思路應(yīng)該尤其關(guān)注解題受阻的的學(xué)生是因何原因而致解題不順，引導(dǎo)學(xué)生在自身的思路基礎(chǔ)上繼續(xù)思考，使基礎(chǔ)不同、思路各異的學(xué)生在自身思考的基礎(chǔ)上都能獲得一定的思維突破并逐步建立解題的信心，學(xué)生在教師的點撥之下很快利用代換、和差化積公式等思路使該題求解，還有學(xué)生針對分母系數(shù)為2的特點對該題進(jìn)行了新的求解：

學(xué)生在這樣的解題探究中真正明白死搬硬套公式在此題的求解中是不可取的，此題的解決必須在充分挖掘已知角之間、已知角與特殊角之間關(guān)系的基礎(chǔ)上靈活地選用三角公式才能實現(xiàn).

四、正視通法與巧法的關(guān)系

解決問題尤其是某類問題時所運(yùn)用的具有普遍意義的方法我們稱之為通法.以基礎(chǔ)知識為依據(jù)、基本方法為技能的通法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用合乎一般的思維規(guī)律并能為全體學(xué)生所掌握.

著眼于“巧”和提高的巧法是在靈活運(yùn)用雙基的基礎(chǔ)上對已知條件的巧妙綜合與使用.教師在日常教學(xué)中應(yīng)認(rèn)識到通性通法的普遍性、基礎(chǔ)性以及巧法的靈活性與狹隘性并因此樹立立足通法、兼顧巧法的態(tài)度.

比如，教師在無理不等式的教學(xué)中往往會比較重視數(shù)形結(jié)合方法的教學(xué)與運(yùn)用，去根號這一基本方法卻往往因此被大家所忽視.當(dāng)學(xué)生在y=、y=g（x）等圖像難以呈現(xiàn)時往往因為運(yùn)算基本功沒有得到應(yīng)有的訓(xùn)練導(dǎo)致解題出錯.因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)對學(xué)生加強(qiáng)基本思想方法的訓(xùn)練并在此基礎(chǔ)上向特殊技巧過渡，學(xué)生的思維才能在扎實的掌握與理解這一基礎(chǔ)之上得到逐步的深化.

五、注重辨析錯誤

教師有目的、有針對地對學(xué)生解題時的典型錯誤進(jìn)行暴露往往能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)要素與規(guī)律的進(jìn)一步理解，學(xué)生再次對問題進(jìn)行探究并找出錯誤的癥結(jié)所在才能真正達(dá)成治標(biāo)又治本的根本目的.

比如，學(xué)生在解決一些含參數(shù)的問題時往往會忽視限制條件的挖掘而導(dǎo)致解題出錯.筆者在圓錐曲線的教學(xué)中結(jié)合學(xué)生的這一實際情況給出了這樣一個問題.

筆者面對學(xué)生的錯誤并沒有急于糾正，而是將問題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化：假設(shè)p趨向正無窮大且圓半徑保持不變，將圓心沿著x軸往正方向無限移動的同時拋物線的開口越來越大，兩者之間必然會出現(xiàn)沒有公共點的現(xiàn)象.此時，學(xué)生的解題與教師的直觀化假設(shè)出現(xiàn)了矛盾，教師隨即引導(dǎo)學(xué)生對矛盾的根源進(jìn)行了探究并獲得了正解.如果對學(xué)生的解題錯誤進(jìn)行正確的處理將會展現(xiàn)出教師高超的教學(xué)藝術(shù)，學(xué)生也能從錯題中獲得更多的體驗與感悟并因此提高解題準(zhǔn)確率.

高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)作為一門科學(xué)也應(yīng)該有其藝術(shù)性的處理與展現(xiàn)，只有這樣，才能使學(xué)生在獨立的創(chuàng)造性活動中發(fā)展自身思維并因此促成自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)良好品質(zhì)的形成與發(fā)展.H