變的是形式不變的是本質(zhì)

幾何最值問題屬于中考題中的熱點(diǎn)問題、難點(diǎn)問題，近年一些另類的幾何最值問題又出現(xiàn)在中考中，筆者在研究這些所謂的另類幾何最值問題時(shí)發(fā)現(xiàn)其實(shí)它們本質(zhì)是不變的，變的只是形式.下面結(jié)合一些具體例子談?wù)勥@一類幾何最值問題以及兩點(diǎn)思考，懇請同仁指正.

1將軍飲馬問題

“將軍飲馬”問題屬于最基本的幾何最值問題，有兩種最基本形式，A、B兩點(diǎn)在直線的異側(cè)（如圖1），或者A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)（如圖2），在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小.

如圖1，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB最小.理由是公理：“兩點(diǎn)之間，線段最短”，或者說“三角形兩邊之和大于第三邊”.（如圖1，取異于P點(diǎn)的另一點(diǎn)Q，構(gòu)成△ABQ.）這揭示了這一類幾何最值問題的本質(zhì)原理：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得兩線段和的最小值.

如圖2，當(dāng)A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，利用“軸對稱”將此問題轉(zhuǎn)化為圖1的情況，問題就得到解決.這揭示了這一類幾何最值問題的解決之道：轉(zhuǎn)化思想.

我們可以把將軍飲馬問題總結(jié)為一種模型，求兩線段和的最小值，我們不妨記作“a+b”且動點(diǎn)是直線型.

例1（2016年蘇州）矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖3所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)△CDE的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）.

A.（3，1）B.（3，43）C.（3，53）D.（3，2）

解析△CDE的周長為CD、DE、CE三線段和，但CD為定值，所以也就是DE和CE兩線段和的最小值，且點(diǎn)E是直線AB上動點(diǎn)，符合將軍飲馬問題之同側(cè)類型，所以作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，連接CD′，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求.根據(jù)△D′AE∽△D′OC，AEOC=D′AD′O，所以AE=43，選B.2拋物線問題

例2（2015年河南）如圖4，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F.點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（-4，0），連接PD，PE，DE.

（1）請直接寫出拋物線的解析式；

（2）小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值.進(jìn)而猜想：對于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值.請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”，則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，且使△PDE的周長最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)”.請直接寫出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出△PDE的周長最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo).

解析（1）y=-18x2+8；（2）PD-PF=2，理由略；

（3）類似例1，△PDE的周長中DE為定值，也就是PD和PE兩線段和的最小值，但是點(diǎn)P是拋物線上動點(diǎn)，無法類似例1作軸對稱轉(zhuǎn)化，但根據(jù)第（2）問，PD可以向PF轉(zhuǎn)化，PE+PD=PE+PF+2，轉(zhuǎn)化為PE+PF的最小值，當(dāng)E、P、F三點(diǎn)共線時(shí)取得線段和的最小值，此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)和E點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，為-4，所以點(diǎn)P（-4，6）.

我們可以仿照將軍飲馬問題模型，將此記作“a+b”且動點(diǎn)為拋物線型.解決之道還是轉(zhuǎn)化思想.

此題其實(shí)應(yīng)用了高中數(shù)學(xué)拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)不在定直線上.也就是拋物線上的任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于P到準(zhǔn)線的距離.自2010年南通和黃岡中考中涉及此類問題后，近幾年中考頻繁出現(xiàn)，如2011年四川眉山，2012年四川資陽，2014年湖北咸寧，2015年江蘇宿遷等等，但所有這些中考題中都不出現(xiàn)“焦點(diǎn)”和“準(zhǔn)線”，也不是要求學(xué)生用高中數(shù)學(xué)拋物線的知識去解決問題，而基本都像例2一樣設(shè)置探索小問，讓學(xué)生在探索中獲得解決問題之道：轉(zhuǎn)化思想.

3胡不歸問題

例3（2016年徐州）如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（0，-3），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若P為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PD，則12PB+PD的最小值為；

（3）略.

解析（1）拋物線解析式為y=32x2-32x-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)12，-938；

（2）所求的12PB+PD的最小值不再是“a+b”型，而是“a+kb”型.解決之道還是轉(zhuǎn)化思想，將“a+kb”型轉(zhuǎn)化為“a+b”型，如圖5，過點(diǎn)P作AB的垂線PH，根據(jù)條件，∠PBA=30°，所以PH=12PB，12PB+PD就轉(zhuǎn)化為PH+PD，當(dāng)D、P、H三點(diǎn)共線時(shí)取得線段和的最小值，即DH的長，在Rt△ADH中，∠HAD=60°，AD=32，解得DH=334.

我們可以仿照將軍飲馬問題模型，將此記作“a+kb”且動點(diǎn)為直線型，解決之道還是轉(zhuǎn)化思想.

此題其實(shí)屬于古典名題：胡不歸問題.近幾年中考題也頻繁出現(xiàn)，如2007年煙臺中考，2009年北京中考，2014年成都中考，2015年內(nèi)江中考等等.但是和上面拋物線問題一樣，不出現(xiàn)“胡不歸”，同樣是通過題中的條件讓學(xué)生能將問題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為學(xué)生能夠解決的問題.

所以說，所謂的另類幾何最值問題其實(shí)都是可以轉(zhuǎn)化為學(xué)生能夠解決的問題，中考中這類題想考查學(xué)生的主要還是轉(zhuǎn)化思想，出題者都在這類問題中設(shè)置了特殊的條件或者引導(dǎo)了轉(zhuǎn)化的方向，學(xué)生只要掌握了基本原理：將軍飲馬問題，掌握了問題解決之道：轉(zhuǎn)化思想，解決這類幾何最值問題就不是難事.

4兩點(diǎn)思考

4.1問題逆向的應(yīng)用

這一類幾何最值問題是解決兩線段和的最小值問題，逆向思考，有一類求一條線段的最大值問題可以轉(zhuǎn)化為這類兩線段和的問題.

例4（2012年濟(jì)南）如圖6，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動，矩形ABCD形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動過程中，點(diǎn)D到O的最大距離為（）.

A.2+1B.5C.1455D.52

解析如圖6，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE，運(yùn)動過程中，OE和DE是定值，即OE+DE是定值，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，線段OD取得最大值，即為OE+DE的值.易計(jì)算得OE=1，DE=2，所以O(shè)D最大值為2+1，選A.

下面一題作為自主練習(xí)：如圖7，已知P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，則PC的最大值是.

4.2本質(zhì)原理最重要

例5（2012年揚(yáng)州）如圖8，線段AB的長為2，C為AB上一個(gè)動點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是.

作為一種技巧方法，教師可能會講如下方法：如圖9，將AD、BE延長得到等腰直角三角形△FAB，那么四邊形CDFE為矩形，則DE=FC，當(dāng)FC垂直AB時(shí)最小，最小為AB的一半，即DE最小值為1.

但是，當(dāng)變式為“如圖10，兩個(gè)正三角形△ACD和△BCE，”或者“如圖11，以AC、BC為底邊的兩個(gè)等腰三角形△ACD和△BCE”，那么，如圖12，將AD、BE延長得到正三角形△FAB或者等腰三角形△FAB，那么四邊形CDFE為平行四邊形，則DE不等于FC，不能進(jìn)行轉(zhuǎn)換了.此特色技巧方法就行不通了，不能解決問題了.

如同對于例4，有些老師、有些文章將其方法總結(jié)為“取中點(diǎn)”法，讓學(xué)生遇到此類問題就取中點(diǎn)來解決問題.那么我們來看看下面一題，它是例4的變式.

例6如圖13，平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD，AB=2，BC=1，點(diǎn)A和B分別在x軸正半軸和第一象限角平分線上滑動，點(diǎn)C在第一象限，求OC的最大值.

顯然，這時(shí)取AB的中點(diǎn)E，CE是定值，但OE不是定值，所以取中點(diǎn)是不能解決問題的.

這都是因?yàn)闆]有弄清問題的本質(zhì).實(shí)際上，例5的本質(zhì)是這樣的：如圖14，過D、E作AB的垂線DM、EN，因?yàn)槭堑妊切?，所以CM等于AC的一半，CN等于BC的一半，所以MN等于AB的一半，所以D、E是在兩條距離為定值的直線上運(yùn)動，當(dāng)DE和這兩條直線垂直時(shí)DE最小，即兩條直線之間的距離.所以即使如圖15，改編成“等腰直角三角形△ACD和等邊△BCE，”答案也不變，因?yàn)閱栴}的本質(zhì)不變.此題還可以拓展問：AC為何值時(shí)，DE取得最小值？

例4和例6問題的本質(zhì)是：問題中有三個(gè)條件要素是確定的，一是兩個(gè)動點(diǎn)構(gòu)成線段AB的長度大小，二是∠AOB角度大小，三是點(diǎn)C位置相對AB來說是確定的.由一和二，根據(jù)正弦定理可得△AOB的外接圓大小是確定的.所以問題的本質(zhì)是，一方面是根據(jù)線段AB的長度大小和∠AOB角度大小可以確定三角形外接圓的大小，另一方面點(diǎn)C位置相對AB來說是確定的.所以本質(zhì)方法應(yīng)是，如圖16，取三角形AOB外接圓的圓心I，則線段OI為定值，等于外接圓的半徑2，且三角形BIC是確定的，∠IBC=135°，BI=2，BC=1，所以可解三角形得CI=5，所以當(dāng)O、I、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段OC取得最大值，即為OI+CI的值，為2+5.例4的中點(diǎn)只是恰好是外接圓的圓心而已.

對于解題教學(xué)，教師在講授數(shù)學(xué)問題時(shí)應(yīng)該努力揭示問題的本質(zhì)，揭示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，只有讓學(xué)生體會和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

作者簡介徐宏（1982—），男，中小學(xué)一級教師，常州市骨干教師；發(fā)表多篇文章.