依據(jù)學(xué)情 注重過程 突顯本質(zhì)
——從“直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)片斷看概念課教學(xué)

戴文革

（江蘇省睢寧縣教育局教研室）

依據(jù)學(xué)情 注重過程 突顯本質(zhì)
——從“直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)片斷看概念課教學(xué)

戴文革

（江蘇省睢寧縣教育局教研室）

以“直線與圓的位置關(guān)系”為例，概念課的引入要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，通過豐富、有效的探究活動(dòng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，在適當(dāng)、適度、適量的訓(xùn)練中把握概念的本質(zhì).

概念課教學(xué)；過程設(shè)計(jì)；教學(xué)感悟

概念是思維的細(xì)胞，概念課教學(xué)是制約數(shù)學(xué)課堂效率的瓶頸之一.為了深入研討初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的有效方法和途徑，切實(shí)提高課堂教學(xué)效率，江蘇省睢寧縣近期舉行了一次九年級(jí)數(shù)學(xué)“概念課教學(xué)”專題研討活動(dòng).此次活動(dòng)以蘇科版教材九年級(jí)上冊(cè)第二章第5節(jié)“直線與圓的位置關(guān)系”為課題進(jìn)行了“同課異構(gòu)”課堂展示交流.現(xiàn)呈現(xiàn)兩位上課教師的部分教學(xué)片斷，結(jié)合個(gè)人的反思與感悟，談?wù)剬?duì)初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的點(diǎn)滴體會(huì)，敬請(qǐng)各位專家、同行批評(píng)指正.

一、概念的“引入”要依據(jù)學(xué)情

活動(dòng)1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課.

情境設(shè)計(jì)（甲教師）：

欣賞“海上日出”圖片（由教材中的圖片制作成動(dòng)畫）.學(xué)生同時(shí)齊聲朗讀巴金的《海上日出》中的一段文字：山水相接的地方出現(xiàn)了一道紅霞.過了一會(huì)兒，那里出現(xiàn)了太陽的小半邊臉.慢慢兒，一縱一縱地使勁兒向上升.到了最后，它終于沖破了云霞，完全跳出了海面.如果把太陽看作一個(gè)圓，把地平線看作一條直線，那么直線與圓的位置關(guān)系有哪些？

情境設(shè)計(jì)（乙教師）：

1.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們回憶：（1）點(diǎn)和圓有哪幾種位置關(guān)系？（2）怎樣判定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？

2.如圖1，在紙上畫三個(gè)圓，分別在圖1（1）中的圓內(nèi)、圖1（2）的圓上、圖1（3）中的圓外各選取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P任意畫幾條直線，再觀察這三個(gè)圖形，你認(rèn)為直線與圓有幾種不同的位置關(guān)系？

圖1

【點(diǎn)評(píng)】甲教師選擇了教材中提供的“生活情境”導(dǎo)入新課.既體現(xiàn)了一定的幾何直觀，又彰顯了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.乙教師則是考慮學(xué)生原有的知識(shí)內(nèi)容，借助“數(shù)學(xué)情境”引入新課，在溫習(xí)“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，將已知圓所在平面上的點(diǎn)換成了直線，由學(xué)生自己動(dòng)手畫直線，在動(dòng)手、觀察、比較、類比、分類等系列活動(dòng)中自主建構(gòu)新概念.

反思：概念課教學(xué)的問題情境，應(yīng)選取學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)（生活情境）中已有的具體現(xiàn)象或?qū)W生原有知識(shí)內(nèi)容（數(shù)學(xué)情境）中已有的概念作為認(rèn)知源.其價(jià)值取向是為學(xué)生認(rèn)識(shí)新概念創(chuàng)設(shè)最近思維發(fā)展區(qū).由此來看，選擇什么樣的情境來導(dǎo)入新課，沒有固定的模式.情境優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)為簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)明、體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).歸根結(jié)底要有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).甲教師的引入設(shè)計(jì)取材于學(xué)生身邊的生活情境，不僅形象、直觀，能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且也能揭示直線和圓的位置關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)，但是忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，情境與學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的各種位置關(guān)系毫不相關(guān)，忽略了學(xué)習(xí)方法的遷移和知識(shí)體系的構(gòu)建.事實(shí)上，學(xué)生在這節(jié)課之前已經(jīng)接觸了點(diǎn)與線、線與線、點(diǎn)與圓等各種不同的位置關(guān)系，乙教師抓住了“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”這一最近發(fā)展區(qū)，將點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的圖形作為引入圖形，“點(diǎn)”換成“線”，在“畫、看、想、議”的過程中逐步形成對(duì)新概念的初步認(rèn)識(shí).顯然，乙教師的導(dǎo)入設(shè)計(jì)更符合學(xué)情，既讓學(xué)生梳理了剛剛學(xué)過的點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，同時(shí)又為學(xué)生類比之前的研究方法進(jìn)一步學(xué)習(xí)判定、性質(zhì)（定性概括、定量描述）做好了鋪墊，很好地貼合了章建躍教授所倡導(dǎo)的“前后一致、邏輯連貫”的教學(xué)理念.

二、概念的“形成”要注重過程

活動(dòng)2：活動(dòng)建構(gòu)，形成概念.

活動(dòng)設(shè)計(jì)（甲教師）：

1.教師從情境中抽象出如下的三個(gè)圖形（如圖2）.

圖2

學(xué)生思考、交流、展示.

（1）在太陽升起的過程中，直線（地平線）與圓（太陽）有其他的不同的位置關(guān)系嗎？在紙上畫一畫，試做出自己的判斷.

（2）你能給出直線和圓的幾種具體的位置關(guān)系嗎？你是通過什么標(biāo)準(zhǔn)來區(qū)別不同的位置關(guān)系的？

（3）我們知道點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可以用點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小來判斷；那么直線和圓的位置關(guān)系是否也可以用數(shù)量關(guān)系來判斷？

（4）若圓心O到直線l的距離為d，圓的半徑為r，類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，你能結(jié)合下面的圖形（如圖3）用d和r的數(shù)量關(guān)系具體描述這三種位置關(guān)系嗎？

圖3

活動(dòng)設(shè)計(jì)（乙教師）：

第一，概念的定性歸納.

（1）教師將情境設(shè)計(jì)2中的圖形制作成幾何畫板軟件，拖動(dòng)直線上點(diǎn)P以外的控制點(diǎn)改變直線的位置，讓學(xué)生觀察直線和圓的位置關(guān)系的變化情況.

（2）分組活動(dòng)：①在紙上畫一個(gè)圓，把直尺的邊緣看作一條直線，上下移動(dòng)直尺；②在紙上畫一條直線，用一枚硬幣在紙上上下移動(dòng).讓學(xué)生觀察直線和圓的位置關(guān)系的變化情況.

（3）小組討論：你認(rèn)為直線與圓有幾種位置關(guān)系？你分類的依據(jù)是什么？

（4）分組展示直線與圓的三種位置關(guān)系及其定義（略）.

（5）看圖（如圖4）判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系.

圖4

第二，概念的定量描述.

（1）你是怎樣判斷前面問題（5）中直線與圓的位置關(guān)系的？

（2）通過比較點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系來判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，能否類比遷移，考慮直線與圓的位置關(guān)系呢？在這里我們能否用某個(gè)量和半徑的大小來比較、判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？如果能，可以利用哪個(gè)量呢？

【點(diǎn)評(píng)】甲教師從生活實(shí)例中抽象出直線與圓的各種位置關(guān)系的不同圖形，在不給定標(biāo)準(zhǔn)的情況下讓學(xué)生適當(dāng)分類，并追問分類的依據(jù)，在此基礎(chǔ)上類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系得到直線與圓的位置關(guān)系的直觀定性刻畫.結(jié)合三種情形的基本圖形，教師給出d，r的不同含義，讓學(xué)生進(jìn)一步類比得到直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定（即直線與圓的位置關(guān)系的定量描述）.乙教師在情境引入的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板軟件的動(dòng)態(tài)演示功能結(jié)合學(xué)生的自主畫圖（線動(dòng)或圓動(dòng)），充分感受、發(fā)現(xiàn)、歸納直線與圓的三種位置關(guān)系.看圖判斷直線與圓的位置關(guān)系，鞏固對(duì)概念的理解，同時(shí)設(shè)計(jì)“無法目測(cè)直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，怎樣判斷？例如，問題（5）圖4中的直線學(xué)生只要把直線延伸一下就能判斷出它與圓的位置關(guān)系，而圖4（5）中的直線延伸后與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)還是不好判斷.由此過渡到對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的定量描述.對(duì)于通過數(shù)量關(guān)系研究直線與圓的位置關(guān)系，與甲教師明顯不同的是：乙教師不直接給出具體的研究方法和途徑，知識(shí)借助前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)放手讓學(xué)生自行探究與合作交流，教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)通過演示或問題加以引導(dǎo)，盡可能地由學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出需要研究的兩個(gè)量（圓心到直線的距離d和圓的半徑r）及其關(guān)系.事實(shí)上，在前面學(xué)習(xí)圓的軸對(duì)稱性時(shí)，學(xué)生已經(jīng)知道過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，垂直于直徑的弦的特殊性、重要性，這必然會(huì)對(duì)學(xué)生的探究形成正向的遷移.

反思：如何把具體的實(shí)例進(jìn)行抽象，形式化為數(shù)學(xué)知識(shí)是概念教學(xué)的關(guān)鍵.教師提供豐富的素材，通過適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，對(duì)具體現(xiàn)象（或?qū)W生已有概念）進(jìn)行觀察、分析，找出反映這種現(xiàn)象的規(guī)律性元素，并對(duì)其進(jìn)行提煉歸納.兩位教師在直線與圓的位置關(guān)系的定性概括的環(huán)節(jié)的處理方式大同小異，都較好地體現(xiàn)了概念的建構(gòu)過程，只是呈現(xiàn)的問題來自生活或數(shù)學(xué)的不同.在用數(shù)量關(guān)系刻畫位置關(guān)系的環(huán)節(jié)中，甲教師雖然也注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了“類比”探究，但是問題的指向過于明確、直白，思維價(jià)值含量不高，其實(shí)沒有達(dá)成真正的探究的效果.只能算是在教室的帶領(lǐng)下的一次“瀏覽”.乙教師不僅環(huán)節(jié)安排合理、過渡自然，而且鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造性、能動(dòng)性，使學(xué)生不僅知其然，還要知其所以然.讓不同層次的學(xué)生充分展示思路，暴露自己真實(shí)的思維過程，使學(xué)生在獲得概念的過程中真正領(lǐng)悟概念的核心本質(zhì).

三、概念的“深化”要突顯本質(zhì)

活動(dòng)3：檢測(cè)反饋，深化概念.

活動(dòng)設(shè)計(jì)（甲教師）：

典例分析：如圖5，在△ABC中，∠A=45°，AC=4，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

（1）r=2；

（3）r=3.

圖5

學(xué)以致用：

1.（口答）已知⊙O的直徑為10 cm，點(diǎn)O到直線l的距離為d.

（1）若直線l與⊙O相切，則d= ______；

（2）若d=4 cm，則直線l與⊙O有____個(gè)公共點(diǎn)；

（3）若d=6 cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是________.

2. 如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與AB所在的直線有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

（1）r=2 cm；

（2）r=2.4 cm；

圖6

（3）r=3 cm.

活動(dòng)設(shè)計(jì)（乙教師）：

說一說：

1.已知圓的直徑為13 cm，設(shè)直線和圓心的距離為d.

（1）若d=4.5 cm，則直線與圓______，直線與圓有_______個(gè)公共點(diǎn)；

（2）若d=6.5 cm，則直線與圓______，直線與圓有_______個(gè)公共點(diǎn)；

（3）若d=8 cm，則直線與圓_______，直線與圓有_______個(gè)公共點(diǎn).

2.已知⊙O的半徑為5 cm，圓心O與直線AB的距離為d，根據(jù)條件填寫d的取值范圍.

（1）若AB和⊙O相離，則________________；

（2）若AB和⊙O相切，則_______________；

（3）若AB和⊙O相交，則_______________.

做一做：同甲教師的設(shè)計(jì)——典例分析（略）.

議一議：

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（-3，-4）.

1.已知⊙A的直徑為6，則x軸與⊙A的位置關(guān)系是______，y軸與⊙A的位置關(guān)系是______；

2.若⊙A要與x軸相切，則⊙A應(yīng)該向上移動(dòng)多少個(gè)單位長(zhǎng)度？若⊙A要與x軸相交呢？

【點(diǎn)評(píng)】甲教師從典型例題的分析到層次性練習(xí)的鞏固訓(xùn)練，圍繞直線與圓的位置關(guān)系概念的本質(zhì)選取習(xí)題及練習(xí)題，可謂中規(guī)中矩.乙教師雖然沒有專門設(shè)計(jì)獨(dú)立意義的例題，不過，由一組層次遞進(jìn)明顯、訓(xùn)練強(qiáng)度有異的問題串引導(dǎo)學(xué)生開展系列思維活動(dòng)，同樣能達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)的理解，從而深化了對(duì)概念的進(jìn)一步認(rèn)識(shí).另外，乙教師的練習(xí)的設(shè)計(jì)具有正、反兩部分，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系判斷d，r的關(guān)系，根據(jù)d，r的關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生充分感受定理中的“充分必要性”，從而在學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想.

反思：概念的深化離不開適當(dāng)、適度、適量的當(dāng)堂訓(xùn)練和檢測(cè)反饋.其目的不僅僅是檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，更是幫助學(xué)生深化對(duì)概念的理解.在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，多角度、多層次地設(shè)置習(xí)題，注重檢測(cè)的針對(duì)性、有效性，可以通過適當(dāng)?shù)姆蠢寣W(xué)生辨析概念，達(dá)到對(duì)概念的內(nèi)涵和外延的掌握.具體在選取問題時(shí)，不應(yīng)在計(jì)算的難度上大做文章，而是要圍繞概念的本質(zhì)組織訓(xùn)練素材，真正發(fā)揮在訓(xùn)練中理解概念的功能.

四、教學(xué)感悟

1.“問題情境”設(shè)計(jì)的“數(shù)學(xué)味”要濃一些

章建躍教授提出教學(xué)的兩個(gè)關(guān)鍵之一是“提好的問題”.“好問題”有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即有意義，并且在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi).用實(shí)際生活情境引入新概念固然能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，但有時(shí)也會(huì)分散學(xué)生課堂的注意力.況且，對(duì)于初中學(xué)生來說，大多數(shù)的新概念在小學(xué)階段已經(jīng)有了一些初步的認(rèn)識(shí)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)摹⒑?jiǎn)明的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題情境，使學(xué)生在原有概念的基礎(chǔ)上在“概念系統(tǒng)”中認(rèn)識(shí)概念應(yīng)該是教師的首要選擇.

2.“探究活動(dòng)”推進(jìn)的“節(jié)奏感”要慢一些

日本著名學(xué)者佐藤學(xué)曾指出，教育需要在緩慢的過程中沉淀一些有價(jià)值的東西.我們數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行概念課的教學(xué)時(shí)不能再習(xí)慣于“掐頭去尾燒中段”了，要切實(shí)在概念的形成、明確、表示、應(yīng)用等環(huán)節(jié)真正有效的落實(shí)“慢教育”.從教育與發(fā)展心理學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，概念教學(xué)的核心就是“概括”，數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的能力.概念教學(xué)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性.在這一過程中，要給學(xué)生充分的自主思考、合作討論、展示交流的時(shí)間，讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、對(duì)比、歸納、猜想等思維活動(dòng)逐步認(rèn)識(shí)概念，這樣進(jìn)行概念教學(xué)不僅能使學(xué)生在“過程”中深刻理解概念、感悟其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和積累其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且也能更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.這里倡導(dǎo)的課堂的“慢”，是為了把發(fā)現(xiàn)、鍛煉的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，有足夠的時(shí)空去慢慢消化積累，從而有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效內(nèi)化.

3.“檢測(cè)反饋”把握的“難易度”要準(zhǔn)一些

練習(xí)對(duì)于鞏固知識(shí)、形成技能、培養(yǎng)運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力是至關(guān)重要的.概念課的教學(xué)同樣離不開適量、適當(dāng)、適度的檢測(cè)練習(xí).練習(xí)題的選擇要服從教學(xué)目標(biāo)、圍繞概念的本質(zhì).強(qiáng)調(diào)“多練”絕不是搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，這里要從兩個(gè)方面去把握一個(gè)“實(shí)”，一是練習(xí)要有一定的量，但要以使學(xué)生形成對(duì)概念的正確理解和記憶為限度，所以練習(xí)要講究恰當(dāng)?shù)姆至浚〝?shù)量、難度），即練習(xí)要實(shí)在；二是練習(xí)要講究多樣化，不搞機(jī)械重復(fù)性的練習(xí)，要以使學(xué)生建立當(dāng)前概念與已有相關(guān)概念的聯(lián)系為依據(jù)，即練習(xí)要有實(shí)效.

以上只是筆者就一堂概念課的教學(xué)片斷所生發(fā)的點(diǎn)滴體會(huì)、反思與感悟，也許會(huì)片面或有失偏頗，是個(gè)人的認(rèn)識(shí)和水平有限，還請(qǐng)諸位專家、同行不吝賜教.只要我們切實(shí)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷加強(qiáng)概念課教學(xué)的研究與實(shí)踐，課堂教學(xué)效率就會(huì)大幅度提高，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就能全面提升.

［1］曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

［2］王興富.“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式下“初中數(shù)學(xué)概念課”基本類型［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中），2012（12）：21-23.

［3］劉鈺.讓數(shù)學(xué)課堂回歸自然和理性［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）：22-24.

［4］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2017—06—21

戴文革（1967—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及中考命題與評(píng)價(jià)研究.