初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)例析

蒲大勇

【摘要】結(jié)構(gòu)性思維是從數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)中去理解數(shù)學(xué)知識，領(lǐng)會數(shù)學(xué)方法，滲透數(shù)學(xué)思想的一種教學(xué)范式.結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)要經(jīng)歷“解構(gòu)——比構(gòu)——重構(gòu)——結(jié)構(gòu)”的過程.通過對教學(xué)案例的分析啟示我們：系統(tǒng)解構(gòu)，讓學(xué)生“想得到”；縱橫比構(gòu)，讓學(xué)生“懂邏輯”；經(jīng)歷重構(gòu)，讓學(xué)生“會思考”；整合結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生“能思維”.

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)性思維；教學(xué)范式；案例分析；教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴密的知識體系、嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu).任何數(shù)學(xué)知識都不是孤立存在的，它們共存在一個完整而又嚴謹?shù)捏w系之中.也就是說，數(shù)學(xué)知識是一個大結(jié)構(gòu)，每一節(jié)內(nèi)容、每一個知識點都是這個大結(jié)構(gòu)中的一個元素.從邏輯學(xué)角度說，數(shù)學(xué)教學(xué)是一種結(jié)構(gòu)性教學(xué).數(shù)學(xué)又是一門思維的科學(xué).數(shù)學(xué)教學(xué)活動是一項思維活動.數(shù)學(xué)教學(xué)的價值不僅僅是教技術(shù)、教方法和教技巧，而且還要教發(fā)現(xiàn)，教研究問題的思維方式、解決問題的基本策略及體會數(shù)學(xué)教育的智慧價值，學(xué)會數(shù)學(xué)的思維方式[1].從思維學(xué)角度說，數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)上是一種結(jié)構(gòu)性思維教學(xué).那么，何謂結(jié)構(gòu)性思維？所謂結(jié)構(gòu)性思維是指從結(jié)構(gòu)的視角分析事物的一種方法，強調(diào)從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)去認識客觀事物，并從中尋找最優(yōu)結(jié)構(gòu)，以獲取最佳系統(tǒng)效能的思維方法[2].相對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，結(jié)構(gòu)性思維就是從數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)中去理解數(shù)學(xué)知識，領(lǐng)會數(shù)學(xué)方法，滲透數(shù)學(xué)思想的一種教學(xué)范式.進一步說，結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)要經(jīng)歷“解構(gòu)——比構(gòu)——重構(gòu)——結(jié)構(gòu)”的過程.那么，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何實施結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)呢？為了便于說明，以人教版八年級數(shù)學(xué)“從分數(shù)到分式”的教學(xué)片段為例.1數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)環(huán)節(jié)分析

環(huán)節(jié)一：解構(gòu)

在這里，解構(gòu)就是把一個整體（或系統(tǒng)）進行分解、消解、拆解成若干元素（或子系統(tǒng)）的過程，也就是從整體到局部深入到數(shù)學(xué)知識內(nèi)部，對其進行細致地分析的數(shù)學(xué)活動過程.解構(gòu)是結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)的第一步，其目的是對已知整體（或系統(tǒng)）數(shù)學(xué)知識層層分解，為深度認識新知鋪路.解構(gòu)數(shù)學(xué)活動具有“三性”：一是整體性.所解構(gòu)的元素（或子系統(tǒng)）是整體中的組成部分，整體中應(yīng)包含這里的元素（或子系統(tǒng)）.二是層級性.解構(gòu)是按照一定的邏輯關(guān)系，把整體分解為若干元素（或子系統(tǒng)），整體與元素（或子系統(tǒng)）之間在內(nèi)部關(guān)系上呈現(xiàn)層級性.三是關(guān)聯(lián)性.解構(gòu)的數(shù)學(xué)知識與整體之間、元素與元素之間、子系統(tǒng)與子系統(tǒng)之間按照已有的邏輯關(guān)系呈現(xiàn)關(guān)聯(lián)性，元素（或子系統(tǒng)）不能游離于整體之外.

問題1“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域包括了“數(shù)”和“代數(shù)”兩部分內(nèi)容，從小學(xué)到現(xiàn)在，數(shù)系經(jīng)歷了一個怎樣的擴張過程？

學(xué)生通過自主合作學(xué)習(xí)，形成了如圖1所示的知識結(jié)構(gòu)：

追問：“分數(shù)”主要包括哪些知識？（經(jīng)過討論，形成圖2所示的知識結(jié)構(gòu)）

評析上述教學(xué)片段通過學(xué)生自主合作學(xué)習(xí)，按照“整體——局部”的解構(gòu)方式，把宏觀知識“實數(shù)”進行解構(gòu)，并對微觀知識“分數(shù)”進行第二次解構(gòu).這種解構(gòu)方式，不僅讓學(xué)生層層深入對“實數(shù)”內(nèi)部知識之間的邏輯關(guān)系有更清晰的了解，而且為后續(xù)學(xué)習(xí)“分式”起著“先行組織者”的作用.

環(huán)節(jié)二：比構(gòu)

在這里，比構(gòu)就是根據(jù)一定邏輯標(biāo)準(zhǔn)，在兩種或兩種以上有某種聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識間，由已知數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)推測另一種未知數(shù)學(xué)知識內(nèi)部結(jié)構(gòu)的過程.比構(gòu)是結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)中的解構(gòu)環(huán)節(jié)的繼續(xù)，其重點在于“比”，落腳點在于“構(gòu)”，這里的“比”主要是“類比”，通過具有相似性的兩種或兩種以上的數(shù)學(xué)知識的比較；“構(gòu)”就是“構(gòu)建”，也就是由已知推測出未知.比構(gòu)數(shù)學(xué)活動有“三原則”：一是相關(guān)性原則.已知的數(shù)學(xué)知識和未知的數(shù)學(xué)知識之間有某種相關(guān)，兩種純粹不相關(guān)的數(shù)學(xué)知識不能用比構(gòu)的方式.二是一致性原則.未知數(shù)學(xué)知識的分解或統(tǒng)整與已知數(shù)學(xué)知識的分解或統(tǒng)整在標(biāo)準(zhǔn)上是一致的.三是可能性原則.未知數(shù)學(xué)知識是通過比構(gòu)推測而來，這只是一種可能，不能確保它的科學(xué)性和合理性，也就是通過比構(gòu)而得的數(shù)學(xué)知識必須通過數(shù)學(xué)推理、論證等可靠的方式才能保證其科學(xué)性.

問題2大家知道了“實數(shù)”的知識結(jié)構(gòu)，類比“實數(shù)”的知識結(jié)構(gòu)把“代數(shù)式”的知識結(jié)構(gòu)寫出來.（師生合作形成了如圖3所示的知識結(jié)構(gòu)）

評析上述教學(xué)片段學(xué)生類比“實數(shù)”的知識結(jié)構(gòu)，通過初步分析、比較等數(shù)學(xué)活動，推測了“代數(shù)式”的知識結(jié)構(gòu)，不僅讓學(xué)生初步感知了“代數(shù)式”內(nèi)部知識之間的邏輯關(guān)系，而且為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)三：重構(gòu)

在這里，重構(gòu)就是數(shù)學(xué)知識內(nèi)部結(jié)構(gòu)的一種調(diào)整.說得具體一點，重構(gòu)在相當(dāng)程度上就是數(shù)學(xué)知識元素的重新安排或者數(shù)學(xué)知識元素間關(guān)系的重組，最終形成新的聯(lián)系.這種重構(gòu)可能是局部的、廣泛的，甚至是劇烈的.重構(gòu)的數(shù)學(xué)活動具有“三重”特性：一是重塑.就是對原有觀念的“重塑”，用著名教授鄭毓信的話說——重構(gòu)就是用一種新的觀點去看待一件熟悉的事物，從而也就常常意味著觀念的重要變化或更新，甚至是用完全不相容的觀點去取代原先的認識.二是重組.就是對學(xué)生已有認知結(jié)構(gòu)的“重組”.研究表明，學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)是一個逐步完善的過程，在這個過程中實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的重組，使其更加結(jié)構(gòu)化.三是重建.就是重建概念的聯(lián)系.數(shù)學(xué)概念是個龐大的系統(tǒng)，諸多概念之間有很多的聯(lián)系，形成了錯綜復(fù)雜的概念網(wǎng)絡(luò).重構(gòu)就是對原有的概念網(wǎng)絡(luò)的不斷修正、重建.

問題3如何類比分數(shù)的意義理解分式的意義呢？

片段一：分數(shù)的意義.

師：請說說分數(shù)23、37表達的意義.

生：23表示2除以3的商，37表示3除以7的商.

片段二：分式的意義.

師：式子：ta-x，t180（n-2），360t，st，na-x，…，它們有什么共同點？它們與分數(shù)有什么相同點和不同點？

（學(xué)生思考討論中）

生：這幾個式子都含有分母，并且分母中含有字母.它們與分數(shù)的相同點為：在形式上相同，都有分母、分子和分數(shù)線；不同點為：這些式子分母中含有字母，分數(shù)的分母是一個具體的數(shù).

（學(xué)生嘗試表達后形成共識，教師歸納提煉）

師：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.

評析上述兩個教學(xué)片段，學(xué)生通過對已有知識“分數(shù)”的回顧，在對未知數(shù)學(xué)知識的重構(gòu)過程中，既有對原有觀念的“重塑”，也有對學(xué)生認知結(jié)構(gòu)——分數(shù)的“重組”，更有對分式概念的“重建”，最終理解了分式的意義.

環(huán)節(jié)四：結(jié)構(gòu)

在這里，結(jié)構(gòu)是指數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)內(nèi)部各元素之間的相互聯(lián)系，相互作用的方式和秩序.結(jié)構(gòu)的目的是達到知識的結(jié)構(gòu)化，說得直白點，就是把知識元素按其相互聯(lián)系、相互作用的方式和秩序組合起來.知識的結(jié)構(gòu)化是結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)的最終目標(biāo)，在形成結(jié)構(gòu)的過程中，要注意三點：一是夯實基礎(chǔ).準(zhǔn)確無誤的知識元素是知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，知識元素在知識結(jié)構(gòu)中有唯一確定的位置.因此，教學(xué)中要保證每一知識元素的正確性，只有這樣才能明確每一知識元素在知識結(jié)構(gòu)中的唯一確定的位置，從而保證知識結(jié)構(gòu)的正確.二是把準(zhǔn)邏輯.眾多知識建立成結(jié)構(gòu)，不是一種簡單的組合，或者說不是某種關(guān)系的“格式”，而是按照某種規(guī)則的“邏輯安排”，所以，教學(xué)中務(wù)必把準(zhǔn)形成結(jié)構(gòu)的邏輯，從知識之間的內(nèi)部關(guān)系加以考量.三是形成系統(tǒng).眾多知識形成結(jié)構(gòu)本身就是一種系統(tǒng)，這個系統(tǒng)屬于小系統(tǒng)；而結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)之間形成較大的系統(tǒng)，教學(xué)就是要幫助或指導(dǎo)學(xué)生不斷地把新的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)納入到知識系統(tǒng)中去，把小的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)組合成大的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng).

問題4嘗試比較分數(shù)與分式、整式與分式，并建立“數(shù)與代數(shù)”的知識結(jié)構(gòu).

評析上述教學(xué)片段按照“微觀——中觀——宏觀”的歷程幫助學(xué)生形成知識結(jié)構(gòu)，“分數(shù)”與“分式”在微觀層面的比較、“整式”與“分式”在中觀層面的比較，幫助學(xué)生建立進一步學(xué)習(xí)的“基本套路”，也就形成一個小結(jié)構(gòu)；進而引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”到“式”在宏觀層面建立了基本框架，形成了“數(shù)與代數(shù)”的知識結(jié)構(gòu).2數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)啟示

結(jié)構(gòu)性思維教學(xué)是以數(shù)學(xué)知識整體結(jié)構(gòu)為教學(xué)視角，按照“解構(gòu)——比構(gòu)——重構(gòu)——結(jié)構(gòu)”的歷程進行教學(xué)，其目的是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生會數(shù)學(xué)地思維，在這個過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，以此達到促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以發(fā)展的目標(biāo).

2.1系統(tǒng)解構(gòu)，讓學(xué)生“想得到”

對于一個具體的數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)知識，學(xué)生常常被“這些問題是怎么提出來的？”“這個數(shù)學(xué)知識從何而來？”“你是怎么想到如此數(shù)學(xué)方法的？”……這些看似無關(guān)緊要的問題長期困擾.這些問題實則是數(shù)學(xué)思維的“本源性”問題.數(shù)學(xué)教學(xué)就要從這些“本源性”問題入手，追根溯源，通過適當(dāng)?shù)膯栴}情境，為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的“源頭”，使學(xué)生知道這個或這些“源于”何處.上述教學(xué)片段，從學(xué)生已學(xué)過并熟悉的“實數(shù)”和“分數(shù)”入手，解構(gòu)分析了“數(shù)的知識結(jié)構(gòu)”，這個過程“孕育”了“實數(shù)”的分類標(biāo)準(zhǔn)和原則，滲透了“分數(shù)”學(xué)習(xí)的基本套路，更為重要的是為學(xué)生拓展學(xué)習(xí)“代數(shù)式”以及“分式”提供了基本范式，學(xué)生在接下來的學(xué)習(xí)中就很容易“想得到”.

2.2縱橫比構(gòu)，讓學(xué)生“懂邏輯”

教師常給學(xué)生說：“學(xué)習(xí)要達‘觸類旁通之成效.”此話給學(xué)生留下了太多思考空間——“觸的類在哪？旁通，通什么？”“通過怎樣的途徑才能觸類旁通？”事實上，數(shù)學(xué)是邏輯性、系統(tǒng)性很強的學(xué)科，不同知識之間形成了節(jié)節(jié)相連的“鏈條”，知識內(nèi)部環(huán)環(huán)相扣，舊知里孕育新知，新知又不斷轉(zhuǎn)化為舊知，正是這樣，數(shù)學(xué)知識形成了一個縱橫交錯、立體的知識網(wǎng)絡(luò).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于找新舊知識的“連接點”，要從與新知相關(guān)的基礎(chǔ)知識設(shè)計教學(xué)，重點分析新知與舊知之間的聯(lián)系，并把教學(xué)起點放在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓他們更好地同化或順應(yīng)新知；要善于比較、分析舊知的“發(fā)生點”，在舊知中孕伏“新知”，重點分析新舊知識的縱橫聯(lián)系，把教學(xué)終點放在與后繼知識的發(fā)生點上，更好地孕伏滲透后續(xù)知識.上述教學(xué)不僅從“數(shù)到式”，而且從“分數(shù)到分式”，在“數(shù)”中孕伏“式”的教學(xué)，讓學(xué)生在“數(shù)”中懂邏輯，并從“數(shù)”的邏輯演繹到“式”的邏輯.

2.3經(jīng)歷重構(gòu)，讓學(xué)生“會思考”

“新知從舊知內(nèi)部產(chǎn)生要經(jīng)過哪些過程？”“需要運用哪些數(shù)學(xué)方法？”“解決這個問題需要從哪里找突破口？”“解決某個數(shù)學(xué)問題具體該怎樣思維？”等一系列“過程性”問題是學(xué)生思考的困惑點.數(shù)學(xué)教學(xué)就要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個數(shù)學(xué)對象的基本過程，使學(xué)生在掌握知識的過程中學(xué)會思考[3].上述教學(xué)注重以舊知“實數(shù)”和“分數(shù)”的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學(xué)生構(gòu)建了一個“類比、歸納、猜想、推理、反思”等數(shù)學(xué)思維活動過程，再到新知“分式”的概念教學(xué)時，學(xué)生經(jīng)歷“重構(gòu)”的過程中也就“會思考”.

2.4整合結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生“能思維”

“對于具體數(shù)學(xué)問題我該從何處想？”“解決這個問題的基本套路是什么？”等一系列“思想性”問題是學(xué)生迫切需要收獲的.數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅滿足于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握，對數(shù)學(xué)方法的運用，更重要的是對數(shù)學(xué)思想的升華，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，讓學(xué)生“能思維”.數(shù)學(xué)教學(xué)重在激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，重在啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深層參與，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以發(fā)生和發(fā)展.上述教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷了“分式”和“數(shù)和代數(shù)知識結(jié)構(gòu)”的類比、探索、建構(gòu)的過程，體會歸納、類比的數(shù)學(xué)思想，進一步領(lǐng)會“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)基本套路；讓學(xué)生參與“實數(shù)”和“分數(shù)”知識的回顧與思考的活動，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會歸納、概括，從而逐步提高學(xué)生的思考力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思想和方法來思考和處理問題的習(xí)慣.

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