《固體物理學(xué)》中基于Matlab的動(dòng)態(tài)晶面標(biāo)示

李建軍

摘要：《固體物理學(xué)》的紙質(zhì)教材中，一般只給出一些典型的晶面，且觀察視圖的角度是固定的。本文利用Matlab的圖形顯示功能，通過開發(fā)Matlab源程序，不但可實(shí)時(shí)顯示任意設(shè)定的晶面，而且能對視圖做三維旋轉(zhuǎn)，從不同角度來觀察晶面，增加了課程教學(xué)的生動(dòng)性、直觀性和交互性。

關(guān)鍵詞：固體物理；晶面；Matlab

中圖分類號：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）16-0213-02

固體物理學(xué)是研究固體的結(jié)構(gòu)及由結(jié)構(gòu)決定的固體的熱學(xué)、電學(xué)、光學(xué)和磁學(xué)等性質(zhì)并闡明其用途的一門科學(xué)[1]，其中的固體指的是晶體，而晶體最基本的性質(zhì)是微觀周期性。由于晶體的微觀周期性決定了固體材料性質(zhì)的各向異性，體現(xiàn)為在不同的晶面上或沿不同的晶向材料的性質(zhì)不同。為了區(qū)分不同的晶向或晶面，可用晶向指數(shù)或晶面指數(shù)來標(biāo)示[2]，其中晶面的標(biāo)示不但是《固體物理學(xué)》教學(xué)的重點(diǎn)，也是課程教學(xué)中的難點(diǎn)。然而，在傳統(tǒng)的紙質(zhì)教材中，由于其自身的限制只能給出一些特殊的晶面，不可能羅列所有的晶面，且晶面顯示的角度是固定的。即使利用3DS MAX[3]、Rasmol[4]或VRML語言[5]等開發(fā)的模形也不能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)交互功能。為此，本文充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的動(dòng)態(tài)顯示優(yōu)勢，通過Matlab語言編寫程序，只要輸入任意的晶面的指數(shù)即可實(shí)時(shí)地顯示需標(biāo)示的晶面，同時(shí)利用軟件的三維旋轉(zhuǎn)功能可從不同角度來動(dòng)態(tài)觀察。實(shí)踐表明，該方法在教學(xué)中具有實(shí)時(shí)、動(dòng)態(tài)、精確和可視化的優(yōu)點(diǎn)。

一、晶面的標(biāo)示方法

固體物理學(xué)中，晶面用三個(gè)互質(zhì)的整數(shù)h，k和l加圓括號來標(biāo)示，即（hkl）[1]。需要說明的是，（hkl）表示一族平行的晶面而不是某一個(gè)晶面。由于晶體的周期性，平行晶面族中各晶面的性質(zhì)是等價(jià)的，因此通常只需在原胞或晶胞中畫出距原點(diǎn)最近的一個(gè)面即可。以立方晶系為例，圖1（a）在晶胞中畫出了（hkl）面，該面與三個(gè)晶軸a，b和c的截距分別為1/h，1/k和1/l，即可用頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1/h，0，0），（0，1/k，0）和（0，0，1/l）的三角形來圖示。在實(shí)際中有以下幾種特殊情形需注意：

1.當(dāng)h，k和l中有一項(xiàng)為零時(shí)，其倒數(shù)為無究大，表示晶面與對應(yīng)的晶軸平行無交點(diǎn)，這時(shí)的晶面需用平行四邊形來表示。例如，（0kl）面與a軸平行，如圖1（b）所示，平行四邊形的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是：（0，1/k，0），（1，1/k，0），（0，0，1/l）和（1，0，1/l）。

2.當(dāng)h，k和l中有兩項(xiàng)為零時(shí)，表示晶面與兩個(gè)對應(yīng)的晶軸平行無交點(diǎn)，這時(shí)的晶面同樣需用平行四邊形來表示。例如（0k0）面與a軸和c軸平行，如圖1（c）所示，平行四邊形的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是：（0，1/k，0），（1，1/k，0），（1，1/k，1）和（0，1/k，1）。

3.當(dāng)h，k或l取負(fù)值時(shí)，晶面與對應(yīng)軸的截距在軸的負(fù)方向，為了將晶面標(biāo)示在晶胞內(nèi)而不是晶胞外，需進(jìn)行一個(gè)單位的平移。例如（hkl）面與a，b和c軸的截距分別為1/h，-1/k和1/l，如圖1（d）所示，為了將其在晶胞內(nèi)表示，晶面的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（1/h，1，0），（1，1-1/k，0）和（0，1，1/l）。

二、晶面動(dòng)態(tài)標(biāo)示的Matlab實(shí)現(xiàn)

對于設(shè)定的面指數(shù)，用Matlab語言進(jìn)行動(dòng)態(tài)標(biāo)示的具體過程說明如下。

1.畫立方晶胞。（1）用8行3列的二維矩陣p（8，3）設(shè)定立方晶胞8個(gè)頂點(diǎn)的三維坐標(biāo)，其中每一行與一個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)，3列數(shù)值分別對應(yīng)各頂點(diǎn)在a，b，c軸上的投影。（2）用8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)建表示立方晶胞12條邊的三維數(shù)組line（2，3，12）。以第i條邊為例，line（2，3，i）是一個(gè)2行3列的二維矩陣，其第一行與邊的起點(diǎn)坐標(biāo)對應(yīng)，第二行與邊的終點(diǎn)坐標(biāo)對應(yīng)。（3）根據(jù)三維數(shù)組line（2，3，12），利用Matlab的三維畫線函數(shù)plot3繪制立方晶胞。（4）標(biāo)注原點(diǎn)、晶軸及圖題等。

2.標(biāo)示晶面。（1）根據(jù)給定的晶面指數(shù)，確定標(biāo)示在晶胞中的晶面頂點(diǎn)坐標(biāo)。判斷h，k和l中是否有零值來決定晶面是平行四邊形還是三角形，并確定各頂點(diǎn)坐標(biāo)。各頂點(diǎn)在a，b和c軸上的投影分別存放在一維列矩陣X，Y和Z中。（2）根據(jù)給定的晶面指數(shù)，判斷h，k和l中是否有負(fù)值，如有負(fù)值，則應(yīng)將晶面平移一個(gè)晶格常數(shù)，以便在晶胞中顯示。如果h<0，則列陣X中的所有單元應(yīng)加1，同理，如果k<0，則Y中的所有單元應(yīng)加1，如果l<0，則Z中的所有單元應(yīng)加1。（3）標(biāo)示晶面。根據(jù)矩陣X，Y和Z中晶面頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，利用Matlab的fill3函數(shù)繪制晶面，并進(jìn)行透明設(shè)置和開啟鼠標(biāo)3維旋轉(zhuǎn)功能。

三、應(yīng)用實(shí)例

圖2給出了用Matlab顯示的（100）、（110）和（2■1）面的截圖結(jié)果。在Matlab環(huán)境下，可以利用鼠標(biāo)的左鍵旋轉(zhuǎn)視圖，從不同方向觀察晶面。

四、結(jié)語

對于大部分本科生來說，《固體物理學(xué)》是一門枯燥且抽象的課程，如何將深?yuàn)W的理論教學(xué)與現(xiàn)代多媒體教育手段有效結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是值得思考的問題。本文基于Matlab語言，充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)多媒體教學(xué)的優(yōu)勢，可實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)地顯示任意設(shè)定的晶面，增加了課程教學(xué)的生動(dòng)性、直觀性和交互性。希望能對相關(guān)理論課程的教學(xué)有一定的啟迪作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]方俊鑫，陸棟.固體物理學(xué)（上冊）[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1980.

[2]黃昆.固體物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3]章天金，馬志軍，江娟，潘瑞琨.三維動(dòng)畫技術(shù)在固體物理學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，25（4）：454-456.

[4]顧燕紅，黃曉江.用RasMol軟件制作晶體結(jié)構(gòu)的課件[J].物理與工程，2006，16（3）：33-34.

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