條件概率應(yīng)用的誤區(qū)

謝美華

(湖南涉外經(jīng)濟學(xué)院管理學(xué)院 410073)

1 引言

然而在實際應(yīng)用中，該公式卻經(jīng)常沒有得到正確應(yīng)用，比較經(jīng)典的問題是“生孩子”問題.問題為：一個家庭有兩個孩子，已知一個是男孩，另一個是女孩的概率是多少？爭議很大的答案有兩個，分別為1/2和2/3.天涯論壇上連續(xù)有幾個關(guān)于此問題的發(fā)帖[2-3]，從發(fā)帖上廣大網(wǎng)友的留言來看，支持者各占一半.

綜合網(wǎng)友的發(fā)言，發(fā)現(xiàn)認(rèn)定答案為1/2的人的主要看法有以下幾種：

第一種：你第一胎生男生女，不會影響第二胎，第二次生女孩依然是二分之一，二者是獨立的.

第二種：一個是男孩另一個是女孩的情況有兩種，一是姐弟，概率為1/2乘以1/2等于1/4；二是兄妹，概率同為1/4.將兩種情況相加得1/2.

第三種：兩個孩子的家庭，共有男女、男男和女女這三種情況，已知一個孩子是男孩，因此去掉女女的情況，還剩下男女和男男兩種情況，因此另一個為女孩的概率為1/2.

這三種想法都沒有真正理解題意，主要表現(xiàn)為對條件的把握和利用方式不對，對增加條件后的樣本空間缺乏認(rèn)識.這也正是條件概率學(xué)習(xí)中經(jīng)常碰到的問題.

與此相似的問題還有三門問題[4].

2 條件概率的誤區(qū)

誤區(qū)一：對條件概率中的條件把握不準(zhǔn)確，致使條件事件的定義不準(zhǔn)確

生孩子問題中的條件是“一個家庭有兩個孩子，已知一個是男孩”，從題意不難理解這里“一個為男孩”的含義是至少有一個是男孩，并不是“一個家庭有兩個孩子，已知老大是男孩”，或者“一個家庭有兩個孩子，已知老二是男孩”.如果錯誤地理解為后面兩種情況，則會得到1/2的結(jié)果.

下面對這三種情況，分別給出其條件概率的計算結(jié)果.

問題一：一個家庭有兩個孩子，已知第一個是男孩，求另一個是女孩的概率？

解：設(shè)事件A表示第一個為男孩，事件B表示第二個為女孩，顯然這兩個事件是獨立的，因而PA(B)=1/2.

問題二：一個家庭有兩個孩子，已知第二個是男孩，求另一個是女孩的概率？

解：與問題一相同，定義設(shè)事件A表示第一個為女孩，事件B表示第二個為男孩，則PB(A)=1/2.

問題三：一個家庭有兩個孩子，已知其中一個是男孩，求另一個是女孩的概率？

如果不理解清楚條件的含義，錯誤地定義事件A、B就會出現(xiàn)問題一和問題二的結(jié)果，上節(jié)中持有第一種錯誤觀點的人就是這種錯法.

誤區(qū)二：對增加條件后樣本空間的變化沒有理解

前文所述的第二種錯法就是屬于忽視了條件，對增加條件后樣本空間的變化缺乏分析.既然條件已說明至少一個是男孩，則排除了女女的情況，因而加了條件的樣本空間中就只剩下男女、女男和男男三種情況，顯然另一個為女的概率是2/3.這種錯法中，實際上是認(rèn)為此時的樣本空間仍然為男男、男女、女男、女女，因此得到的概率仍然為1/2.

誤區(qū)三：在概率計算中出現(xiàn)錯誤

針對上文的問題三，有不少同學(xué)會出現(xiàn)概率計算錯誤.例如，有同學(xué)會將上文中“至少有一個男孩的概率”P(A)計算為2/3，理由是兩個孩子的情況分別是男男、女女和男女，因此有男孩的概率是2/3，這一部分同學(xué)在計算P(AB)同樣也容易算成1/3，因而也會得到PA(B)=1/2.這屬于對樣本空間理解不清，實際上此處樣本空間應(yīng)為男男、女女、男女、女男.前文所述的持有第三種錯誤觀點的同學(xué)就是這種錯法.

3 解決方法

1)結(jié)合題目的背景，正確理解條件

對于條件概率問題，首先一定要理解清楚條件，否則就容易犯第一種錯誤.當(dāng)然對于條件的理解有時和題目背景交待不清楚有關(guān)，因此大家應(yīng)結(jié)合問題提出的實際背景來考慮.

2)正確定義增加條件后的樣本空間.條件概率PA(B)中新的樣本空間實際上已經(jīng)縮減為事件A，而不再是原來的樣本空間Ω.

3)把握好概率計算的每個環(huán)節(jié).概率的計算是計算條件概率的基礎(chǔ)，在對條件概率中分子分母的概率進(jìn)行計算時，一定要準(zhǔn)確把握事件和樣本空間，這樣才不會出現(xiàn)概率計算錯誤.