一道數(shù)學題的一題多變
——深化價值引領，凸顯數(shù)學思考

白金強

（河北省高碑店市教師發(fā)展中心）

一道數(shù)學題的一題多變
——深化價值引領，凸顯數(shù)學思考

白金強

（河北省高碑店市教師發(fā)展中心）

一題多解強調(diào)多角度審視問題；一題多變則強調(diào)對原題的題干和結論的不斷變化進行的深層次探索，兩者的有機結合對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維有重要的作用.從一道題目的多種解法出發(fā)，通過不斷改變習題的條件，進一步挖掘習題的思維價值，達到深化價值引領，凸顯數(shù)學思考.

價值引領；一題多解；一題多變

一題多解強調(diào)從多角度審視和分析問題，對開發(fā)解題潛能，提高解決綜合問題的能力有很重要的作用.而一題多變則可以使學生克服思維定勢的影響，不局限于某一方面的思考，多角度、多方位地創(chuàng)設問題、解決問題，它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和創(chuàng)新意識.一題多變強調(diào)不能僅僅停留在對原習題的解法探索上，而應適當?shù)亍⒂袡C地對原習題的題干和結論進行深層次的探索，把解題方法遷移到新的情境中.

數(shù)學家波利亞認為，一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數(shù)學內(nèi)容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生挖掘題目的各個方面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.前蘇聯(lián)數(shù)學教育家奧加涅相在《中學數(shù)學教學法》中也指出，必須重視很多習題潛存著進一步擴展其數(shù)學功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……

下面筆者以一道習題為例，探索如何從一題多解到一題多變，培養(yǎng)學生學會從多層次、廣視角、全方位地認識、研究問題，以及創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

原題：如圖1，點O將線段DA平分，分別以OD，OA為邊在線段DA的同側作等邊三角形OCD和等邊三角形AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB.

圖1

針對這道題筆者總結出了三種解題思路，即分別是應用三角形全等知識、四邊形相關知識、圓相關知識，其中運用圓相關知識解答最簡捷.

一道數(shù)學題，由于思考的角度不同可以得到多種不同的解法，尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展觀察、想象、探索及思維能力.而通過變化則可以進一步深化試題的價值引領，凸顯數(shù)學思考，一題多變則是課堂教學應當予以關注的重要一點.

首先從題目中的條件變化開始，思考特殊的條件，能不能不取特殊點呢？且看下面幾種變化情形.

一、分點改變，三角形不變

如圖2，點O為DA上任意一點（O不再是DA的中點），以OD，OA為邊在DA同側分別作等邊三角形OCD和等邊三角形AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB.

解：因為△OCD和△OAB均為等邊三角形，

所以可證明△DOB≌△COA.

所以∠DBO=∠CAO.

所以∠AEB=∠BOA=∠COD=60°.

圖2

二、分點不變，三角形改變

1.頂角相等的等腰三角形

如圖3，O為DA中點，分別以OD，OA為腰在線段DA的同側作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，∠DOC=∠AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之間的關系.

圖3

解：（方法1） 由OD=OC，OB=OA，∠DOC=∠AOB，可證△BOD≌△AOC.

所以∠DBO=∠CAO.

所以∠AEB=∠AOB=∠COD.

（方法2）以點O為圓心作圓，運用圓內(nèi)角和圓心角有關知識也能簡捷求解.

這時所求∠AEB為兩個等腰三角形頂角度數(shù)和的一半.

2.頂角不相等的等腰三角形

如圖4，點O將線段DA平分，分別以OD，OA為腰在線段DA的同側作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E連 接CB， 求 ∠AEB， ∠COD 和∠AOB之間的關系.

圖4

解：以點O為圓心，OD為半徑作圓，則利用圓內(nèi)角和圓心角的定義可求出∠AEB=∠ACB+∠CBD=.

這時所求∠AEB依然為兩個等腰三角形頂角度數(shù)和的一半.

三、分點、三角形均改變

1.分點任意，頂角相等的等腰三角形

如圖5，點O為DA上任意一點，分別以OD，OA為腰在線段DA的同側作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，∠DOC=∠AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之間的關系.

圖5

解：由OD=OC，OB=OA，∠DOC=∠AOB，可證△BOD≌△AOC.

所以∠DBO=∠CAO.

所以∠AEB=∠AOB=∠COD.

所求∠AEB依然為兩個等腰三角形頂角度數(shù)和的一半.

2.分點任意，兩個相似三角形

如圖6，點O為DA上任意一點，滿足△DOC∽△BOA，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之間的關系.

圖6

又因為∠COD=∠AOB，

所以∠DOB=∠COA.

所以△DOB∽△COA.

所以∠ACO=∠ADE.

而 ∠AEB= ∠ADE+ ∠DAC， ∠COD= ∠DAC+∠ACO，

所以∠AEB=∠COD=∠AOB.

（方法2）由△DOC∽△BOA，可證點A，B，C，D共圓，繼而很容易求解.

這時所求∠AEB為兩個相似三角形有公共頂點的角的度數(shù)和的一半.

以上研究都是圍繞線段DA和分點展開，如果將三角形落在線段DA邊上的兩條邊，頂點不變分別向上旋轉(zhuǎn)，結論是否還成立呢？

四、OC，OA不在同一條直線上的情形

1.等邊三角形不變，OA，OB不再共線

如圖7，△AOD和△OBC為等邊三角形，OA=OB，且OA，OB不在同一線段上，求∠BEC，∠DOA和∠BOC之間的關系.

圖7

解：以點O為圓心，OA為半徑作圓，運用圓的有關知識不難求出∠BEC.

2.等腰三角形，OA，OB不再共線

如圖8，△AOD和△OBC為等腰三角形，OA=OD=OC=OB，且OA，OB不在同一線段上，求∠BEC.

圖8

解：以點O為圓心，OA為半徑作圓，同樣運用圓的有關知識不難求出∠BEC.

借助幾何畫板軟件這個工具可以把“兩個三角形在DA的同側”這個條件通過旋轉(zhuǎn)改變?yōu)椴辉谕瑐龋锨懊鏃l件的結論依然成立（有興趣的讀者可自行研究，限于篇幅，本文不再贅述）.

筆者以為，一道好的數(shù)學題的價值不只是體現(xiàn)在有多少種方法能求解，哪種方法簡捷上，如果只是單純的、孤立的去解答它，那么再好的解法充其量只不過是解決了一個問題.數(shù)學解題的價值在于培養(yǎng)學生從特殊中尋找一般規(guī)律的能力，因為一般性往往蘊含在特殊性中，既要重視一題多解，更要關注一題多變，在變中發(fā)現(xiàn)問題、引發(fā)思考，在思考中深化價值引領.

［1］楊振德.關注價值引領凸顯數(shù)學思考［J］.基礎教育課程，2015（24）：17.

［2］任勇.任勇的中學數(shù)學教學主張［M］.北京：中國輕工業(yè)出版社，2012.

［3］中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2017—06—05

白金強（1967—），男，中學高級教師，主要從事中小學數(shù)學教學研究.