一道教師解題大賽試題的解答與推廣

陸信明

(湖南省常德市第三中學(xué) 415000)

2016年11月，筆者參加了湖南省第二屆數(shù)學(xué)教師解題大賽，遇到了這樣一道有趣的試題．

題目8位乘客乘坐兩輛小汽車(chē)從山區(qū)趕往火車(chē)站乘車(chē)，可是不巧，其中一輛汽車(chē)在距離火車(chē)站20千米的地方出了故障，不能行駛，此時(shí)離火車(chē)站停止檢票上車(chē)的時(shí)間只剩下52分鐘．這時(shí)唯一可以乘坐的交通工具只有一輛小汽車(chē)連同司機(jī)在內(nèi)一次限乘5人，小汽車(chē)的平均速度為60千米/小時(shí)，乘客步行的平均速度為6千米/小時(shí)．

(1)如果小汽車(chē)送第一批乘客的同時(shí)，第二批乘客先步行，小汽車(chē)把第一批乘客送到火車(chē)站后立即返回接送在步行中的第二批乘客，這8乘客是否能全部趕上火車(chē)(忽略上下車(chē)時(shí)間)？

(2)是否還有比(1)更省時(shí)的方案(不改變?nèi)撕蛙?chē)的速度)？若有，請(qǐng)你設(shè)計(jì)更省時(shí)的方案，并求出該方案所需的時(shí)間；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

下文對(duì)這道試題作一些研究，首先給出這個(gè)問(wèn)題的解答，然后作一般性的推廣．

1 原問(wèn)題的解答

(2)先求出最省時(shí)的方案：

則汽車(chē)從相遇點(diǎn)送第二批乘客到終點(diǎn)的時(shí)間為

以下分兩種情況討論：

(1)當(dāng)?shù)诙丝偷浇K點(diǎn)時(shí)，第一批乘客已到終點(diǎn)或恰好到終點(diǎn)，則有

兩批乘客到站所需的總時(shí)間為

(2)當(dāng)?shù)诙丝偷浇K點(diǎn)時(shí)，第一批乘客未到終點(diǎn)，則有

在該情況下，汽車(chē)還需再去接送第一批乘客．

在(t2+t3)時(shí)間段，第一乘客已走的路程為

汽車(chē)從終點(diǎn)返程與第一批乘客相遇的時(shí)間為

汽車(chē)從相遇點(diǎn)送第一批乘客到終點(diǎn)還需的時(shí)間為

兩批乘客到站所需的總時(shí)間為

T=t1+t2+t3+t4+t5

綜上，

2 問(wèn)題的推廣

推廣1通過(guò)上述解法，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩批乘客同時(shí)到站時(shí)，所用的總時(shí)間最短．也就是說(shuō)，若有一批乘客先到站，到站后速度變?yōu)?，不能為人和車(chē)這套系統(tǒng)貢獻(xiàn)速度，時(shí)間將會(huì)變長(zhǎng)．不禁思考，對(duì)于一般的情況：汽車(chē)與兩批乘客距離終點(diǎn)s千米，汽車(chē)速度為a千米/時(shí)，乘客步行速度為b千米/時(shí)，且a>b，汽車(chē)接送乘客到站的最短時(shí)間是多少呢？

汽車(chē)送完第一批乘客后與第二批乘客相遇的時(shí)間為

此時(shí)相遇點(diǎn)與終點(diǎn)的距離為

則汽車(chē)從相遇點(diǎn)送第二批乘客到終點(diǎn)的時(shí)間為

由前面的分析可知，當(dāng)兩批乘客同時(shí)到站時(shí)，所需的總時(shí)間最短，而第一批乘客步行到站的時(shí)間為

兩批乘客到站所需的總時(shí)間為

推廣2若把推廣1中的兩批乘客變?yōu)槿?其余條件不變)，那么，汽車(chē)接送三批乘客所需的最短時(shí)間呢？

解通過(guò)前面的分析我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)三批乘客同時(shí)到站時(shí)，所用的總時(shí)間最短．

我們把第二、三批看成一個(gè)整體，由前面的解答有

汽車(chē)送完第一批乘客后與第二、三批乘客相遇的時(shí)間為

相遇點(diǎn)與終點(diǎn)的距離為

由推廣1中的結(jié)論可知，第二、三批乘客到站所需的最短時(shí)間為

且第二、三批乘客到站時(shí)第一批乘客也剛好到站所需的總時(shí)間最短，

即t1′=t2+t，

三批乘客到站所需的總時(shí)間為

一般性推廣對(duì)于更一般的問(wèn)題：一輛汽車(chē)送n批乘客到距離s千米的車(chē)站，汽車(chē)速度為a千米/時(shí)，乘客步行速度為b千米/時(shí)，且a>b，汽車(chē)接送乘客到站的最短時(shí)間是多少呢？

解設(shè)一輛汽車(chē)送n批乘客到站的最短時(shí)間為T(mén)n，汽車(chē)送第一批乘客的路程為xn，則有

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

即一批乘客直接乘車(chē)到站，符合題意．

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，

當(dāng)n=k+1時(shí)，把后k批乘客看成一個(gè)整體，

汽車(chē)送完第一批乘客后與后k批乘客相遇的時(shí)間為

相遇點(diǎn)與終點(diǎn)的距離為

①

由假設(shè)可知，后k批乘客到站所需的最短時(shí)間為

且后k批乘客到站時(shí)第一批乘客也剛好到站所需的總時(shí)間最短，即

把①代入有

綜上，命題得證．