例談基于問題解決的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

王 坤

(北京市第八十中學(xué) 100102)

對于很多數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，不單單是記住一個概念和表述一個知識，而是將知識與方法應(yīng)用于具體的問題，在問題解決的過程中掌握該知識與方法．

探究學(xué)習(xí)是基于問題解決的一種學(xué)習(xí)方式，在高中數(shù)學(xué)知識的初學(xué)階段，由于學(xué)習(xí)時間比較充裕，學(xué)生可以針對當(dāng)天所講內(nèi)容進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，這種探究是一種專項探究，思維容量一般不大．而進(jìn)入高中數(shù)學(xué)知識的復(fù)習(xí)階段，囿于時間的限制，教師一般采用組織多輪復(fù)習(xí)的方式，反復(fù)強(qiáng)化已有知識，對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與提升關(guān)注更加的少．

那么如何在復(fù)習(xí)階段繼續(xù)通過探究，既復(fù)習(xí)知識，又提升思維能力呢？筆者通過多年的教學(xué)實踐，認(rèn)為可以通過設(shè)計有價值的問題，串接許多相關(guān)的知識，建立不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，織就龐大的知識網(wǎng)絡(luò)．

下面就通過一系列問題的解決，設(shè)計一節(jié)高三復(fù)習(xí)課(兩課時)．

【學(xué)生活動】自主探究最小距離．

【預(yù)設(shè)錯解】部分學(xué)生經(jīng)驗使然，直接將函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等知識機(jī)械遷移，認(rèn)為點(1,2)和(-1，-2)到距離原點O的距離最小值．

【教師點評】知識的遷移需要注意具體的條件，機(jī)械的遷移往往產(chǎn)生錯誤的結(jié)論，知識的遷移可以形成猜想，猜想是需要經(jīng)過證明或者檢驗的．問題的解決方法的選擇需要基于目標(biāo)問題的形式及其與條件的關(guān)系來確定，在本題中，最終的目標(biāo)涉及兩點距離，而過程目標(biāo)又涉及均值不等式．

【學(xué)生活動】學(xué)生初步分析，認(rèn)識問題，從不同角度嘗試組織探究思路．

【學(xué)生活動】學(xué)生作圖時，能夠注意以下幾點：

【猜想1驗證】(以第二種表述為例)

【教師點評】學(xué)習(xí)的過程是知識鞏固與擴(kuò)充的過程，在學(xué)習(xí)的過程中，除了鞏固具體的知識，還要熟練解決問題的方法，同時充分調(diào)動對比、類比、歸納、聯(lián)想等思維方式，盡量擴(kuò)大知識成果的范圍，形成越來越大的知識體系格局．

【學(xué)生活動】結(jié)合圖形，學(xué)生繼續(xù)探究．

【解法指導(dǎo)】證明圖形(或圖象)的對稱性的方法如下：

圖形(或圖象)上的任意點關(guān)于直線(或點)的對稱點依然在該圖形(或圖象)上．

【教師點評】在幾何猜想的形成過程中，應(yīng)熟練使用幾何圖形全等、相似、位似、對稱等關(guān)系與性質(zhì)的表述，熟練使用平移、伸縮等變換．在圖象的性質(zhì)證明方面，廣泛采用坐標(biāo)分析法，即從圖象上任意點的坐標(biāo)入手進(jìn)行，結(jié)合對稱、周期等性質(zhì)的代數(shù)特征，進(jìn)行證明．

【教師點評】通過本問題的解決，我們明確這樣的結(jié)論：

(1)如果一個圖形C關(guān)于點M中心對稱，同時關(guān)于直線l軸對稱，且直線l經(jīng)過點M，那么經(jīng)過點M的直線l的垂線l′也是圖形C的對稱軸；

(2)如果一個圖形C同時關(guān)于兩條互相垂直的直線l,l′軸對稱，那么圖形C關(guān)于直線l,l′的交點M中心對稱．

問題5通過上述問題，以及一系列猜想，你還想到了什么？

對于猜想4，不再進(jìn)行證明，而采用幾何畫板直觀驗證．

【學(xué)生活動】結(jié)合兩個提示，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅc角度，進(jìn)行知識遷移，形成猜想．

【解法指導(dǎo)】對于猜想5，兩個定點通過什么方法來尋找是證明的關(guān)鍵．

類比雙曲線的幾何性質(zhì)，形成下面的研究思路：

最后，用“離心率”乘以“頂點”坐標(biāo)，得到“焦點”坐標(biāo)，即兩定點坐標(biāo)；兩“頂點”距離即為定值．

【猜想5證明】當(dāng)a>0,b>0時，推導(dǎo)過程如下：

根據(jù)基本不等式，|OP|最小值為

由此可得“雙曲線”的離心率

當(dāng)a∈R,b≠0的其它情形，結(jié)論類似，在此不再贅述．

【提示2證明】

【猜想6證明】

因此P為線段AB的中點．

知識的類比遷移，可以在不同知識模塊間互通有無，極大地拓寬知識網(wǎng)絡(luò)邊界，在新結(jié)論“創(chuàng)新”過程中，大家可以體會數(shù)學(xué)知識“變與不變”的辯證統(tǒng)一性．

通過上述教學(xué)案例的設(shè)計，我們可以發(fā)現(xiàn)，高中總復(fù)習(xí)階段，雖然是復(fù)習(xí)，但并不意味著知識學(xué)習(xí)的原地踏步，在對基礎(chǔ)知識和方法有了初步認(rèn)識之后，通過問題解決的方式，調(diào)動各種策略性知識的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生在應(yīng)用中體會相關(guān)知識的作用與聯(lián)系．如果一味地停留在單獨某一模塊知識上的機(jī)械重復(fù)，只能僵化學(xué)生思維，無益于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高．