對集合論的辯證思考

趙雁 樂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院

對集合論的辯證思考

趙雁 樂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院

集合論被認為是20世紀偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，它在近代數(shù)學(xué)中有重要的地位。從集合的一些基本常識，認識一下初等數(shù)學(xué)“樸素集合論”的理論基礎(chǔ)是不夠嚴密的。從哲學(xué)高度來看，對集合論作歷史觀察，可以幫助我們有更多的思考。

無限集 集合論 公理化

1 無限集之謎

什么是無限集：就是含有無限個元素的集合。無限與無限集不只是數(shù)學(xué)的課題，同時也是哲學(xué)的問題。并長期困擾著哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家。它的定義十分簡單、明確。但對“無限”的認識哲學(xué)家走在數(shù)學(xué)家的前面。古希臘哲學(xué)家亞里斯多德對“無限”早有許多論述。他說：“一個量具有無限可分性”，“時間也是無限的”…。而無限集是否能作為一個固定的、實在的整體而存在，還無法肯定。

任意兩條不相等線段的點都可以構(gòu)成一一對應(yīng)，只要把一條線段簡單地投射到另一條線段上即能實現(xiàn)。這兩條線段應(yīng)含有同樣多的點，然而一條線段確實比另一條線段長，從而看起來比另一線段要有更多的點。它是十七世紀的科學(xué)家伽里略在他的《兩門新學(xué)科》書中指出的。同時他還指出，正整數(shù)的集合可以同其平方數(shù)的集合成一一對應(yīng)兩者的元素應(yīng)該一樣多。但是后者明顯是前者的一部分，“部分應(yīng)該小于整體”。要避免這種怪事產(chǎn)生，就不應(yīng)該把無限集作為真實的存在。

時間一直到十九世紀，多位大數(shù)學(xué)家站出來反對，數(shù)學(xué)家高斯認為：“反對把無限量作為實體，因為在數(shù)學(xué)中是從來不允許的。無限只不過是用來講極限的一種說話方式”。與高斯同時代的數(shù)學(xué)家柯西，也不承認無限集的存在。他認為部分同整體構(gòu)成一一對應(yīng)是自相矛盾的事。

哲學(xué)家波爾查諾在他的《無窮的悖論》一書中強調(diào)：“一個無限集可以同自身的真子集構(gòu)成一一對應(yīng)”。但同時他也無法解釋這樣的事實，就是“整體大于部分”這一公理間的矛盾。他是第一個站出來維護無限集是真實存在的人。自然沒有堅持到底，也未能揭開無限之謎。

2 集合論創(chuàng)立

集合論是關(guān)于無限與無限集的數(shù)學(xué)理論。首先打開“無限王國”大門的人是哲人科學(xué)家——喬治．康托爾。1846年3月3日，喬治．康托爾生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。他于1895年和1897年先后發(fā)表了《集合論》、《集合論基礎(chǔ)》等兩篇著名的論文。他用集合作為基本概念，并引進了它們的符號；規(guī)定了它們的加法、乘法和乘方等。從而開創(chuàng)了嶄新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域——集合論。

康托爾揭示了無限集與有限集的本質(zhì)區(qū)別：無限集可以與自身的真子集成一一對應(yīng)，而有限集則不行。進而給出了無限集的定義：“如果一集合能與自身的真子集成一一對應(yīng)，這集合就叫做無限集，否則就叫有限集。他認為歐幾里德所提出的公理“整體大于部分”并非絕對真理，它只適用于有限集；對于無限集而言“部分可以等于整體”。

康托爾用一一對應(yīng)的方法將無限集進行分類，并且考察無限集中元素的“個數(shù)”。在康托爾的研究工作之前，人們對各種無限集是不加區(qū)分的，把各種無限集都說成：“含有無限多個元素”。

康托爾的集合論最終被人們譽為是人類思想史上一個重要里程碑。在1900年，著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家彭加勒在國際數(shù)學(xué)家大會上宣布：“由于有了集合論，數(shù)學(xué)的嚴格性已經(jīng)達到了”。不過，康托爾的集合論并未達到無懈可擊，康托爾自己及與他同時代的一些哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們已發(fā)現(xiàn)在康托爾的集合論中有互相矛盾的命題——集合論悖論，當(dāng)時影響最大的是英國哲學(xué)家羅素發(fā)現(xiàn)的悖論。

羅素注意到，按照康托爾的集合論，集合可分為兩類：一類是“不屬于自身的集”，另一類是“屬于自身的集”。他注意那些“不屬于自身的集”，把它們集中起來構(gòu)成一個新集合S。即S={A|A∈A}。

S是所有那些“不屬于自身的集”的全體組成之集。并進一步考察：集合S是否屬于自身？

如果S∈S．則由S的定義，得知S不屬于自身，亦即S∈S，矛盾；但是，如果S∈S。則由于S不屬于自身，由S的定義可知S屬于S，亦即S∈S。又矛盾。

因此，矛盾不可避免，集合論中含有悖論，表明康托爾的理論還未達到完美的程度。

3 集合論的發(fā)展

追究矛盾的起因，人們發(fā)現(xiàn)各種集合論悖論都涉及到一些共同的概念：“所有”或“全體”；矛盾的焦點都集中在一些大而全的集合上。羅素說，“要定義的對象是用包含著這對象自身在內(nèi)的一類對象來定義的”。犯有惡性循環(huán)的錯誤。為此，康托爾自己也提出，要想排除集合論中的悖論，就要排除大而全的集合，但他自己未能找到令人滿意的方案。那么，那些大而全的集合算不算集合呢？必須依據(jù)康托爾的集合定義判斷?？低袪栒f：“我們的直覺或者我們思考的確定的不同的對象的全體叫做集合”。他用描述元素性質(zhì)的辦法定義集合?？低袪柕募细拍罴捌浠具\算原則都是建立在人們直覺的基礎(chǔ)上，其基本思想是極為樸素的，因此人們把康托爾的集合論稱為樸素的集合論。

只憑直覺的認識往往是有局限性的，這決定了樸素集合論中會藏有隱患，根據(jù)康托爾的概括原則必須承認那些大而全的集合是集合?？梢?，問題的癥結(jié)在于概括原則。人們發(fā)現(xiàn)，利用康托爾的概括原則造集，條件太寬松，所得到的集合太廣泛。為了消除集合論的悖論，就必須對康托爾造集的辦法加以改造。一方面要保留樸素集合論中一切有價值的東西，同時又要對集合加以限制，以便排除某些不適當(dāng)?shù)摹凹稀薄?/p>

為此，德國數(shù)學(xué)家蔡梅羅首先提出了集合論的公理化方案：他把集合論改造為一個完全抽象的公理化理論。不把集合簡單看成一些“集團”、“全體”、“總體”，而是滿足諸公理條件的對象。在滿足這些公理之后，一些不適當(dāng)?shù)摹凹稀?，特別是那些大而全的集合就不能作為集合?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)里排除“A∈A”這種寫法，就是滲透了公理化集合論的思想。

眾所周知，對于任何公理系統(tǒng)都應(yīng)證明無矛盾性?！爸灰澜缟线€存在著數(shù)學(xué)家，創(chuàng)新就不會停止”。正所謂：“為了防備狼，羊群已用籬笆墻圈起來了，可是，卻不知道墻內(nèi)是不是早已藏有狼？”，因此，集合論悖論至今還是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們關(guān)心的問題。

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