剪拼折移轉(zhuǎn)，玩轉(zhuǎn)四邊形

馬洪亮

剪拼折移轉(zhuǎn)，玩轉(zhuǎn)四邊形

馬洪亮

中考數(shù)學(xué)試卷中關(guān)于四邊形的操作類試題層出不窮，如圖形的剪拼、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等，這類試題主要考查同學(xué)們的實(shí)踐能力、推理與判斷能力、空間想象能力，而解決這類問(wèn)題則要通過(guò)觀察與操作、比較與猜測(cè)、分析與綜合、抽象與概括等實(shí)踐活動(dòng)與思維過(guò)程，去探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問(wèn)題.

例1（2009·義烏）（1）如圖1，正方形網(wǎng)格中有一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)一條直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分；（2）把圖2中的平行四邊形分割成四個(gè)全等的四邊形（要求在圖2中畫(huà)出分割線），并把所得的四個(gè)全等的四邊形在圖3中拼成一個(gè)軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形，使所得圖形與原圖形不全等且各個(gè)頂點(diǎn)都落在格點(diǎn)上.

圖1

圖2

圖3

【分析】（1）把平行四邊形分成面積相等的兩部分，只要這條直線經(jīng)過(guò)平行四邊形的對(duì)稱中心就可以.

（2）此問(wèn)題具有一定的開(kāi)放性，解決問(wèn)題的方案有多種，只要符合要求即可.下面給出幾種設(shè)計(jì)方案：

【解答】（1）經(jīng)過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)任作一直線即可（如圖4）.

圖4

圖5

（2）分割線如圖5所示.拼圖方法不唯一，圖6是拼成軸對(duì)稱圖形的兩種方案，圖7是拼成中心對(duì)稱圖形的兩種方案.

圖6

圖7

【點(diǎn)評(píng)】剪拼方法是以數(shù)學(xué)知識(shí)與思維方法作支撐的，本題只要抓住中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的特點(diǎn)，便可找到解決問(wèn)題的策略.

例2（2016·威海）如圖8，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（）.

圖8

【分析】連接BF交AE于H，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根據(jù)勾股定理求出答案.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換和矩形的性質(zhì)，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱.抓住折疊前后圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

例3（2014·茂名）如圖9，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA= 3，OC=2，將矩形OABC向上平移4個(gè)單位得到矩形O1A1B1C1.

圖9

（2）將矩形O1A1B1C1向左平移得到OABC，當(dāng)點(diǎn)O、B在反比例函數(shù)y=的圖

222222像上時(shí)，求平移的距離和k3的值.

2

（2）設(shè)將矩形O1A1B1C1向左平移a個(gè)單位得到O2A2B2C2，根據(jù)向左平移，橫坐標(biāo)相減，縱坐標(biāo)不變，得到點(diǎn)O（2-a，4），B（23-a，6），由點(diǎn)O、B在反比例函數(shù)y=的圖像上，得出k=

223-4a=6（3-a），解方程即可求出a與k3的值.

【點(diǎn)評(píng)】平移時(shí)，圖形中的每個(gè)點(diǎn)都沿著相同的方向平移了相同的距離.表現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)上下平移時(shí)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變化；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)左右平移時(shí)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)改變.抓住了平移的特征，便容易寫(xiě)出點(diǎn)B1、B2、O1、O2的坐標(biāo)，進(jìn)一步在第（2）問(wèn)中就可以根據(jù)條件建立出關(guān)于平移距離a的方程.

例4如圖10，已知菱形AEFB是由菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連接DE，CF，求證：四邊形CDEF為矩形.

圖10

【分析】EF與CD均與AB平行且相等，所以CD∥EF，CD=EF，于是可得四邊形CDEF是平行四邊形，由菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的特征以及等腰三角形的三線合一性質(zhì)等可以得出∠CDE=90°，從而得四邊形CDEF為矩形.

證明：∵菱形AEFB是由菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AB=CD=AD=AE=EF，

∠DAB=∠EAB，CD∥AB，AB∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF，∠1=∠2.

∴四邊形CDEF是平行四邊形.

∵AD=AE，∠DAB=∠EAB，

∴AB⊥ED，∴∠1=90°，∴∠2=90°.

∴平行四邊形CDEF是矩形.

圖11

【點(diǎn)評(píng)】我們?cè)诮鉀Q有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題時(shí)，要抓住旋轉(zhuǎn)的特征，分析圖形中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.旋轉(zhuǎn)時(shí)圖形中的每個(gè)點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，因而就會(huì)有對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

小試身手

（2016·蘇州）如圖12，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD交BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點(diǎn)N落在射線PD上，點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為3cm／s，以O(shè)為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）（0＜t＜）.

（1）連接DQ，當(dāng)DQ平分∠BDC時(shí)，求t的值.

圖12

（2）如圖13，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；

圖13

圖14

（3）請(qǐng)你繼續(xù)進(jìn)行探究，并解答下列問(wèn)題：

①證明：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)O始終在QM所在直線的左側(cè)；

②如圖14，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)QM與⊙O相切時(shí)，求t的值；并判斷此時(shí)PM與⊙O是否也相切，說(shuō)明理由.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）

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