例談初中數(shù)學(xué)的分類討論意識的培養(yǎng)與運用

王明

摘 要：分類討論思想是把所考慮的對象分成若干個不同的情形下或條件下分別進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)初涉這種思想方法，因此培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想方法的意識和運用具有十分重要的意義。

關(guān)鍵詞：分類討論；問題解決；數(shù)學(xué)教學(xué)

分類討論思想是將復(fù)雜問題簡單化的一個重要方法，即將一個綜合性較強(qiáng)，思路較復(fù)雜的問題分解成若干個中不同情況下或不同條件下的單一問題，從而使得復(fù)雜問題簡單化。近年來，中學(xué)數(shù)學(xué)教材的不斷改革，素質(zhì)教育下教學(xué)逐步走向注重生活問題與初中數(shù)學(xué)知識的緊密聯(lián)系。例如出租車計費問題，家庭水電煤費的繳納，個人所得稅的繳納以及醫(yī)保報銷費等等，無不蘊含著分類討論的數(shù)學(xué)思想。而這些對初次接觸的初中生來講無疑是個難題，思路難理清，方法不到位，解答過程凌亂。那么，作為一線教師該如何培養(yǎng)學(xué)生的分類討論的意識，以及如何有條理地分類，清晰地解答，是我們一線教師需要考慮和解決的問題。

一、 從生活實際入手，培養(yǎng)分類討論的意識

例1 某城市按以下規(guī)定收取每月的水費：用水量不超過6噸，按每噸1.2元收費；如果超過6噸，未超過部分仍按每噸1.2元收取，而超過部分則按每噸2元收費.如果某用戶5月份繳了水費11.2元，那么該用戶5月份用水量為多少？

分析：這是一個生活中階梯收費的問題，與實際生活聯(lián)系緊密，其中分類計算的需求也很自然，很明顯。計算時，需要考慮用水量是否超過還是不足6噸。分類討論的實際運用是一種生活實例對不同情況下的要求，也是我們?yōu)楦佑欣趯嶋H問題的解決所采用的一種手段。我們在平時的教學(xué)過程中需時時與生活聯(lián)系，將分類討論的意識“潤物細(xì)無聲”地交給學(xué)生。

二、 尋找分類討論的出發(fā)點，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性

例2 當(dāng)a為何值時，函數(shù)y=（a-1）x2+2x-3與x軸有交點？

分析：1. a=1時，一次函數(shù)y=2x-3與x軸必有交點；2. a≠1時，為二次函數(shù)，當(dāng)Δ=4+12（a-1）=0，即a=23時，與x軸有且僅有一個交點；當(dāng)Δ>0，即a>23時，與x軸有2個不同的交點；當(dāng)Δ<0，即a<23時，與x軸無交點。以上分類從函數(shù)這一概念入手條理清晰，教學(xué)過程符合學(xué)生的認(rèn)知順序，能讓學(xué)生較自然地理解，思維簡明清晰，解答過程亦能順暢書寫。教學(xué)中需讓學(xué)生認(rèn)識到“函數(shù)”這一概念是分類討論的出發(fā)點，而到了二次函數(shù)則考查Δ的情況是一種常規(guī)思路。

例3 （例題教學(xué)）證明：同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。

教學(xué)設(shè)計：1. 我們在進(jìn)行教學(xué)的時從圖（1）的特殊情況入手：因為OA=OC，所以∠A=∠C，所以∠BOC=∠A+∠C=2∠A，所以∠A=12∠BOC。2. 思考與討論：如圖（2），BC所對的圓心角有多少個？BC所對的圓周角有多少個？請在圖中畫出BC所對的圓心角和圓周角，并與同學(xué)們交流。觀察上圖，在畫出的無數(shù)個圓周角中，這些圓周角與圓心O有幾種位置關(guān)系？提問：設(shè)BC所對的圓周角為∠BAC，除了圓心O在∠BAC的一邊上外，圓心O與∠BAC還有哪幾種位置關(guān)系？對于這幾種位置關(guān)系，結(jié)論∠BAC=12∠BOC還成立嗎？試證明之。

分析：如圖（3），連接AO并延長交圓O于點D，則根據(jù)三角形外角和定理和上面圖（1）的情形知：∠BOC=∠BOD+∠DOC=2∠BAD+2∠DAC=2（∠BAD+∠DAC）=2∠BAC，所以∠BAC=12∠BOC；如圖（4），延長BO交圓O于點E，連接CE，易證∠BAC=∠BEC=12∠BOC。以上分析從圓心O在∠BAC一邊上這種特殊位置開始，分為點O在∠BAC的內(nèi)部和外部，需添加輔助線，轉(zhuǎn)化為第一種特殊位置證明的方法給予證明。這樣的分類從特殊入手，過渡到一般情形，學(xué)生較容易能理解和接受。難點在于圖（3）圖（4）的情況需要思考周全，不能遺漏。緊接著，在此基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)一步拓展到圓外角、圓內(nèi)角和圓周角的大小關(guān)系，亦是把圓周角看做特殊情形，推廣到圓外角和圓內(nèi)角。

拓展題1 如圖（5），點A、B、C在⊙O上，點D在圓外，CD、BD分別交⊙O于點E、F，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說明理由。

拓展題2 如圖（6），點A、B、C在⊙O上，點D在⊙O內(nèi)，點A與點D在點B、C所在直線的同側(cè)，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說明理由。

此兩題的解答需要添加輔助線，構(gòu)造相關(guān)的圓周角進(jìn)行解答，讀者可自己嘗試。

三、 充分運用分類討論思想，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)

中考試題中，很多題目是集方程、函數(shù)和幾何知識于一體的綜合題，要求學(xué)生熟悉初中的知識體系的前提下能整體把握試題，洞悉問題的本質(zhì)。于是，分類討論在其中就起著十分重要的作用。

例4 （2015年蘇州27）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+（1-m）x-m（其中0

（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求P點坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最??？如果存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

分析：（1）（2）略。（3）在（2）的基礎(chǔ)上得出P點的坐標(biāo)為-1+m2，1-m2。先判斷出△PAC是等腰直角三角形，因為以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，所以△QBC是等腰直角三角形。 由題意知滿足條件的點Q的坐標(biāo)為（-m，0）或（0，m）。于是分兩種情況來解答：①如圖①，當(dāng)Q點的坐標(biāo)為（-m，0）時，（1）若PQ與x軸垂直，則-1+m2=-m，解得m=13，PQ=13。（2）若PQ與x軸不垂直，則PQ2=PE2+EQ2=1-m22+-1+m2+m2=52m2-2m+12=52m-252+110。

∵0

此題的解答在于分析出點Q可在x軸和y軸上兩種情形，但對于每種情況下繼續(xù)分為PQ與x軸垂直和PQ與x軸不垂直時，即使是部分優(yōu)秀學(xué)生也會遺漏掉PQ與x軸垂直這種情形。因此，問題分析時需從特殊到一般的思考模式。

這道綜合題涉及幾何背景下的方程，函數(shù)和不等式的綜合運用，要想很好地解答，學(xué)生必須要有較強(qiáng)的分析問題的能力，同時要求學(xué)生的思維層次清晰分明。這就要求我們教師在中考復(fù)習(xí)中，對于綜合題的教學(xué)要求較高，將最簡潔、清晰的思路教給學(xué)生，學(xué)會分析問題的方法，提升數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)。

結(jié)束語

分類討論思想的培養(yǎng)與運用，對學(xué)生提升問題分析，把握及解決問題的能力起著極其重要的作用，從而提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)教育，使其有能力將一個復(fù)雜的問題分解成若干個簡單熟悉的問題，讓自身有一種似曾相識的親切感，輕而易舉地解答，感受數(shù)學(xué)的精妙思維方法作用于生活和學(xué)習(xí)的精彩。