一道數(shù)學(xué)問題解法的自然生成及其教學(xué)啟示

韓龍淑，郝曉鑫

（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）

一道數(shù)學(xué)問題解法的自然生成及其教學(xué)啟示

韓龍淑，郝曉鑫

（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）

數(shù)學(xué)解題的思路和方法力求簡(jiǎn)單自然.以一道數(shù)學(xué)問題為例，在題目的思路分析與解法展示基礎(chǔ)上進(jìn)行解題反思.提出善于運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)合乎情理地探索解題思路的自然生成；借助分割拼補(bǔ)圖形與類比構(gòu)造輔助問題，探尋解題思路的通法并學(xué)會(huì)一題多變；通過“少算多思”進(jìn)行整體求解，提升學(xué)生的思維層次和思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)問題；解題反思；自然生成；少算多思

探尋簡(jiǎn)單自然的方法是數(shù)學(xué)解題追求的基本要義.善于把未解決或不易解決的問題化歸為已解決或易解決的問題是數(shù)學(xué)解題常用的思維方式和思考方法.正如波利亞所指出的：當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時(shí)，就構(gòu)想一個(gè)合適的輔助問題.而運(yùn)用分割拼補(bǔ)圖形與類比的思想方法，構(gòu)建與所求圖形面積有實(shí)質(zhì)聯(lián)系的特殊輔助圖形是求面積問題自然生成的化歸路徑.

一、題目呈現(xiàn)

題目 數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分面積.

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，教師出示了一個(gè)問題.

如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G.求重疊部分（△DCG）的面積.

（1）獨(dú)立思考：試解答教師提出的問題.

（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖2，你能求出重疊部分（△DGH）的面積嗎？試寫出解答過程.

（3）提出問題：教師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問題.“愛心”小組提出的問題是：如圖3，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，求重疊部分（△DMN）的面積.

任務(wù)：①試解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是______.

②試仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合教師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖1的基礎(chǔ)上按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)）.

圖1

圖2

圖3

二、題目的思路分析與解法展示

1.第（1）小題的思路分析與解法展示

如圖1，要求△DCG的面積，DC為Rt△ABC斜邊上的中線可求，但DC邊上的高不易入手求解.由于Rt△ABC的面積易求，而△DCG為Rt△ABC的一部分，因此需要進(jìn)一步尋找△DCG與△ABC之間的聯(lián)系，自然先從與二者有直接聯(lián)系的特殊公共點(diǎn)D入手，探求△DCG是否有特殊性質(zhì)呢？D為AB的中點(diǎn)，△ABC為直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，得DB=DC，∠BCD=∠B.而△ABC和△DEF全等，有∠CDG=∠B.所以∠CDG=∠BCD.可知DG∥CB.因此，∠CGD=90°，△DCG為直角三角形，且G為AC的中點(diǎn).則GC=4，GD=3.所以S△CGD=6.

2.第（2）小題的思路分析與解法展示

如圖2，要求△GDH的面積，發(fā)現(xiàn)其不是直角三角形，則與△ABC不相似.△GDH雖然為△ABC的一部分，但它們的頂點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)，面積比例關(guān)系難尋.能否尋找與△GDH有一個(gè)公共頂點(diǎn)且與△ABC相似的直角三角形，使△GDH成為該直角三角形的一部分呢？

從已知條件入手，看能得出什么新的信息.已知ED⊥AB，則∠EDA=90°.因此，Rt△ADH包含△GDH且與△ABC含有公共∠A，從而△ADH與△ABC相似.有. 推出 S△ADH∶ S△ABC=25∶64. 因此 S△ADH可知.Rt△ADH自然成為所找的輔助直角三角形.

此時(shí)需進(jìn)一步尋找S△GDH與S△ADH的關(guān)系.經(jīng)分析由ED⊥AB，F(xiàn)E⊥ED，可得FE∥AD.所以∠F=∠ADG.而∠A=∠F，則∠ADG=∠A.所以AG=GD.而∠A+∠GHD=90°， ∠ADG+ ∠GDH=90°， 故 ∠GHD=∠GDH.所以GD=GH.因此AG=GH.所以G為AH的中點(diǎn)，則 S△GDH∶ S△ADH=1∶2， S△GDH∶ S△ABC=25∶128.而 S△ABC=24 ，則.

3.第（3）小題中①的思路分析與解法展示

如圖3，要求等腰三角形DMN的面積，但△DMN與△ABC不相似，比例關(guān)系不易獲得.類比第（2）小題的思路受到啟發(fā)，通過拼、補(bǔ)尋找與△DMN有一公共頂點(diǎn)且與△ABC相似的直角三角形，并使△DMN成為該直角三角形的一部分.

但已有△ADM不是直角三角形，嘗試構(gòu)造滿足條件的直角三角形.而點(diǎn)D既為△DMN的頂點(diǎn)，又為△ABC邊BC的中點(diǎn)，自然想到連接CD，構(gòu)造△CDN.若∠CDN=90°，則△CDN可作為輔助的橋梁三角形.類比第（2）小題的方法，由MN=MD，得∠MND=∠MDN.而∠MDN=∠B=∠DCB，故∠MND=∠DCB.因?yàn)椤螧CD+ ∠DCN=90°，所以∠MND+ ∠DCN=90°，∠CDN=90°. 從而△CDN為包含△DMN的輔助直角三角形.

由于△CDN與△ABC為含有等角∠CND與∠B的直角三角形，故它們相似.因此由CD∶AC=5∶8，可得S△CDN∶ S△ABC=25∶64. 再看 S△MDN與 S△CDN的比例，發(fā)現(xiàn)兩三角形有一底邊共線，故注意指向?qū)ふ襇N與MC的長(zhǎng)度關(guān)系.與第（2）小題的思路類似，因?yàn)椤螹ND+ ∠DCN=90°，∠MDN+ ∠MDC=90°，得出∠MDC=∠DCN.從而MN=MD=MC，即M為CN的中點(diǎn). 故S△DMN∶S△CDN=1∶2.所以S△DMN∶S△ABC=25∶128.故.

三、解題反思與教學(xué)啟示

1.善于運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)合乎情理地探索解題思路的自然生成

波利亞在《怎樣解題》中給出了一系列啟發(fā)性提示語(yǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)解題思路的探索和方法的自然生成具有重要的引導(dǎo)作用.此題中探索解題思路時(shí)運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)：要求什么？（△DCG的面積）.已知數(shù)據(jù)和條件有哪些？（Rt△ABC的面積可求，DC為Rt△ABC斜邊上的中線也可知）.還需求什么？（DC邊上的高）.但把DC作為△DCG的底邊后，DC邊上的高不易求得，至此思維受阻.教師可繼續(xù)運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)順乎自然地幫助學(xué)生：當(dāng)DC邊上的高看起來似乎不好解時(shí)，能否尋找△DCG與△ABC中角的關(guān)系？能從已知數(shù)據(jù)中再得到一些有用的信息嗎？啟發(fā)學(xué)生從角方面進(jìn)一步思考，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，得DB=DC，∠BCD=∠B.而∠CDG=∠B，所以∠CDG=∠BCD.可知DG∥CB.因此∠CGD=90°，G為AC的中點(diǎn).從而△DCG的面積可求.

運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)旨在使學(xué)生經(jīng)歷解題中自然而然的數(shù)學(xué)思考過程，體驗(yàn)思維過程展開的自然和思考方法生成的自然，以此感悟數(shù)學(xué)解題思路和思維方法的自然生成，從而積累數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)最終要使學(xué)生學(xué)會(huì)自我啟發(fā)，逐步提煉具有自身認(rèn)知風(fēng)格的提示語(yǔ)，從而學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考.

2.借助分割拼補(bǔ)與類比構(gòu)造輔助問題，探尋解題思路的通法，并學(xué)會(huì)一題多變

當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時(shí)，就需要想出一個(gè)合適的輔助問題，構(gòu)造輔助問題是重要的思維活動(dòng).通過反思上述三個(gè)問題的共同思路發(fā)現(xiàn)，借助分解拼補(bǔ)圖形與類比，構(gòu)建與所求圖形面積有實(shí)質(zhì)聯(lián)系且與母三角形相似的輔助直角三角形（已知與未知的中間橋梁）是求該面積問題自然生成的化歸路徑，即要求的三角形面積均為輔助直角三角形面積的一部分，使所求三角形與易求面積的輔助直角三角形建立聯(lián)系，且這些輔助直角三角形與△ABC相似，面積易求，從而原三角形面積可求.第（1）小題中所求△DCG的面積本身為直角三角形的面積；第（2）小題中尋找與△ABC相似的輔助Rt△ADH，并將要求面積的△GDH分割為輔助Rt△ADH的一部分；第（3）小題中類比第（2）小題的思路，通過連接CD拼補(bǔ)出與Rt△ABC相似且包含所求△DMN的輔助Rt△CDN，從而求得原△DMN的面積，由此可見特殊的輔助圖形“直角三角形”具有廣闊的拓展空間.

在解題時(shí)，若學(xué)生具有將一般三角形與特殊的輔助直角三角形建立自然的、內(nèi)在聯(lián)系的意識(shí)，抓住問題的本質(zhì)，便可突破植根于基本輔助圖形“直角三角形”的大量題目.學(xué)生有了反思解題的思維過程和思考方法的習(xí)慣后，自然地可繼續(xù)發(fā)現(xiàn)提出新問題.由此研究第（3）小題中的問題②.

前面問題中都是△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，分別使DF⊥AC，DE⊥AB，DM=MN，由此自然發(fā)現(xiàn)新問題：△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)如何呢？從而自然提出新問題：如圖4，△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC交于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N.如何求重疊部分（四邊形DMCN）的面積呢？自然類比解前三個(gè)問題的通法，四邊形DMCN的面積可化歸為△ABC的面積減去與母三角形相似的兩直角三角形AND和直角三角形DMB的面積，重疊部分四邊形DMCN的面積同樣可求.

圖4

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，而數(shù)學(xué)題終身解不完，需要獲得手邊題目中那些對(duì)解后來題目有用的特征，以此設(shè)法揭示出隱藏在眼前具體情形中的一般模型，以此彰顯提出數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題和拓展數(shù)學(xué)問題的自然.通過一法多思，即直接求圖形面積不易時(shí)，可構(gòu)造與基本圖形相似且與所求圖形有內(nèi)在聯(lián)系的、易求面積的特殊輔助圖形.并在分析和解決問題的過程中不斷發(fā)現(xiàn)、提出有意義的新問題，從而實(shí)現(xiàn)一題多變.使數(shù)學(xué)解題成為學(xué)生“分析、解決問題—發(fā)現(xiàn)、提出新問題—再分析、解決問題—再發(fā)現(xiàn)、提出新問題……”的循環(huán)“四能”鏈.重在使學(xué)生通過一個(gè)或幾個(gè)問題的解決獲得解決一類問題的通法，從而由數(shù)學(xué)母題形成數(shù)學(xué)題鏈，乃至數(shù)學(xué)題網(wǎng)，最終提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的收益率.

3.通過“少算多思”進(jìn)行整體求解，提升學(xué)生的思維層次和思維品質(zhì)

繼續(xù)反思上述問題中探尋解題自然路徑的通法，直接求解原三角形面積不易時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造與所求圖形面積有內(nèi)在聯(lián)系的輔助直角三角形，而輔助直角三角形與母三角形相似，因此面積之比等于相似比的平方，從而不需要分別求輔助三角形的底和高（如第（2）小題中的Rt△ADH，第（3）小題中的問題①的Rt△CDN，第（3）小題中的問題②的Rt△AND和Rt△DMB），就可直接通過面積之比的整體求解來獲得輔助圖形的面積，以此大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，避免學(xué)生陷入思維在同一層次、低水平重復(fù)的單一運(yùn)算中，并克服求三角形面積時(shí)需要分別求出底和對(duì)應(yīng)高的思維定勢(shì).通過“少算多思”進(jìn)行整體求解，體現(xiàn)了運(yùn)算方法與步驟的自然性和簡(jiǎn)潔性.由于運(yùn)算簡(jiǎn)單的解題方法，往往要求有較高的思維品質(zhì)，因此通過“少算多思”簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題的思維強(qiáng)度和思維層次，從而完善數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

［1］波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

［2］韓龍淑.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題學(xué)習(xí)的反思［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006（3）：7-9.

［3］孫朝仁.中考試題解法自然性的四個(gè)“引擎”［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（10）：54-55.

［4］郝曉鑫，韓龍淑.面積法在解中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（10）：52-53.

［5］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2017—06—20

韓龍淑（1965—），女，教育學(xué)博士，太原師范學(xué)院教授，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.