魏 創(chuàng),黃道全
(重慶市鳳鳴山中學(xué);重慶市巫溪縣天寶初級中學(xué))
一道普通習(xí)題的多解多變
魏 創(chuàng),黃道全
(重慶市鳳鳴山中學(xué);重慶市巫溪縣天寶初級中學(xué))
培養(yǎng)學(xué)生的解題能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要任務(wù),而解題能力重在學(xué)生解題方法的探究,讓學(xué)生學(xué)會舉一反三和觸類旁通才是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真諦.從一道初中數(shù)學(xué)教材習(xí)題的多種解答方法和多種形式的變化出發(fā),對教材習(xí)題進(jìn)行縱向或橫向的展開,加強(qiáng)學(xué)生對諸多知識和多種方法的理解和變通,最大限度地發(fā)揮教材中習(xí)題的潛在功能,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生良好思維方式和創(chuàng)新意識的目的.
深度挖掘;橫縱展開;創(chuàng)新思維
筆者在復(fù)習(xí)九年級四邊形這一章時,看到了人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第69頁第14題.它是一道幾何證明題,從學(xué)生的解答中有了很多驚奇的發(fā)現(xiàn).下面闡述一下筆者的經(jīng)歷.
如圖1,四邊形ABCD是正方形,E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.求證:AE=EF.
在學(xué)生的解答和筆者的分析中,共有四種解題方法.
圖1
方法1:全等法
如圖2,取AB的中點(diǎn)M,連接EM.
由E是BC的中點(diǎn),就可以得出AM=EC.
由角平分線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì),就可以得出∠AME=∠ECF.
圖2
由∠AEF=90°,就可以得出∠BAE=∠CEF.
從而得出△AME≌△ECF,便可以得出結(jié)論AE=EF.
【點(diǎn)評】作AB的中點(diǎn)M,構(gòu)造等腰直角三角形,根據(jù)正方形的性質(zhì),證明△AME≌△ECF,由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.我們把這種解法稱為自然解法,是大部分學(xué)生普遍運(yùn)用的解法,有90%的學(xué)生使用此種方法解答.
方法2:相似法
如圖3,過點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H,
設(shè)BE=CE=m,CH=n,
由正方形的性質(zhì),可得△ABE∽△EHF.
圖3
所以m=n,
即BE=HF.
所以可證△ABE≌△EHF.
進(jìn)而得出結(jié)論AE=EF.
【點(diǎn)評】過點(diǎn)F作BG的垂線,證明△ABE∽△EHF,由相似三角形的性質(zhì)求出BE=HF,這是解答的關(guān)鍵,再證明△ABE≌△EHF就可以得出結(jié)論.由題先證得BE=EH是難點(diǎn).
方法3:函數(shù)法
如圖4,將正方形ABCD放到平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合,點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)C在x軸上,
圖4
設(shè)BE=CE=m,
則AB=2m.
所以點(diǎn)A(0,2m),C(2m,0),E(m,0).
設(shè)直線AE的解析式為yAE=k1x+b1,直線EF的解析式為yEF=k2x+b2,直線CF的解析式為yCF=k3x+b3,
由∠AEF=90°,得AE⊥EF.
所以k1k2=-1.
將點(diǎn)E的坐標(biāo)帶入解析式為yEF=k2x+b2,就可以求出.
延長FC交y軸于點(diǎn)M,可得BM=BC=2m.
所以M(0,-2m).
由待定系數(shù)法,可求得yCF=x-2m.
所以BH=3m,F(xiàn)H=m.
所以EH=2m.
從而可以得出結(jié)論AE=EF.
【點(diǎn)評】建立平面直角坐標(biāo)系,表示出各關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),由待定系數(shù)法求出直線AE,EF和CF的解析式,由勾股定理求出AE和EF的值,從而得出結(jié)論.這種解法比較大膽和新穎,但是比較復(fù)雜.
方法4:四點(diǎn)共圓法
如圖5,連接AF,AC,
容易得出∠ACB=45°,∠ACF=90°.
由∠AEF=90°,就可以得出A,E,C,F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
所以∠AFE=∠ACB=45°.
所以∠AFE=∠EAF.
圖5
從而得出結(jié)論AE=EF.
【點(diǎn)評】這種證明方法讓人眼前一亮,思維獨(dú)特、新穎,過程簡潔、明了,但不容易想到.它無疑是幾種證明方法中一種比較獨(dú)特的好方法.如何想到這樣證明呢?仔細(xì)審題,連接AC,易發(fā)現(xiàn)∠ACF=90°,就有E,C,F(xiàn),A四點(diǎn)共圓,進(jìn)而可以得出∠EAF=∠EFA,從而得出結(jié)論.
如果把E是邊BC的中點(diǎn)改為點(diǎn)E是邊BC上(除點(diǎn)B,C外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論AE=EF仍然成立.
如圖6,在AB上取一點(diǎn)M,使得AM=EC,連接ME.
可以得出BM=BE.
所以∠BME=45°.
所以∠AME=135°.
由CF是外角平分線,
得∠DCF=45°.
所以∠ECF=135°.
所以∠AME=∠ECF.
圖6
由 ∠AEB+∠BAE=90°, ∠AEB+∠CEF=90°,可以得出∠BAE=∠CEF.
由ASA就可以證得△AME≌△ECF.
從而得出結(jié)論AE=EF.
同樣,也可以過點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H,類比圖3,用相似的方法證明.
如圖7,設(shè)AB=a,BE=m,CH=FH=n,
所以EH=a-m+n.
由題易證△ABE∽△EHF.
圖7
所以an=am-m2+mn.
整理,得am-m2+mn-an=0.
進(jìn)而得出(m-n)(a-m)=0.
因?yàn)閍-m≠0,
所以m=n.
所以EH=a.
所以AB=EH.
進(jìn)而由AAS得證△ABE≌△EHF.
從而得出結(jié)論AE=EF.
此種位置情況通過觀察比較,同樣可以在直角坐標(biāo)系中運(yùn)用一次函數(shù)求解.
如圖8,設(shè)AB=BC=a,BE=m,延長FC交y軸于點(diǎn)M,
圖8
可以得出BM=BC=a.
所以點(diǎn)A(0,a),C(a,0),E(m,0),M(0,-a).
設(shè)直線AE的解析式為yAE=k1x+b1,直線EF的解析式為yEF=k2x+b2,直線CF的解析式為yCF=k3x+b3,
由k1k2=-1,求出.
再求出yCF=x-a.
將yCF與yEF聯(lián)立,求出
所以F(a+m,m).
所以FH=m,EH=a.
從而得出結(jié)論AE=EF.
用四點(diǎn)共圓定理求解.
如圖9,連接AF,AC,
圖9
很容易得出∠ACB=45°,∠ACF=90°.
由∠AEF=90°就可以得出A,E,C,F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
所以∠AFE=∠ACB=45°.
所以∠EAF=45°.
所以∠AFE=∠EAF.
從而得出結(jié)論AE=EF.
當(dāng)點(diǎn)E是BC的延長線上任意一點(diǎn)時,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合,其他條件不變,結(jié)論AE=EF也是成立的.
如圖10,在BA的延長線上取一點(diǎn)M,使AM=CE,連接EM,
圖10
由AB=BC就可以得出BM=BE.
進(jìn)而得出∠M=45°.
由CF是外角∠DCG的平分線,得出∠GCF=45°.
得出∠M=∠GCF.
由AD∥BC就可以得出∠DAE=∠CEA.
由∠MAD=∠AEF=90°就可以得出∠MAE=∠CEF.
由ASA可以得出△MAE≌△CEF.
進(jìn)而得出結(jié)論AE=EF.
同樣可以用以上的另外三種方法證明結(jié)論.
如圖11,過點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H,
圖11
設(shè)AB=a,BE=m,CH=FH=n,
則EH=n-m+a.
由題可證△ABE∽△EHF.
所以an=nm-m2+am.
進(jìn)而得出(n-m)(m-a)=0.
由于m-a≠0,
所以m=n,
即BE=FH.
進(jìn)而由AAS證得△ABE≌△EHF.
從而得出結(jié)論AE=EF.
如圖12,連接AF,AC,
圖12
很容易得出∠ACB=45°,∠ACF=90°.
由∠AEF=90°就可以得出A,E,C,F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
由圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于內(nèi)對角可得出∠AFE= ∠ACB=45°.
所以∠EAF=45°.
所以∠AFE=∠EAF.
從而得出結(jié)論AE=EF.
圖13的解法與圖8相同,略.
圖13
根據(jù)前面的變化,筆者思考,那么當(dāng)點(diǎn)E是CB的延長線上任意一點(diǎn)時,點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合,其他條件不變,AE=EF還成立嗎?原題的四種解題方法仍然適用嗎?通過作圖分析,AE=EF是成立的,四種解題方法同樣適用.
方法1:如圖14,延長AB至點(diǎn)M,使AM=EC,連接EM.
由等式的性質(zhì)就可以得出BE=BM.
由∠EBM=90°,就可以得出∠M=45°.
圖14
由題可知∠2=∠1=45°.
進(jìn)而得出∠M=∠2.
由題易得∠EAB=∠FEC.
由ASA就可以得出△AEM≌△EFC.
從而得出結(jié)論AE=EF.
方法2:如圖15,過點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H,
設(shè)AB=a,BE=m,CH=FH=n,
則EH=m+a-n.
圖15
所以an=m2+am-mn.
進(jìn)而得出(m-n)(m+a)=0.
由于m+a≠0,
所以m=n,
即BE=FH.
進(jìn)而由AAS證得△ABE≌△EHF.
從而得出結(jié)論AE=EF.
方法3:如圖16,設(shè)AB=BC=a,BE=m,
FC交y軸于點(diǎn)M,可以得出BM=BC=a.
所以點(diǎn)A(0,a),C(a,0),E(-m,0),M(0,-a).
圖16
設(shè)直線AE的解析式為yAE=k1x+b1,直線EF的解析式為yEF=k2x+b2,直線CF的解析式為yCF=k3x+b3,
由k1k2=-1,得.
再求出yCF=x-a.
將yCF與yEF聯(lián)立方程組求出
所以F(a-m,-m).
所以FH=m,EH=a.
從而得出結(jié)論AE=EF.
方法4:如圖17,連接AF,AC,
很容易得出∠2=45°,∠ACF=90°.
再由∠AEF=90°就可以得出A,E,C,F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
所以∠EFA=∠2=45°.
所以∠EAF=45°.
所以∠EAF=∠AFE.
從而得出結(jié)論AE=EF.
圖17
通過以上四種變化情況的解答,不難發(fā)現(xiàn)此題的點(diǎn)E在直線BC上移動時(不與點(diǎn)B,C重合),其他條件不變,而AE=EF恒成立,并且四種解法均可用.幾何動點(diǎn)問題是中考必考問題,也是難點(diǎn)問題,動中求靜,找到在變化的過程中的不變量是解決問題的關(guān)鍵.
作為教材的一道普通習(xí)題,可運(yùn)用多種不同的方法進(jìn)行解答,這是對習(xí)題橫向研究的結(jié)果;將普通的習(xí)題實(shí)施不同形式的多種變化,這是對習(xí)題的縱向滲透.對于大多數(shù)的解答者而言,誰也不知道是怎么想出這種解法的.這實(shí)際是知識同化的結(jié)果.
教材中類似這樣的例題、習(xí)題并不鮮見.但是真正能對這些習(xí)題進(jìn)行縱向或橫向的展開,需要施教者做出百倍的努力和探索,使之成為一種習(xí)慣,便能加強(qiáng)學(xué)生對諸多知識和多種方法的理解和變通,從而最大限度地發(fā)揮教材中習(xí)題、例題的潛在功能,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生良好思維方式和創(chuàng)新意識的目的.
[1]張慶華.中考科學(xué)集訓(xùn)[M].沈陽:白山出版社,2008.
[2]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
2017—06—11
魏創(chuàng)(1976—),男,中學(xué)一級教師,主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.