問(wèn)題探究教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

天津市濱海新區(qū)大港油田第一中學(xué) 宋艷東

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“三維目標(biāo)”提出了不同水平的具體要求，在“過(guò)程與方法”中，就明確指出要改變課程實(shí)施過(guò)程中過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，自主探究，勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力，分析和解決問(wèn)題的能力以及交流與合作的能力。這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)就不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。學(xué)習(xí)方式改變的核心取決于教學(xué)方式的改進(jìn)。所以通過(guò)很多專(zhuān)家的努力鉆研，產(chǎn)生了很多高效的教學(xué)模式和方法。其中問(wèn)題探究教學(xué)法就是以現(xiàn)代建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀為指導(dǎo)的一種新型的教學(xué)模式，它是以問(wèn)題為載體展開(kāi)教學(xué)，以學(xué)生自己獨(dú)立學(xué)習(xí)和合作討論為前提，通過(guò)師生探究問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以解決。在探究過(guò)程中為學(xué)生提供充分的表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題機(jī)會(huì)的一種教學(xué)形式。該方法以“問(wèn)題”為出發(fā)點(diǎn)，以“問(wèn)題”解決為目的，學(xué)生通過(guò)探究問(wèn)題，達(dá)到建構(gòu)新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

根據(jù)我校學(xué)生特點(diǎn)，并結(jié)合我自己對(duì)“問(wèn)題探究教學(xué)法”的理解。我在實(shí)際教學(xué)中的操作流程是“創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題──小組討論，自主探究──教師引導(dǎo)，推理驗(yàn)──反思交流，總結(jié)提高”。下面我就以人教A版數(shù)學(xué)必修二《空間幾何體的表面積》這節(jié)課舉例說(shuō)明。

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

首先教師引導(dǎo)明確概念，表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小。把由平面圍成的幾何體沿著若干條棱剪開(kāi)后，幾何體的各面就可以展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)平面圖形，這個(gè)平面圖形就叫做這個(gè)幾何體的展開(kāi)圖。由于剪開(kāi)的棱不同，同一個(gè)幾何體的展開(kāi)圖可以不是全等形，但是無(wú)論怎樣剪開(kāi)，同一個(gè)多面體的展開(kāi)圖的面積是一樣的。之后回顧初中學(xué)習(xí)過(guò)的正方體和長(zhǎng)方體的表面積以及它們的展開(kāi)圖。學(xué)生親自動(dòng)手將模型展開(kāi)，讓學(xué)生通過(guò)觀察，操作、交流確認(rèn)它們的表面積就是其各個(gè)面的面積和，也就是展開(kāi)圖的面積。最后將問(wèn)題推廣，得出在求多面體的表面積時(shí)，可以把多面體展開(kāi)成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法來(lái)求解。利用多媒體動(dòng)畫(huà)展示柱、錐、臺(tái)的各個(gè)表面，從感觀上對(duì)其表面強(qiáng)化認(rèn)識(shí)。最后提出問(wèn)題讓學(xué)生探究柱、錐、臺(tái)的展開(kāi)圖和表面積的求法。

2. 小組討論，自主探究

通過(guò)之前探究的結(jié)論，利用平面圖形求面積的方法來(lái)求解多面體的表面積。所以讓學(xué)生類(lèi)比長(zhǎng)方體表面積的探究順序，分組合作動(dòng)手將柱、錐、臺(tái)體展開(kāi)鋪平，觀察展開(kāi)圖，計(jì)算它們的表面積。學(xué)生分組合作動(dòng)手將棱柱、棱錐、棱臺(tái)模型的各個(gè)面分別展開(kāi)，鋪成平面圖形，思考討論平面圖形的特征，進(jìn)而得出求它們的表面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求平行四邊形，三角形和梯形的面積問(wèn)題。對(duì)于棱柱要處理好平行四邊形的各邊長(zhǎng)與棱柱的底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)之間的關(guān)系；對(duì)于棱錐要處理好三角形的各邊長(zhǎng)與棱錐的底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)之間的關(guān)系；對(duì)于棱臺(tái)要處理好梯形的各邊長(zhǎng)與棱臺(tái)的底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)之間的關(guān)系。對(duì)圓柱，圓錐、圓臺(tái)模型分別展開(kāi)，鋪成平面圖形，觀察得到圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以該圓柱的母線及底面圓圓的周長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的矩形，因此圓柱的表面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的面積與一個(gè)矩形面積的和；圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以該圓錐的母線為半徑，底面圓的周長(zhǎng)為弧長(zhǎng)的扇形，因此圓錐的表面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)圓和一個(gè)扇形面積的和。圓臺(tái)的展開(kāi)圖，它的底面展開(kāi)圖是兩個(gè)圓，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)，因此圓臺(tái)的表面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓和一個(gè)扇環(huán)面積的和。小組討論總結(jié)，求柱、錐、臺(tái)的表面積就轉(zhuǎn)化成求展開(kāi)后的平面圖形的面積，也就是原圖形的底面面積與側(cè)面面積的和。可以歸納出S表面積=S底面積+S側(cè)面積。

3. 教師引導(dǎo)，推理驗(yàn)證

教師引導(dǎo)，學(xué)生分組合作，根據(jù)S表面積=S底面積+S側(cè)面積，學(xué)生自行推導(dǎo)柱、錐、臺(tái)體的表面積公式，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、推理及邏輯思維能力，變被動(dòng)接受為自主推理。多面體的表面積沒(méi)有固定的公式，根據(jù)具體平面圖形直接計(jì)算就可以。 圓錐的表面積的公式：

（其中r為底面半徑， 為母線長(zhǎng)），但是在推導(dǎo)圓錐表面積公式時(shí)，在求解圓錐側(cè)面積這一步要利用扇形面積公式，學(xué)生對(duì)這個(gè)公式記憶模糊。實(shí)際上記憶扇形面積公式可以類(lèi)比三角形的面積公式（底乘以高除以2）加以強(qiáng)化。如圖：

把扇形的弧長(zhǎng)看成三角形的底，半徑看成高。通過(guò)這樣的類(lèi)比學(xué)生對(duì)扇形的面積公式，印象會(huì)更加深刻了。這樣對(duì)于底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l的圓錐，它的側(cè)面積為：

圓錐的表面積公式為：

（其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)）

對(duì)于圓臺(tái)表面積的探究，它的底面展開(kāi)圖是兩個(gè)圓，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)。對(duì)于計(jì)算側(cè)面積（扇環(huán)面積）讓學(xué)生合作討論方法。對(duì)于圓臺(tái)側(cè)面積的求法可以由圓臺(tái)與圓錐的關(guān)系，化臺(tái)為錐，利用大扇形面積減去小扇形面積求得。推導(dǎo)過(guò)程如下：

作如圖所示輔助線，設(shè)小圓錐的母線長(zhǎng)為x

圓臺(tái)的表面積公式為：

4. 反思交流，總結(jié)提高

求柱、錐、臺(tái)的表面積就是轉(zhuǎn)化成求展開(kāi)后的平面圖形的面積，實(shí)則也就是原圖形的底面面積與側(cè)面面積的和。即S表面積=S底面積+S側(cè)面積。對(duì)于棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積，沒(méi)有明確的公式，可以根據(jù)展開(kāi)圖的平面圖形的形狀，直接求的面積。但對(duì)于圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積有相應(yīng)的公式，表面上公式多而繁瑣，實(shí)際上它們之間有著緊密的聯(lián)系。對(duì)于底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l的圓錐，它的側(cè)面積為：公式的形式簡(jiǎn)單，重要的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚圓錐側(cè)面積公式的整體特征，圓錐側(cè)面積公式的特征：π×底面積半徑r×母線l，引導(dǎo)學(xué)生注重其形式特征，學(xué)生會(huì)很容易的掌握。對(duì)于圓臺(tái)側(cè)面積公式，它的特征是：π×上下底面半徑的和×圓臺(tái)母線，聯(lián)系圓錐的側(cè)面積，就二者的形式特征，可以和學(xué)生是這樣分析的：側(cè)面積公式的總體形式是π×半徑×母線，圓錐只有一個(gè)底面半徑，即，而圓臺(tái)有兩個(gè)底面半徑，而且兩個(gè)底面半徑都得要用，所以把兩個(gè)半徑要加起來(lái)。即。對(duì)于圓柱，圓錐的表面積公式，這兩個(gè)表面積公式從形式上有一致的的地方，那就是都有πr(r+l)，只不過(guò)圓柱表面積的公式是2倍的πr(r+l)?？梢院蛯W(xué)生這樣分析：圓柱有兩個(gè)底面而圓錐只有一個(gè)底面。所以，而，這樣一解釋學(xué)生自然就會(huì)加深印象了。

為了更好的建構(gòu)知識(shí)體系，對(duì)于圓柱、圓錐、圓臺(tái)表面積的公式整體進(jìn)行分析比較也是很重要的。乍一看三者公式毫不相干，其實(shí)它們都可以統(tǒng)一于圓臺(tái)的表面積公式中，如圖所示：

從圓臺(tái)出發(fā)，當(dāng)上下底面一樣時(shí)，圓臺(tái)就變成了圓柱，當(dāng)圓臺(tái)上底面縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)就變?yōu)榱藞A錐。這些不是巧合，也不是偶然，而是因?yàn)樗鼈冎g存在著必然的聯(lián)系，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的美。

在新課程理念下，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的探索是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。問(wèn)題探究教學(xué)法在空間幾何體表面積這部分內(nèi)容教學(xué)中得到了完美的體現(xiàn)。如此處理圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積，由已知到未知，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，層次分明，步步深入，符合認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生體驗(yàn)公式的生成，再對(duì)公式整合，發(fā)現(xiàn)公式中內(nèi)在的特點(diǎn)，學(xué)生易于消化理解，從而也容易形成鏈鎖式的知識(shí)體系，使學(xué)生形成獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。