立方晶格晶面間距的計(jì)算

屈 盛，楊留方，劉涵哲，馬雄韜，王玉林

(云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，云南昆明650500)

晶面間距是固體物理學(xué)中的一個(gè)很重要的參數(shù)，研究晶體結(jié)構(gòu)時(shí)往往會(huì)用到它.在《X射線衍射分析》和《材料科學(xué)》的不少教材中常常采用下式來計(jì)算立方晶格的晶面間距［1－3］:式中，a為立方系晶胞(單胞)的邊長(即晶格常數(shù))，而(hkl)是晶面的密勒指數(shù)，d為相應(yīng)的晶面間距.在教學(xué)實(shí)踐中常?？吹剑谟?jì)算簡單立方晶格的晶面間距時(shí)，(1)式是正確無誤的，但在計(jì)算面心立方(FCC)晶格和體心立方(BCC)晶格的晶面間距時(shí)，(1)式所得出的結(jié)果有時(shí)是錯(cuò)誤的.例如，利用(1)式計(jì)算 FCC晶格的(100)面和(111)面的晶面間距時(shí)，所得的結(jié)果分別為 a和 a/，即(1)式可以得出(100)面的晶面間距大于(111)面的晶面間距的結(jié)論.但由晶體學(xué)知識(shí)我們知道，F(xiàn)CC晶格中(111)面為最密排面，其晶面間距應(yīng)該是所有晶面族中最大的.(1)式計(jì)算所得的結(jié)果與這個(gè)常識(shí)相矛盾，可見(1)式并不適用于 FCC晶格晶面間距的計(jì)算.

文獻(xiàn)［4］中指出了上述矛盾和(1)式的局限性，然而作者通過計(jì)算卻得出FCC晶格中(100)面和(111)面的晶面間距是相等的(均為a/).這顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)镕CC晶格中，(100)面和(111)面上的原子排列情況并不相同，(111)面是最密排面，而(100)面并不是最密排面，所以二者的晶面間距理應(yīng)是不相同的.鑒于教材和文獻(xiàn)中對(duì)于晶面間距的計(jì)算(尤其是對(duì)于立方晶格的晶面間距的計(jì)算)，過于籠統(tǒng)和不精確，本文對(duì)晶面間距的計(jì)算進(jìn)行了深入的總結(jié)與討論，并給出一種利用密度比來計(jì)算晶面間距的方法，最后利用這些方法分別計(jì)算了FCC晶格和BCC晶格的晶面間距.如果不同方法的計(jì)算結(jié)果是完全相同的，則可以驗(yàn)證這些計(jì)算方法都是正確的.

1 晶面間距的傳統(tǒng)計(jì)算方法

1.1 以原胞基矢描述的計(jì)算

在有關(guān)教材中，常常采用2種基本的重復(fù)單元來描述晶格的周期性和對(duì)稱性［5－6］:一種是固體物理學(xué)原胞，另一種是晶體學(xué)單胞(也稱晶胞).對(duì)于布喇菲格子來說，原胞只在其頂角處存在原子，而晶胞則在其頂角、面心、體心、底心處均可以存在原子［5－7］.因此，原胞和晶胞并不完全相同，只有簡單布喇菲格子(例如簡單立方、簡單四方、簡單正交等晶格)的晶胞才和它的原胞相同.參照文獻(xiàn)中的習(xí)慣，為了便于區(qū)別，本文也將原胞的基矢記為a1、a2和a3，對(duì)應(yīng)的晶面的參數(shù)記為(h1h2h3)，稱之為面指數(shù);而將晶胞的基矢記為a、b和c，對(duì)應(yīng)的晶面的參數(shù)記為(hkl)，稱之為密勒指數(shù)［7］.利用倒格矢的性質(zhì)可以知道，(h1h2h3)晶面族的晶面間距可以由下式計(jì)算得到［7－9］:

實(shí)際工作中，常常用密勒指數(shù)(hkl)來表征晶面，而不是用面指數(shù)(h1h2h3)來表征晶面.由于晶胞的基矢 a、b、c和原胞的基矢 a1、a2、a3并不一定全同，因而對(duì)于同一族晶面，其密勒指數(shù)(hkl)與面指數(shù)(h1h2h3)并不一定相同，而(hkl)和(h1h2h3)相同，也并不一定表示同一晶面族［7］.所以，(2)式和(3)式并沒有直接給出以(hkl)標(biāo)記的晶面族的晶面間距［7］.因此，對(duì)于實(shí)際工作來說，(2)式和(3)式的使用很有限，必須找出利用密勒指數(shù)(hkl)來表示的晶面間距dhkl的公式［8］.

1.2 以單胞(晶胞)基矢描述的計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)［8］，利用密勒指數(shù)(hkl)表示的晶面間距dhkl的計(jì)算公式可以歸納為［8］:

其中，Khkl=ha*+kb*+lc*為倒格式，而a*、b*、c*為倒格子基矢，而α=1或者2，是與結(jié)構(gòu)有關(guān)的系數(shù).

對(duì)于立方系布喇菲格子，由于a=b=c，故晶面間距可表示為:

由文獻(xiàn)［7－8］可知，對(duì)于簡單立方晶格，α恒等于1;而對(duì)于面心立方晶格，當(dāng)h、k、l均為奇數(shù)時(shí)α等于1，否則α等于2;對(duì)于體心立方晶格，當(dāng)h+k+l=偶數(shù)時(shí)α等于1;否則α等于2.也就是說，面心立方晶格的晶面間距的計(jì)算公式為［7－10］:

而體心立方晶格的晶面間距的計(jì)算公式為［7，10］:

顯然，(5)式比(1)式更能準(zhǔn)確地反映出立方晶系(hkl)晶面族的晶面間距，(1)式只是(5)式在特定情況下的形式，或者說，(1)式只適合于計(jì)算簡單立方晶格的晶面間距，這就是本文開始部分中所提到的矛盾所產(chǎn)生的原因.

需要指出的是，(5)式簡化為(1)式的晶面條件和面心(體心)立方晶格產(chǎn)生X線的衍射的晶面條件相同，例如，計(jì)算面心立方(111)面的晶面間距時(shí)，由于此時(shí)滿足h、k、l均為奇數(shù)的條件，故(5)式簡化成了(1)式，而此時(shí)該結(jié)構(gòu)的(111)晶面恰好也是對(duì)X線產(chǎn)生衍射的晶面.

2 晶面間距的密度比的計(jì)算方法

2.1 密度比的計(jì)算方法

如果將晶格中單位面積內(nèi)所包含的原子數(shù)目定義為面密度σ，而將單位體積內(nèi)所包含的原子數(shù)目定義為體密度ρ，則可以利用下式來計(jì)算晶格的晶面間距:

2.2 FCC和BCC的晶面間距的計(jì)算

圖1給出FCC和BCC晶格的不同晶面上的原子排布情況，表1則給出了對(duì)應(yīng)的不同晶面上的三角形或四邊形的面積、所含原子數(shù)目、計(jì)算得到的面密度、晶格的體密度和按照(6)式計(jì)算得到的晶面間距.表1的最后一列還給出了由(5)式計(jì)算得到的結(jié)果.由表1可以看到，(6)式的計(jì)算結(jié)果和(5)式的計(jì)算結(jié)果完全一致，因此兩式可以相互驗(yàn)證對(duì)方的正確性.

利用(6)式計(jì)算晶面間距時(shí)，應(yīng)注意體密度和面密度的計(jì)算要正確.計(jì)算體密度時(shí)往往取一個(gè)晶胞來計(jì)算.例如一個(gè)體心立方晶胞和一個(gè)面心立方晶胞的體積均為a3，且分別含有2個(gè)原子和4個(gè)原子，因此體心立方晶格和面心立方晶格的體密度分別為2/a3和4/a3.而計(jì)算面密度時(shí)則稍微復(fù)雜些.例如一個(gè)體心立方晶胞和一個(gè)面心立方晶胞的(100)面的面積均為a2，且分別含有1個(gè)原子和2個(gè)原子，如圖1所示，因此，體心立方晶格和面心立方晶格(100)面的面密度分別為1/a2和2/a2.故由(6)式計(jì)算得到的體心立方晶格和面心立方晶格(100)面的晶面間距均為a/2.

由上面的計(jì)算還可以知道，利用(6)式計(jì)算晶面間距比利用(5)式計(jì)算要復(fù)雜一些.但是(6)式?jīng)]有使用條件，可以應(yīng)用于任何一個(gè)晶面族的計(jì)算，而(5)式應(yīng)用于不同晶面族的計(jì)算時(shí)，系數(shù)α有所不同，如果記不住其使用條件，那么有可能會(huì)計(jì)算錯(cuò)誤.

3 結(jié)語

文中的(1)式并不能正確地計(jì)算所有立方晶格的晶面間距，在計(jì)算面心立方晶格和體心立方晶格的晶面間距時(shí)，應(yīng)該使用(5)式來計(jì)算或者采用本文給出的(6)式來進(jìn)行計(jì)算，(1)式只是(5)式在特定情況下的形式.從本文的例子可以看到，(5)式和(6)式的計(jì)算結(jié)果是一致的，它們可以相互驗(yàn)證對(duì)方的正確性.

表1 利用密度比的方法來計(jì)算FCC和BCC的晶面間距時(shí)所得到的結(jié)果

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