2017年北京市中考數(shù)學(xué)學(xué)科試題解析

王亮亮

(北京教育考試院 100083)

范永春

(清華大學(xué)附屬中學(xué) 100084)

前言

2017年是北京市全面實(shí)施中考考試內(nèi)容與形式改革的第三年.在《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》和《考試說明(2017)》的引領(lǐng)下，2017年北京市中考數(shù)學(xué)試題的命制以“核心概念”、“四基”和“四能”為主線，繼承、發(fā)揚(yáng)了2015—2016年的命題指導(dǎo)思想(“五個(gè)考出來”和“三個(gè)注重”)，鞏固、發(fā)展了2015—2016年的改革成果，通過對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了立德樹人、育人為本的教育目標(biāo)和社會(huì)發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需求.

1 以學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)過程為載體，考查核心概念，將對(duì)核心概念的考查與學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)過程融為一體，考查學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中對(duì)所學(xué)知識(shí)、方法的理解與應(yīng)用，在過程中考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟與認(rèn)知

核心概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基石.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)和建立了關(guān)于數(shù)學(xué)的感悟、意識(shí)、思想、能力等，并在此基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)概念、對(duì)象和結(jié)構(gòu)以及方法進(jìn)行了本質(zhì)性的認(rèn)識(shí).但對(duì)于知識(shí)、思想、方法的認(rèn)知不能停留在理論學(xué)習(xí)層面上，而是應(yīng)該使用所學(xué)的知識(shí)、思想、方法去引導(dǎo)學(xué)生的日常學(xué)習(xí)與生活.

例如，數(shù)據(jù)分析觀念.在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，教師通過設(shè)計(jì)有效的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計(jì)過程，包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、展示數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取有效信息，并利用這些信息解決問題.在這一學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不斷地建立與培養(yǎng)了統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的有關(guān)概念、知識(shí)與能力，并加深了對(duì)統(tǒng)計(jì)思想與方法的理解.培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念的最終目地應(yīng)該是為學(xué)生提供了一種用“數(shù)據(jù)”的眼光去看待和對(duì)待自己的日常學(xué)習(xí)與生活的能力，而不是單一的對(duì)知識(shí)的記憶與模仿.

例1某工廠甲、乙兩個(gè)部門各有員工400人，為了解這兩個(gè)部門員工的生產(chǎn)技能情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

收集數(shù)據(jù)從甲、乙兩個(gè)部門各隨機(jī)抽取20名員工，進(jìn)行了生產(chǎn)技能測(cè)試，測(cè)試成績(jī)(百分制)如下：

甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040

整理、描述數(shù)據(jù)按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：

部門人數(shù)成績(jī)x40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙

(說明：成績(jī)80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70～79分為生產(chǎn)技能良好，60～69分為生產(chǎn)技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格)

分析數(shù)據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：

部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲78.377.575乙7880.581

得出結(jié)論a．估計(jì)乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為；

b．可以推斷出部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為．(至少從兩個(gè)不同的角度說明推斷的合理性)

分析試題的命制思想來源于“人教版”八年級(jí)下冊(cè)第二十章的“課題學(xué)習(xí)”和“北京版”七年級(jí)下冊(cè)第九章的“綜合與實(shí)踐”.試題以“調(diào)查了解某工廠甲、乙兩個(gè)部門員工的生產(chǎn)技能情況”為載體，呈現(xiàn)了學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查的全過程(抽樣方法與樣本容量的確定、數(shù)據(jù)的整理與描述、數(shù)據(jù)的分析、調(diào)查結(jié)論的分析與得出).

在過程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)考查，使得統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的內(nèi)容不再是單一的聚焦于統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，而是聚焦于學(xué)生是否了解、理解統(tǒng)計(jì)的思想(調(diào)查的思想、抽樣的思想、隨機(jī)的思想、定性與定量分析的思想)，聚焦于學(xué)生是否具有了統(tǒng)計(jì)的思維(非確定性思維).這恰恰是數(shù)據(jù)分析觀念這一核心概念所要求的最本質(zhì)的內(nèi)容.

從學(xué)生的成長(zhǎng)過程來說，統(tǒng)計(jì)思維是后續(xù)生活學(xué)習(xí)最重要的思維之一.學(xué)生走向社會(huì)之后，會(huì)遇到各種各樣的實(shí)際問題，其中“調(diào)查類”問題會(huì)是學(xué)生遇到的最多的實(shí)際問題，這種讓學(xué)生感受獲取真實(shí)數(shù)據(jù)的過程，分析調(diào)查目的的原因、選取調(diào)查的對(duì)象、設(shè)計(jì)調(diào)查的問題、應(yīng)從哪些方面設(shè)計(jì)調(diào)查問題等，都是需要學(xué)生具有很好的統(tǒng)計(jì)思維，這樣學(xué)生才能用統(tǒng)計(jì)的眼光解決生活中的實(shí)際問題.

2 注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，體現(xiàn)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)

2.1 《考試說明(2017)》中指出，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查.突出對(duì)于支撐學(xué)科體系的重點(diǎn)知識(shí)的考查，注重知識(shí)的整體性和知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系

對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的考查，不能依賴于死記硬背，而是應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，在知識(shí)的應(yīng)用中不斷的深化，注重考查知識(shí)的形成過程以及知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過若干次圖形的變化(平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))得到的，寫出一種由△OCD得到△AOB的過程：.

分析試題的呈現(xiàn)不是單純的把軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移的基本性質(zhì)作為現(xiàn)成的結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生，而是將知識(shí)放到一個(gè)整體的知識(shí)體系中——圖形的變化.讓學(xué)生通過圖形的運(yùn)動(dòng)變化去思考兩個(gè)圖形的變化的過程，讓學(xué)生去思考軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移變化的區(qū)別與聯(lián)系，通過感受圖形變化過程中的不變量和不變關(guān)系，設(shè)計(jì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的過程.

2.2 《考試說明(2017)》中指出，注重對(duì)基本技能的考查.考查技能操作的程序與步驟以及其中蘊(yùn)含的原理

例3下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程.

已知：Rt△ABC，∠C=90°.

求作：Rt△ABC的外接圓.

作法：如圖，

(2)作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；

(3)以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O.

⊙O即為所求作的圓.

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是.

分析考查的落腳點(diǎn)不是在尺規(guī)作圖的操作層面，而是落腳于“為什么這么作”、“這么作的原因是什么”，考查的是技能操作里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理.

3 注重發(fā)現(xiàn)、提出問題能力的考查，與分析、解決問題能力并重，體現(xiàn)“問題”意識(shí)

發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的前提，也是對(duì)創(chuàng)新人才培養(yǎng)的基本要求.發(fā)現(xiàn)、提出問題主要是通過多角度的數(shù)學(xué)思維，在看似沒有關(guān)系的問題或多重雜亂關(guān)系中找到數(shù)量或空間方面的本質(zhì)聯(lián)系，使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)以“問題”的形式表示出來，通過分析，最終得以解決.

例4在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B，C不重合)，連接AP，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M.

(1)若∠PAC=α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；

(2)用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析試題的呈現(xiàn)形式是讓學(xué)生經(jīng)歷分析圖形的變化過程，發(fā)現(xiàn)線段MB與PQ之間的關(guān)系，并將問題解決.這樣的過程可以簡(jiǎn)單的概括為培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的“問題意識(shí)”.設(shè)置適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來看待和分析這些情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，也引導(dǎo)學(xué)生分析問題和解決問題，進(jìn)而可以體現(xiàn)出對(duì)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的考查.

4 鞏固改革成果，考查基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想

2017年的第26題是對(duì)2015、2016年第26題(研究函數(shù)的基本過程)的繼承與發(fā)展.學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)所積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量得到了函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的數(shù)值，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系畫出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象，并利用函數(shù)圖象解決相應(yīng)的問題.

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．

下面是小東的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，得到了x與y的幾組值，如下表：

x/cm0123456y/cm02.02.32.10.90

(說明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù))

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△PAN為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)度約為cm.

分析函數(shù)是研究實(shí)際問題的重要數(shù)學(xué)模型，它來源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，從實(shí)際中抽象出函數(shù)的有關(guān)概念，又運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題，這就是試題立意的核心出發(fā)點(diǎn).在建立和運(yùn)用函數(shù)模型的過程中，變化與對(duì)應(yīng)的思想是重要的基礎(chǔ)，這也是函數(shù)學(xué)習(xí)過程中需要揭示的最為本質(zhì)的思想.

5 通過試題反撥教學(xué)，實(shí)現(xiàn)考試與教學(xué)的良性互動(dòng)

試題設(shè)計(jì)的思想來源于《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的例40.試題設(shè)置的出發(fā)點(diǎn)是體會(huì)概率與頻率的關(guān)系，而不僅僅只關(guān)注計(jì)算一些事件發(fā)生的概率.在概率教學(xué)過程中，比較偏向于利用古典概型計(jì)算某一隨機(jī)事件發(fā)生的概率，這可能會(huì)讓學(xué)生體會(huì)不到隨機(jī)思想，仍然用確定性思維理解問題.

例6下圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果.

下面有三個(gè)推斷：

①當(dāng)投擲次數(shù)是500時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308，所以“釘尖向上”的概率是0.616；

②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618；

③若再次用計(jì)算機(jī)模擬此實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的頻率一定是0.620.

其中合理的是

(A)① (B)② (C)①② (D)①③

分析隨機(jī)現(xiàn)象表面上看無規(guī)律可循，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果事先無法預(yù)料，但當(dāng)我們大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都會(huì)呈現(xiàn)出其頻率的穩(wěn)定性.試題的設(shè)置是讓學(xué)生體會(huì)試驗(yàn)結(jié)果的不確定性，感悟隨機(jī)事件的不確定性思維，引導(dǎo)在教學(xué)過程中，經(jīng)歷試驗(yàn)的過程，收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析試驗(yàn)結(jié)果，將所得到的結(jié)果與自己的猜測(cè)進(jìn)行比較，最后進(jìn)行理性的分析，體會(huì)頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別.

6 以吳文俊院士在研究中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就為載體，弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)優(yōu)秀文化，展現(xiàn)我國(guó)偉大數(shù)學(xué)成就

例7數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長(zhǎng)方形對(duì)角線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長(zhǎng)方形面積相等(如圖所示)”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證.

(以上材料來源于《古證復(fù)原的原則》、《吳文俊與中國(guó)數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》)

請(qǐng)根據(jù)上圖完成這個(gè)推論的證明過程.

證明：S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC)，S矩形EBMF=S△ABC-(+).

易知，S△ADC=S△ABC，=，=.

可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.

分析試題通過介紹我國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊院士的數(shù)學(xué)成就，讓學(xué)生了解我國(guó)古現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，并通過閱讀，提取有效信息完善數(shù)學(xué)成就主要原理的步驟.這一過程不僅將學(xué)生所學(xué)的知識(shí)的來源進(jìn)行了介紹，更重要的是讓學(xué)生感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)家和現(xiàn)代數(shù)學(xué)家對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展所作出的偉大成就.

7 以“一帶一路”沿線經(jīng)濟(jì)發(fā)展數(shù)據(jù)為載體，既介紹了“一帶一路”的發(fā)展情況，又考查了學(xué)生讀取、分析數(shù)據(jù)的能力

例8下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了我國(guó)與“一帶一路”沿線部分地區(qū)的貿(mào)易情況.

(以上數(shù)據(jù)摘自《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報(bào)告(2017)》)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是

(A)與2015年相比，2016年我國(guó)與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長(zhǎng)

(B)2011-2016年，我國(guó)與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長(zhǎng)

(C)2011-2016年，我國(guó)與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值超過4200億美元

(D)2016年我國(guó)與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國(guó)與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多

分析“一帶一路”是我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展新的引擎，以“一帶一路”經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況為載體，既讓學(xué)生了解了我國(guó)的綜合國(guó)力，又考查了學(xué)生對(duì)于數(shù)據(jù)的分析能力.