分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張東志?お?

[摘要]分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生掌握分類討論思想能夠輕松解決很多數(shù)學(xué)問題.應(yīng)用分類討論思想解題也有助于培養(yǎng)學(xué)生的能力.

[關(guān)鍵詞]分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2017）20002501

分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想.通過分類討論能夠?qū)⒃緩?fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，并能將抽象的問題具體化.[1]學(xué)習(xí)分類討論思想還有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、在方程中的應(yīng)用

方程組是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).教師在講解方程組時(shí)要注意講解解題技巧.不少初中生在學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)后都知道消元法、替換法、去分母法等.[2].但由于方法較多，學(xué)生在解題時(shí)常常會(huì)混淆.此時(shí)，運(yùn)用分類討論思想來解方程就顯得非常重要.在教學(xué)過程中，教師可通過舉例來幫助學(xué)生更好地理解這部分知識(shí).比如，ax-by=a，bx-ay=b，其中a2≠b2.通過分析可知，a與b是字母而不是具體的數(shù)字.因此，需對(duì)a、b的取值進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)a≠0，且b≠0；（2）a=0，且b≠0；（3）a≠0，且b=0.根據(jù)上述分類對(duì)方程組進(jìn)行化簡求解，最終得出x=1，y=0.通過對(duì)這道例題的解析，能讓學(xué)生明白方程組計(jì)算并不復(fù)雜，只需全面考慮分類情況即可.這有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，進(jìn)而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、在圓中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，圓是重要的教學(xué)內(nèi)容.關(guān)于圓的知識(shí)，要求學(xué)生掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、圓與直線、圓與圓、圓與正多邊形之間的關(guān)系等.在解答關(guān)于圓的對(duì)稱性以及位置關(guān)系的習(xí)題時(shí)，常常需用到分類討論思想.若單純依靠想象，很難弄清楚兩個(gè)圓之間的相交、相離、相切等問題，也無法弄清楚相交到底是內(nèi)交、還是外交等問題.因此，通常會(huì)根據(jù)題意作圖，分類討論可能存在的問題.比如，在教學(xué)“圓的對(duì)稱性”內(nèi)容時(shí)，設(shè)計(jì)下列習(xí)題：已知兩個(gè)相交圓的半徑分別為4cm、5cm，公共弦長為6cm，計(jì)算兩個(gè)圓的圓心距.解題思路：由于題目中的圖形具有不確定性，根據(jù)分類討論思想可知，公共弦可能在兩圓心之間，可能在兩圓心同旁.因此，解題時(shí)根據(jù)圓的對(duì)稱性特點(diǎn)，開展分類討論：（1）若公共弦位于兩圓心之間，計(jì)算出圓心距為4+7；（2）若公共弦位于兩圓心同旁，計(jì)算出圓心距為4-7.

三、在三角形問題中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中關(guān)于三角形的習(xí)題中也經(jīng)常需要用到分類討論思想.比如，已知兩邊邊長的等腰三角形，計(jì)算該三角形的周長.由于已知條件具有不確定性，到底哪條為底邊，哪條為腰并未說明.因此，需要進(jìn)行分類討論.假設(shè)其中一條為底邊，另一條為腰，分別討論求解.比如，一直角三角形的兩邊長3cm、4cm，計(jì)算第三邊長.根據(jù)分類討論思想，假設(shè)4cm為斜邊長，或者4cm為一直角邊進(jìn)行分別討論，得出結(jié)果為7cm或5cm.

四、在應(yīng)用題中的應(yīng)用

應(yīng)用題是數(shù)學(xué)考試中最常見的一類題型.應(yīng)用題需要學(xué)生仔細(xì)審題，了解題意，把握題目中的重點(diǎn)內(nèi)容，再結(jié)合所學(xué)知識(shí)來解題.尤其是遇到用字母來代替數(shù)字的題型，不少學(xué)生就不知所措，或者沒有將情況考慮全面.其實(shí)，這正是分類討論思想的運(yùn)用，將每種可能的情況都做相應(yīng)的解答與說明即可.通過對(duì)變量類型的分析與討論，再找到求解的未知量.比如，某酒店在裝修衛(wèi)生間時(shí)選擇了某個(gè)品牌的瓷磚，共需480塊，而在裝飾材料市場(chǎng)上這種規(guī)格的瓷磚分別有黑、白兩種包裝，價(jià)格也不同.白包裝一包30塊，20元/包；黑包裝一包50塊，30元/包.如果黑、白包裝均是整包出售，那么如何購買才能花費(fèi)最少的費(fèi)用？

這個(gè)應(yīng)用題來源于生活，學(xué)生們很快就能熟悉，也很有興趣思考.通過學(xué)生的討論后，他們認(rèn)為有三種購買方案.一是只買白包裝.那么，480塊瓷磚共需要購買16包，所花費(fèi)的費(fèi)用為320元.二是只買黑包裝.那么，480塊瓷磚共需購買10包，所花費(fèi)的費(fèi)用為300元.三是兩種包裝都買.設(shè)購買白包裝x包，黑包裝y包，共花費(fèi)z元.由于x、y、z均為正整數(shù)，因此，20x+30y=z；30x+50y≥480.當(dāng)x=1，y=9時(shí)，z=290元.此時(shí)，至少要花費(fèi)290元.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論思想，還要鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中主動(dòng)去應(yīng)用分類討論思想，提高解題能力.只有將分類討論思想滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面，才能有效提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用水平，從而起到事半功倍的教學(xué)效果.

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄧鳳文.如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想[J].中學(xué)教學(xué)參考，2013，22（26）.

[2]楊繼梓.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類討論思想[J].陜西教育，2011，28（5）.

[3]張麗瑞.初中數(shù)學(xué)教學(xué)分類思想的應(yīng)用[J].讀寫算，2015，16（48）.

[4]祁永前.初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用體會(huì)[J].考試周刊，2013，12（75）.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）