“統(tǒng)計與概率”課程內(nèi)容教學(xué)研究

【摘要】為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好“統(tǒng)計與概率”的有關(guān)知識，我們首先要了解這部分知識的主要內(nèi)容，把握內(nèi)容的主線、涉及到的核心概念，明確學(xué)習(xí)目標(biāo).然后精心設(shè)計問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程中掌握有關(guān)知識，在解決實際問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，在對實際問題進行判斷分析的過程中提高學(xué)生的推理能力，從而逐步形成數(shù)據(jù)分析觀念和應(yīng)用意識.

【關(guān)鍵詞】核心概念；數(shù)據(jù)分析；應(yīng)用意識；統(tǒng)計推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）在“課程設(shè)計思路”中安排了四個部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”[1].為幫助教師更好的引導(dǎo)初中學(xué)生學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”部分的有關(guān)知識，筆者在本文首先談?wù)剬@部分內(nèi)容的認(rèn)識，然后提出宏觀教學(xué)建議.1全面認(rèn)識“統(tǒng)計與概率”部分內(nèi)容

1.1主要內(nèi)容

“統(tǒng)計與概率”的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進行簡單地推斷；簡單隨機事件及其發(fā)生的概率.

1.2內(nèi)容主線

這部分課程內(nèi)容的主線為[2]：

（1）數(shù)據(jù)分析過程：讓學(xué)生參與收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；

（2）數(shù)據(jù)分析方法：掌握必要的收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的方法；

（3）數(shù)據(jù)的隨機性：體會樣本和總體的關(guān)系.通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現(xiàn)象的變化趨勢；

（4）隨機現(xiàn)象及簡單隨機事件發(fā)生的概率：通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，從而了解并獲得事件的概率.

1.3核心概念

《課標(biāo)（2011年版）》提出了十個核心概念，本部分主要涉及三個：

（1）數(shù)據(jù)分析觀念：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心[1].

（2）應(yīng)用意識：結(jié)合“統(tǒng)計與概率”的知識，使學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的過程，讓學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量的和統(tǒng)計與概率有關(guān)的問題，這些問題可以用統(tǒng)計與概率的知識和方法加以解決，在解決的過程中逐步發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識.

（3）推理能力：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.在“統(tǒng)計與概率”知識的教學(xué)中，結(jié)合具體內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計推理能力.

1.4學(xué)習(xí)目標(biāo)

初中階段“統(tǒng)計與概率”部分的學(xué)習(xí)目標(biāo)為[3]：體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，進一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)特征的方法，根據(jù)數(shù)據(jù)處理的結(jié)果做出合理的統(tǒng)計推斷；進一步體會概率的本質(zhì)含義，能計算簡單事件發(fā)生的概率，能夠應(yīng)用概率的知識解決問題，體會統(tǒng)計與概率之間的聯(lián)系，以及統(tǒng)計與概率在制定決策時的作用.

（1）經(jīng)歷數(shù)據(jù)統(tǒng)計的全過程（提出問題、確定樣本、收集數(shù)據(jù)、整理和描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、作出決策和預(yù)測）；

（2）掌握統(tǒng)計與概率的一些基本知識和方法；

（3）感受客觀世界的不確定性，初步形成對事件發(fā)生概率的認(rèn)識；感悟一些隨機現(xiàn)象的規(guī)律；

（4）運用統(tǒng)計與概率的知識和方法進行推理，作出合理的決策，并進行交流，逐步提高應(yīng)用意識；

（5）能用隨機的觀念認(rèn)識并解釋現(xiàn)實世界，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力；2宏觀教學(xué)建議

統(tǒng)計和概率主要是通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析以及對客觀事件發(fā)生可能性的刻畫，來幫助人們更好的制定決策，這部分內(nèi)容已成為一個公民的必備素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.是義務(wù)教育階段唯一培養(yǎng)學(xué)生用隨機的觀點來理解世界的課程內(nèi)容，使學(xué)生掌握基本的統(tǒng)計與概率的知識和方法，形成數(shù)據(jù)分析的觀念，在面對不確定情境或大量數(shù)據(jù)時，能作出更合理的決策，具有重要的教育價值[4]：

“數(shù)據(jù)分析觀念”是統(tǒng)計和概率部分的核心，因為這部分內(nèi)容與實際生活有著密切的聯(lián)系，所以這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)圍繞如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念及應(yīng)用意識展開.

2.1經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程

在《課標(biāo)（2011年版）》中，數(shù)據(jù)分析觀念包含三層意思：

第一，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；

第二，掌握數(shù)據(jù)分析的基本方法，根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；

第三，通過數(shù)據(jù)分析，感受數(shù)據(jù)的隨機性[2].

本部分內(nèi)容“承載”著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的任務(wù)，形成數(shù)據(jù)分析觀念的有效方法就是讓學(xué)生投入到數(shù)據(jù)分析的全過程中去.學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，不僅能學(xué)習(xí)一些具體的知識和方法，同時還能體會到數(shù)據(jù)中蘊涵著大量有價值的信息，進而提高自己運用數(shù)據(jù)分析問題、解決問題的能力.教學(xué)中應(yīng)“設(shè)計必要的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應(yīng)用”[1].

案例1加權(quán)平均數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程[5].

對于加權(quán)平均數(shù)的概念，教師可設(shè)計以下問題，讓學(xué)生去獨立思考、相互交流，進而發(fā)現(xiàn)新的知識.

（1）你過去已經(jīng)學(xué)過平均數(shù).你能舉例說明如何計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)嗎？如果已知一組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)應(yīng)該怎樣計算？

（2）為滿足顧客的需要，某商場將15kg奶糖、3kg酥心糖和2kg話梅糖混合成什錦糖出售.已知奶糖的售價為每千克40元，酥心糖為每千克20元，話梅糖為每千克15元.混合后什錦糖的售價應(yīng)為每千克多少元？

小亮認(rèn)為：混合后每千克什錦糖的售價是三種糖單價的平均數(shù)，即40+20+153=25（元）.

小瑩認(rèn)為：在總體中三種糖的質(zhì)量不相等，計算每千克什錦糖的售價時，應(yīng)求出混合后三種糖的總價格，再除以它們的總質(zhì)量數(shù)，即40×15+20×3+15×215+3+2=34.5（元）.

你同意上面誰的算法？與同學(xué)交流.

（3）上面小瑩列出的算式還可以作以下變形：

40×15+20×3+15×215+3+2=40×1520+20×320+15×220=34.5（元）.

由此可見，什錦糖的單價不僅與混合前奶糖、酥心糖和話梅糖的單價有關(guān)，也與混合后這三種糖的質(zhì)量在什錦糖質(zhì)量中所占的比值有關(guān).

（4）由問題（3）所列出的算式可以看出，數(shù)據(jù)40，20，15對什錦糖單價影響的“重要程度”是不一樣的.你發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)據(jù)影響平均數(shù)大小的“重要程度”可以通過哪三個比值反映出來？

（5）某車間工人日加工零件數(shù)如下表所示，仿照（3）中小瑩列出的算式，你能計算出平均每個工人日加工零件的個數(shù)嗎？

在這個問題中，數(shù)據(jù)20，22，24，25出現(xiàn)的次數(shù)是不同的，因此，全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅受上述4個數(shù)據(jù)大小的影響，還要受到它們占這組數(shù)據(jù)總件數(shù)40的比值440，840，2040，840的影響.這就是說，這些比值的大小分別代表了上述四個數(shù)據(jù)影響平均數(shù)大小的“重要程度”.

因此，我們把比值440，840，2040，840分別稱作數(shù)據(jù)20，22，24，25的權(quán).

（6）在加權(quán)平均數(shù)的計算公式中，所有數(shù)據(jù)的權(quán)的和是多少？對比加權(quán)平均數(shù)與以前學(xué)過的平均數(shù)的意義，你能說出二者有什么聯(lián)系嗎？

設(shè)計意圖學(xué)生在小學(xué)第二學(xué)段已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平均數(shù)”的概念，問題（1）就是引導(dǎo)學(xué)生回憶這個問題的，本設(shè)計也就是在這個基礎(chǔ)上產(chǎn)生的（這個基礎(chǔ)本質(zhì)上反映出引進加權(quán)平均數(shù)的可行性）.為了體現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“現(xiàn)實性”要求，讓學(xué)生加深對“數(shù)學(xué)來源于生活“的認(rèn)識，設(shè)計了兩個實際問題：第一個實際問題（求“什錦糖”的售價），這是個求平均數(shù)的問題.部分學(xué)生受思維定勢的影響，可能會根據(jù)小學(xué)學(xué)過的平均數(shù)的求法，得到小亮的結(jié)果.為了讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這種計算方法的錯誤，引起認(rèn)知上的沖突，由小瑩給出了另外一種計算方法.學(xué)生通過獨立思考、相互交流能判斷出小瑩的解答是正確的.之后，通過對小瑩列出的算式的變形，引出問題（3）中的算式，目的在于使學(xué)生感受到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不僅與這組數(shù)中各個不同數(shù)據(jù)的大小有關(guān)，也與各個不同數(shù)據(jù)在總體中所占的比重，即各個數(shù)據(jù)影響平均數(shù)的“重要程度”有關(guān).初步感受加權(quán)平均數(shù)中的“權(quán)”的意義.第二個實際問題，即問題（5）中計算“平均每個工人日加工零件的個數(shù)”，這也是個求平均數(shù)的問題.通過問題（5），學(xué)生再次感受到如果各個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值不同，在計算平均數(shù)時它們的重要程度也不相同（體現(xiàn)了引入新概念的必要性）.因此，需要對學(xué)生原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中平均數(shù)的計算方法進行加工改造，引出權(quán)的概念和加權(quán)平均數(shù)的計算公式，由平均數(shù)概念擴充到加權(quán)平均數(shù)概念及其求法，擴大了學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.2培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

《課標(biāo)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)“根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動.……這樣的活動要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”[1].在“統(tǒng)計與概率”知識的教學(xué)中，應(yīng)注重設(shè)計貼近學(xué)生生活的情境，使他們經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的過程，逐步發(fā)展應(yīng)用意識[2].

案例2怎樣的記分規(guī)則才合理[6].

青年歌手大獎賽的決賽在甲、乙兩名歌手之間進行，9位評委的評分（10分為滿分）情況如下表所示（單位：分）：

（1）將甲、乙兩名歌手的得分適當(dāng)進行分組整理，并列成統(tǒng)計表；

（2）分別求出甲、乙兩名歌手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

（3）由（2）的結(jié)果，分析甲、乙兩名歌手中誰的演唱水平較高；

（4）如果以平均分為標(biāo)準(zhǔn)區(qū)分比賽的名次，那么制訂怎樣的計分規(guī)則比較合理？

設(shè)計意圖為培養(yǎng)學(xué)生能對日常生活中的有關(guān)統(tǒng)計問題做出分析判斷，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念和應(yīng)用意識，特設(shè)計了以上四個問題：（1）要求學(xué)生先把題目中出現(xiàn)的評委對甲、乙兩名歌手打分的原始數(shù)據(jù)適當(dāng)進行分組、整理，并用統(tǒng)計圖表分別描述；（2）分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，使學(xué)生進一步感受這三個統(tǒng)計量計算方法的區(qū)別；（3）要求學(xué)生根據(jù)問題（2）的結(jié)果，利用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)對甲、乙的演唱水平進行評價，這實際上是對兩組數(shù)據(jù)的集中程度從不同角度進行比較.學(xué)生通過解答這個問題，能認(rèn)識到如果在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)個別差異較大的數(shù)據(jù)時，用不同的統(tǒng)計量評價時，結(jié)果是不一樣的.（4）制定計分規(guī)則是為了消除個別差異較大的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響，采取去掉兩個極端數(shù)據(jù)后再求平均數(shù)的方法，使評價的結(jié)果盡量做到客觀公正，這實際上是對問題（2）中求平均數(shù)方法的改進.

2.3加強統(tǒng)計推理訓(xùn)練

統(tǒng)計推理是國際公認(rèn)的統(tǒng)計學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，讓學(xué)生具備根據(jù)不確定的情境做出決策以及處理統(tǒng)計信息的能力，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要措施之一.在“統(tǒng)計與概率”部分的教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合具體知識，對學(xué)生進行統(tǒng)計推理訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生的說理能力，從而實現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》指出的“了解利用數(shù)據(jù)可以進行統(tǒng)計推理，發(fā)展建立數(shù)據(jù)分析觀念”[1]的課程目標(biāo).

案例3這種游戲公平嗎？（2016年山東威海中考題）

一個盒子里有標(biāo)號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，這些小球除標(biāo)號數(shù)字外都相同.

（1）從盒中隨機摸出一個小球，求摸到標(biāo)號數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率；

（2）甲、乙兩人用這六個小球玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從盒中隨機摸出一個小球，記下標(biāo)號數(shù)字后放回盒里，充分搖勻后，乙再從盒中隨機摸出一個小球，并記下標(biāo)號數(shù)字.若兩次摸到小球的標(biāo)號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則判甲贏；若兩次摸到小球的標(biāo)號數(shù)字為一奇一偶，則判乙贏.請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲?qū)?、乙兩人是否公?

析解（1）因為標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的六個小球中，標(biāo)號數(shù)字為奇數(shù)的有三個，所以摸到標(biāo)號數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率為：36=12.

（2）畫樹狀圖：

如上圖所示，共有36種等可能的情況，兩次摸到小球的標(biāo)號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)的有18種，摸到小球的標(biāo)號數(shù)字為一奇一偶的結(jié)果也有18種，由此可求出P（甲）=1836=12，P（乙）=1836=12.

顯然這個游戲?qū)住⒁覂扇耸枪降?

啟示本題是用概率的知識判斷游戲的公平性問題.選材來源于學(xué)生的生活實際，符合學(xué)生的認(rèn)知心理特點，這樣的問題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動其學(xué)習(xí)積極性.學(xué)生通過解答類似的問題，能“體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考”，這對于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是大有幫助的，這種“以理服人”的好習(xí)慣、好品質(zhì)也是基礎(chǔ)教育的目的之一.

以上我們論述了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”知識的宏觀策略.在教學(xué)中要認(rèn)真研讀《課標(biāo)（2011年版）》準(zhǔn)確把握課程內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)要求，結(jié)合具體的知識內(nèi)容，精心設(shè)計一些能利用這些知識進行統(tǒng)計活動的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、計算、推理等活動的過程.既重在實踐，又重在綜合，注重數(shù)學(xué)與生活實際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的理性精神和人文價值[7].逐漸培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念以及應(yīng)用統(tǒng)計與概率知識解決實際問題的能力，不斷積累數(shù)學(xué)統(tǒng)計經(jīng)驗，逐步形成“評價與反思”的良好習(xí)慣和“嚴(yán)謹(jǐn)求實”的科學(xué)態(tài)度.

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