數(shù)學核心素養(yǎng)：從內隱走向外顯
——《直線和平面平行的判定》的教學思考

徐解清

(江蘇省蘇州市相城區(qū)教師發(fā)展中心 215131)

1 引言

在近期舉辦的“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學教學研究與實踐”研討活動中(蘇州市教育科學研究院)，開設《直線和平面平行的判定》研討課，探索如何解決“課堂教學應該如何培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)”這個問題，嘗試實現(xiàn)直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)之內隱與外顯的相互轉變，使得培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)的教學目標得以落實，給與會教師以很大啟發(fā).本文將結合這節(jié)課的教學設計和課堂教學活動，對解決“課堂教學如何通過師生活動實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)經(jīng)歷內隱與外顯的相互轉變，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)？”這個問題，談談自己的思考.

2 教學分析

2.1 教材分析

“直線與平面平行的判定”是學生學習空間線面位置關系的判定與性質的第一節(jié)課，也是學生正式學習運用歐幾里德公理化體系進行幾何演澤推理的起始課，還是學生從直觀想象進入邏輯推理，由感性到理性的轉折課，對學生掌握建立線線、線面、面面的平行與垂直的知識體系的方法，對形成學生的空間觀念和培養(yǎng)學生的空間想象能力及邏輯推理論證能力，具有示范引領作用.

2.2 教學目標

學生會畫出直線與平面平行的直觀圖，會運用文字語言流暢地表述直線與平面平行的判定定理，會運用數(shù)學符號語言準確書寫直線與平面平行的判定定理，理解線線平行與線面平行之間轉化的條件和本質；培養(yǎng)學生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力、邏輯思維能力，引導學生學會運用直觀感知—思辨論證——操作確認的認知方法，學習探究立體幾何；讓學生在觀察、探究、發(fā)現(xiàn)中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態(tài)度，提高學習的自我效能感.

2.3 教學重點與難點

重點是直線與平面平行的判定定理的理解、表示及應用；難點是學生的空間感與空間觀念的形成和學生書寫表達與邏輯思維能力的培養(yǎng).

3 教學過程

3.1 創(chuàng)設情境

師：今天我們一起探索直線和平面平行的判定，首先解決下面兩個問題：

問1：空間中兩條直線有幾種位置關系？

問2：判斷兩直線平行常用哪些方法？

生1：相交、平行、異面；

生2：內錯角相等，兩直線平行，同旁內角互補，兩直線平行.

生3：補充一下，梯形的上下底是平行的，三角形中的中位線是平行的，平行四邊形的對邊是平行的.

點評：問1理清空間兩直線關系，為線面關系向線線關系轉化埋下伏筆；問2基于學生的學習經(jīng)驗，為線面平行判斷打下基礎；以問做引，學會遷移.

3.2 學生活動

活動1：研究直線與平面的關系

S1：用一張紙和一支筆嘗試研究直線與平面有幾種位置關系？

S2：將擺出的每種位置關系分別用“文字語言”，“圖形語言”，“符號語言”表示出來.

師：請拿起你的筆和紙，筆當線，紙作面，來探索直線和平面的幾種位置關系．小伙伴們，現(xiàn)在可以愉快地玩起來了.

結論：直線與平面位置關系：

學生文字語言圖形語言符號語言生4直線在平面內(有無數(shù)個公共點)a?α生5直線與平面相交(有且只有一個公共點)a∩α=P生6直線與平面平行(沒有公共點)a∥α

點評：數(shù)學核心素養(yǎng)關于數(shù)學抽象是這樣描述的：數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程．主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術語予以表征．本小節(jié)活動較好地體現(xiàn)了學生自主探究，抽象出線面關系，有效地培養(yǎng)了學生進行數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng).

另外，教師語言親和，開放包容，有利于建立和諧的師生關系．學習內容生成自然，學生活動本真．學生借助實物演示，用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界.

活動2：觀察教室前門，將門框所在墻面看成平面α，靠近門把手的門的一邊看成直線l .

(1)思考：將門打開到不同的位置時，直線l與平面α是什么關系？

(2)討論：不同位置的直線l有怎樣的共同性質，導致了都與平面α平行？

(3)在實物和模型中，找出類似的直線與平面的案例.

師：我們來觀察教室前門(用手把教室前門打開)，將門框所在墻面看成平面α，靠近門把手的門的一邊看成直線l , 將門打開到不同的位置時，直線l與平面α是什么關系？

眾生：平行！

師：請小組討論：不同位置的直線l有怎樣的共同性質，導致了都與平面α平行.

生7：直線總和平面內一條直線平行；

師：請大家拿起手中的小玩具，在實物和模型中，找出類似的直線與平面的案例.

眾生：……

點評：數(shù)學核心素養(yǎng)關于直觀想象是這樣描述的：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程．直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析和解決數(shù)學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎．本小節(jié)活動，較好地培養(yǎng)學生直觀想象這一核心素養(yǎng)，學生能夠進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數(shù)形結合的能力，感悟事物的本質，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

另外，課后與上課教師交流得知，小玩具是她自己買給自己女兒玩的，感覺對立體幾何課有用，就拿到課堂上來了．可見用心良苦．玩具如右圖所示.

活動3：(歸納)當直線滿足什么條件時，能判定這條直線與給定平面平行？

師：請小組討論一下：當直線滿足什么條件時，能判定這條直線與給定平面平行？

生8：直線與平面內一條直線平行.

師：能用符號語言來描述嗎？

師：外面有點吵，我沒聽清她的回答，讓我先關上門(把原本打開的前門關上).

師：很好，她及時改正了問題.

下面我們對剛才的活動探索下個結論——直線和平面平行的判定定理：

文字語言圖形語言符號語言如果平面外的一條直線和此平面內的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.a?αb?αa∥b}?a∥α

點評：數(shù)學核心素養(yǎng)關于邏輯推理是這樣描述的：從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹．本小節(jié)數(shù)學活動，學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數(shù)學知識之間的聯(lián)系，建構知識框架；形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強了數(shù)學交流能力，在數(shù)學活動中提升了思維品質.

教師在發(fā)現(xiàn)學生論述有漏洞時，并未直接指出，而是通過關門的一個小動作設計，讓學生頓悟到線在面外的必要性，體現(xiàn)了授課教師良好的課堂駕馭能力.

3.3 知識小結

(1)證明直線與平面平行的方法：

師：直線與平面沒有公共點時，如何證明直線與平面平行？

生9：利用定義(直線與平面沒有公共點).

生10：利用判定定理(線線平行到線面平行)．

(2)數(shù)學思想方法：轉化的思想

點評：總結歸納，從感性層面上升到理性層面．從會解一道題到會解一類題．把本節(jié)課的內容再次升華.

4 教學思考

通過這一節(jié)課的教學與觀摩之后，我們就“怎樣理解數(shù)學核心素養(yǎng)”“怎樣發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)”兩個問題進行了熱烈的討論，一致認為：數(shù)學核心素養(yǎng)不能停留在內隱層面，不能只是空洞的理念，而應當積極走向外顯，要用顯性的行為實踐隱性的意圖，核心素養(yǎng)應該是課堂中學生的數(shù)學活動的展現(xiàn)．這種轉變要求我們實現(xiàn)顯性的數(shù)學活動與隱性的數(shù)學素養(yǎng)之間的相互轉變，把核心的理念變成數(shù)學問題與數(shù)學活動，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展過程，而不是停留在“標簽”層面.

4.1 如何正確認識高中數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)就是數(shù)學教育過程中，學生逐步形成的適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備的數(shù)學思維品質和數(shù)學能力，是數(shù)學知識、能力和態(tài)度的綜合表現(xiàn)．數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程落實“立德樹人”這一教育根本性任務的具體體現(xiàn)，是從發(fā)展性角度對數(shù)學課程的目標定位，為當前高中數(shù)學教育新一輪改革指明了方向，理應成為當前數(shù)學課堂教學的價值取向和實踐的內驅力.

普通高中數(shù)學課程標準(修改稿)(以下簡稱修訂稿)即將頒布，屆時，高中數(shù)學課程對于學生的數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展將變得有據(jù)可依．但是，需要指出的是：修訂稿中對于數(shù)學核心素養(yǎng)的內涵和水平劃分只是反映對學生的總體期望，從課程標準到課時目標需要經(jīng)歷多重轉換．而且，修訂稿中提出的高中數(shù)學六個核心素養(yǎng)是高中數(shù)學課程的總體目標，每個數(shù)學核心素養(yǎng)都有其豐富的內涵，它們外顯于學生高中數(shù)學學習的教學活動中，又通過學生的數(shù)學學習活動內化為學生的數(shù)學素養(yǎng)，如此往復周而復始，實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)之內隱與外顯的相互轉變．因此，必須對課程標準中的目標從整體的高度進行審視，結合具體的教學內容，對課程標準進行解讀，確立每堂課的數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展目標．通過課堂教學中師生數(shù)學活動序列(顯性)內化為學生的數(shù)學核心素養(yǎng)(隱性)，從而實現(xiàn)數(shù)學課程的總體期望，實現(xiàn)數(shù)學課程價值.本課例就是將課程目標結合教學內容，通過將整節(jié)課分解成3個片段若干個顯性的數(shù)學活動環(huán)節(jié)：通過操作實驗這一數(shù)學抽象行為來歸納直線與平面的位置關系，并用3種語言表征出來，幫助學生主動建構直線與平面的位置關系這一數(shù)學概念，同時，隱性的發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，并實現(xiàn)課程目標與課程價值.

4.2 如何發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展受一些因素的影響．譬如，學生的認知特點，高中生的認知正處于由經(jīng)驗型逐步向理論型轉變的過程中；又如，高中學生的生理、心理發(fā)育特點，學生的身體逐步發(fā)育成熟，但心理急速發(fā)育成長，正是人生觀、價值觀逐步形成的階段；再如，數(shù)學的學科特點，高中數(shù)學具有較強的系統(tǒng)性和抽象性，對學生的終身發(fā)展起著獨特的作用，承載著數(shù)學育人獨特使命.

因此，普通高中數(shù)學課程標準修改組從適應學生的終身發(fā)展及社會的未來發(fā)展的需要出發(fā)，將我國高中數(shù)學課程目標從最初的學科視野下的致力于數(shù)學知識，技能，思想的提高，到人本觀發(fā)展視角下的發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)——數(shù)學知識、能力為基礎的將情感、態(tài)度、價值觀以及數(shù)學意識融入其中的綜合表現(xiàn).

鑒于影響數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展的諸因素以及核心素養(yǎng)包含的諸方面，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)不能一蹴而就．我們認為，只有將顯性的數(shù)學活動與隱性的數(shù)學素養(yǎng)之間進行相互轉變，才能更好地發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

其一：實踐出真知．每個個體都會從已有的實踐活動和經(jīng)驗中尋找啟示，數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展也不例外，只有學生參與了整個學習過程，經(jīng)歷了自主性活動和對數(shù)學知識的自主建構，才有利于數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

其二：活動化素養(yǎng)．正如只有在水中才能學會游泳一樣，唯有在數(shù)學活動中積累經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．學生只有在經(jīng)歷無數(shù)次數(shù)學活動(顯性)后才能內化為自身的數(shù)學素養(yǎng)(隱性).

修訂稿明確在高中數(shù)學課程目標中增加了基本活動經(jīng)驗與原有的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想一道構成了課程目標中的“四基”．華東師范大學課程與教學研究所崔允漷教授說“新課標與現(xiàn)有的課標最大的不同，就是強調每門學科的核心素養(yǎng)”，而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，一方面，需要我們轉變教學方法；另一方面，需要我們改變教學觀念．以往強調老師怎么教，現(xiàn)在則要強調老師怎么引領學生自主探究學習．課堂不是對學生進行訓練的場所，而是引導學生發(fā)展的場所．課堂即生活，師生教學活動是課堂的心臟，它的跳動使得各種要素(學生、教師、媒介、聽課者、教室環(huán)境等)融入其中，和諧統(tǒng)一，各自生成．本節(jié)課，通過問題情境為平臺，以問題為中心，引導學生積極開展數(shù)學活動，借助數(shù)學實驗(門的轉動過程中的特點)，通過數(shù)學抽象，得出直線與平面平行的概念與核心要素，提煉出線面平行的判定定理．在顯性的數(shù)學活動中發(fā)展了學生隱性的數(shù)學抽象素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng).

如何培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，這是一個新課題，只要我們從學生的終身發(fā)展出發(fā)，讓學生真正成為學習的主體和主人，在數(shù)學課堂教學中，精心組織數(shù)學實踐活動，讓學生在探究活動中，學會自主學習、團隊學習并培養(yǎng)其在團隊學習中分享經(jīng)驗的機會．最終實現(xiàn)從學校課堂走向無限的人生，從不可見的數(shù)學素養(yǎng)到可見的數(shù)學修為．