例析特殊四邊形與圓的完美組合

汪國銀

例析特殊四邊形與圓的完美組合

汪國銀

特殊四邊形主要包括梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等，中考中相關(guān)考題大多難度中等偏下，更多體現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識的考查.

圓是初中幾何的重要學習內(nèi)容，它具有很多重要性質(zhì)，知識的前后聯(lián)系密切，能考查綜合應(yīng)用數(shù)學知識的能力，是歷年中考的重點.

特殊四邊形與圓的組合在中考題中也屢見不鮮，兩類圖形完美展現(xiàn)了直線型問題與曲線型問題的有機結(jié)合.

平行四邊形與圓的組合

例1（2016·黑龍江）如圖1，若以平行四邊形一邊AB為直徑的圓恰好與對邊CD相切于點D，則∠C=度.

圖1

【考點】切線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【解析】如圖2，連接OD.

圖2

∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，∴AB⊥OD，

∴∠AOD=90°，

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，

∴∠C=∠A=45°.

【點評】在給出切線的條件時，首先連接過切點的半徑，只要證明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根據(jù)平行四邊形的對角相等即可解決問題.

菱形與圓的組合

例2（2016·陜西）如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點，若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點不重合）兩點間的最短距離為.

圖3

【考點】菱形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì).

【解析】如圖4，連接AC、BD交于點O，以B為圓心，BC為半徑畫圓交BD于P.

此時△PBC是等腰三角形，線段PD最短.

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，

∴△ABC，△ADC是等邊三角形，

∴BO=DO=3 2×2=3，

∴BD=2BO=2 3，

∴PD最小值=BD-BP=2 3-2.

圖4

【點評】顯然△PBC以PB、CB為腰時線段PD才最短，此時點P在以點B為圓心，以CB為半徑的圓上，即PB長為定值.因此，要求P、D（P、D兩點不重合）兩點間的最短距離即可轉(zhuǎn)化為PB+PD最短的問題，即當B、P、D三點共線時線段PD最短，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形的對角線BD長即可解決問題.

例3（2016·云南）四邊形ABCD的對角線交于點E，有AE=EC，BE=ED，以AB為直徑的半圓過點E，圓心為O.

（1）利用圖5，求證：四邊形ABCD是菱形.

（2）如圖6，若CD的延長線與半圓相切于點F，已知直徑AB=8.

①連接OE，求△OBE的面積.

②求弧AE的長.

圖5

圖6

【考點】菱形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì).【解析】（1）∵AE=EC，BE=ED，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

酒款亮點：皮耶諾酒莊（Pierro）創(chuàng)立于1979年，莊主麥克·彼得金（Michael Peterkin）的熱情和充滿創(chuàng)意的釀酒技術(shù)，讓皮耶諾的葡萄酒很快就打出知名度。如今，皮耶諾的紅葡萄酒已經(jīng)躋身產(chǎn)區(qū)頂級行列，出產(chǎn)的白葡萄酒更是聲名顯赫，尤其是皮耶諾的霞多麗，被稱為世界級的精品白葡萄酒，為瑪格利特河產(chǎn)區(qū)贏得了“真正的精品霞多麗之鄉(xiāng)”的美譽。釀酒葡萄按照成熟度手工分批采摘，20%在新法國桶和1-2年法國桶中發(fā)酵熟成,80%在不銹鋼桶中發(fā)酵熟成。LTC表示Little Touch of Chardonnay，是皮耶諾最受歡迎的特色酒款之一。

∵AB為直徑，且過點E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形.

圖7

【點評】本題主要考查菱形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，熟練掌握其判定與性質(zhì)并結(jié)合題意加以靈活運用是解題的關(guān)鍵.

正方形、矩形與圓的組合

例4（2015·金華）如圖8，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD，過點D作DE⊥AF，垂足為點E.

∴OE∥AD，∴∠EOB=∠DAH=30°，

∴∠AOE=180°-∠EOB=150°，

∴弧AE的（2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點G，若BF=FC=1，試求︵EG的長.

【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)；含30度角直角三角形的性質(zhì)；勾股定理；弧長的計算.

【點評】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠C= 90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS證明△ADE≌△FAB，得出對應(yīng)邊相等即可；（2）也可連接DF，先證明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再證明△ADF是等邊三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF= 1，根據(jù)三角函數(shù)得出DE，由弧長公式即可求出的長.

小試身手（2011·蘇州）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD.

（1）如圖9，當PA的長度等于_____時，∠PAB=60°；

當PA的長度等于時，△PAD是等腰三角形；

（2）如圖10，以AB邊所在的直線為x軸，AD邊所在的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（點A即為原點O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3.設(shè)P點坐標為（a，b），試求2S1S3-S22的最大值，并求出此時a、b的值.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學）

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