轉(zhuǎn)化思維 化難為易

☉浙江省寧海中學(xué) 王旭朝

立體幾何問題對(duì)學(xué)生的空間想象能力有比較高的要求，許多學(xué)生對(duì)這類問題感到比較頭疼，那有沒有合適的方法將立體幾何問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？答案是肯定的.通過建立空間直角坐標(biāo)系，可以將問題進(jìn)行很好地轉(zhuǎn)化，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，使得三維的問題二維化，做到化繁為簡，化難為易.

一、接觸高考，感受真題

（2017年浙江卷第19題）如圖1所示，已知四棱錐PABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，且E為PD的中點(diǎn).

（1）證明：CE∥平面PAB；

（2）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

圖1

圖2

問題解析：（1）如圖2，設(shè)PA的中點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF，CE，由于E為PD中點(diǎn)，所以EF∥AD.在四邊形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，所以EF∥BC，EF=BC，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF.又因?yàn)镃E?平面PAB，而BF?平面PAB，所以CE∥平面PAB，所以問題得證.

（2）如圖3所示，取AD的中點(diǎn)為O，連接PO，OB，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)，因?yàn)椤鱌AO是等腰直角三角形，所以PO⊥AO.在直角梯形AOCB中，BC⊥OB，可得BC⊥平面POB，BC⊥PB.令CD=BC=2，則AD=PD=4，PO=BO=2，PB=2，則∠POB=120°.則B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（-1，0，

圖3

二、題后思考，一題多解

本題中第（1）問的解法比較固定，根據(jù)定理“平面外的一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則平面外的直線與該平面平行”可以證明.而對(duì)于第（2）問，證明的方法就比較多，解題思路也是多種多樣.但是筆者認(rèn)為，解決本題最好的方法是建立空間直角坐標(biāo)系，從而將各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)化，利用空間直角坐標(biāo)系的知識(shí)解決問題.在本題中是以AD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立的空間直角坐標(biāo)系，相對(duì)來說比較快速地解決了問題.但是建立坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇并不唯一，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是能夠?qū)栴}的解決產(chǎn)生幫助，在此再提供一種空間直角坐標(biāo)系的建立方法，以發(fā)散學(xué)生的思維.如圖4所示，若以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系呢？

圖4

以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其本質(zhì)與以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)是一樣的，只不過所有的坐標(biāo)的值都變成了正的，對(duì)于實(shí)際的計(jì)算有一些簡化.通過已知條件得出坐標(biāo)值之后，基本的解題方法與上一種解法非常類似，起到鞏固提高的作用.

三、觸類旁通，拓展提高

無獨(dú)有偶，筆者在今年遼寧省的高考模擬題中發(fā)現(xiàn)了一道與上題類似的題目，甚至題目類型都是非常相似，只不過第（2）問略有不同.此題的解決同樣需要建立空間直角坐標(biāo)系，將各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)化，通過空間向量法解決問題.如果學(xué)生能夠在高考之前接觸到這一類型的模擬題及真題，那么在實(shí)際的高考中一定會(huì)如魚得水，占盡優(yōu)勢.

（2017年遼寧省高考一模試題）如圖5所示，四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn).

圖5

（1）求證：FG∥平面PED；

（2）求平面FGH與平面PBC所成銳角的二面角.

解法探究及點(diǎn)評(píng)：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)F，G分別為線段PB，EB的中點(diǎn)，所以有FG∥PE.又因?yàn)镻G?平面PED，PE?平面PED，所以可證FG∥平面PED.

（2）因?yàn)镋A⊥平面ABCD，EA∥PD，所以有PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD.

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD⊥CD.

可采用空間向量法，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橛蠥D=PD=2EA=2，所以有D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）.

因?yàn)镕，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)，所以F（1，1，

設(shè) n2=（x2，y2，z2） 是 平 面 PBC 的 法 向 量 ， 則 有令z2=1，得n2=（0，1，1），所以.因此，平面FGH與平面PBC所成銳角的二面角的大小為

四、歸納反思，總結(jié)提高

建立空間直角坐標(biāo)系是有效解決立體幾何問題的重要方法，該方法可避免分析抽象的空間關(guān)系，將復(fù)雜的空間幾何問題轉(zhuǎn)化為較簡單的向量問題，從而有效降低思維難度.在解這類問題時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇至關(guān)重要，如果坐標(biāo)原點(diǎn)選擇得不好，后面的計(jì)算反而會(huì)變得更為煩瑣，不利于問題的解決.學(xué)生在實(shí)際解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分運(yùn)用題目中的已知條件，根據(jù)實(shí)際的情況選擇合適的方法.還有非常重要的一點(diǎn)，就是學(xué)生需要重視對(duì)各地高考模擬題的訓(xùn)練，通過高考模擬題的練習(xí)可以掌握實(shí)際高考試題的出題形式，更加了解實(shí)際的高考，從而在真正的考試中取得理想的成績.

1.張浩.高三數(shù)學(xué)立體幾何的復(fù)習(xí)建議和思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（8）.

2.藍(lán)云波.對(duì)2015年湖北高考立體幾何試題的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（11）.

3.吉俊杰.“空間運(yùn)動(dòng)”與“圓錐”的“不解之緣”——由2016年浙江高考談“動(dòng)態(tài)”立體幾何教學(xué)建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（11）.

4.周芳芳.提質(zhì)重在反思，高效重在追求——基于蘇教版立體幾何部分教學(xué)案例的比較與思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（21）.

5.胡浩，馬林.新課標(biāo)全國卷立體幾何考題分析及2016備考建議［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（18）.H