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    一類對(duì)合冪等元半環(huán)的刻畫

    2017-03-29 09:29:53王紅喜
    關(guān)鍵詞:半格半環(huán)恒等式

    王紅喜

    【摘要】 本文研究了滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x,x+xy≈xy+y≈xy的對(duì)合冪等元半環(huán)簇的一個(gè)子簇,討論了該簇中成員的一些性質(zhì),最后,給出了這類對(duì)合冪等元半環(huán)的幾個(gè)等價(jià)刻畫.

    【關(guān)鍵詞】 對(duì)合冪等元半環(huán);簇;單演雙半格

    一、引言與預(yù)備知識(shí)

    在半環(huán)代數(shù)理論的研究中,對(duì)冪等元半環(huán)的研究是十分活躍的領(lǐng)域.近年來(lái),許多專家學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入細(xì)致的研究.Sen M.K等研究了滿足恒等式x+xy+x≈x+yx+x≈x的冪等元半環(huán)簇的一個(gè)子簇R + ○ D.對(duì)合半環(huán)在代數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域和計(jì)算機(jī)科學(xué)中占有重要地位.例如,在形式語(yǔ)言和自動(dòng)機(jī)理論中語(yǔ)言對(duì)合半環(huán)豐富了Kleene循環(huán)運(yùn)算理論.近年來(lái),Dolinca I對(duì)對(duì)合半群和對(duì)合半環(huán)做了大量的研究.

    本文給出了滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x,x+xy≈xy+y≈xy的對(duì)合冪等元半環(huán)簇的一個(gè)子簇,討論了該簇中成員的一些性質(zhì),最后,得到了這類對(duì)合冪等元半環(huán)的幾個(gè)等價(jià)刻畫.

    若非空集合S上裝有兩個(gè)二元運(yùn)算加法+和乘法·,其中(S,+)和(S,·)是半群,且滿足乘法對(duì)加法的分配律,即(a,b,c∈S),a(b+c)=ab+ac,則稱(S,+,·)是半環(huán).以下在不引起混淆的情況下,半環(huán)(S,+,·)簡(jiǎn)寫為S.

    冪等元半環(huán)是指(S,+,·)是半環(huán),且(a∈S),a+a=a,aa=a.

    含對(duì)合運(yùn)算的半環(huán)(S,+,·,)是指(S,+,·)是半環(huán),且有下式成立:

    (a,b∈S)(a+b)=b+a,(ab)=ba,(a)=a.

    即是S上的反自同構(gòu),也可以看作半環(huán)上的一元運(yùn)算.把含對(duì)合運(yùn)算的冪等元半環(huán)簡(jiǎn)稱為對(duì)合冪等元半環(huán).

    簇是關(guān)于同態(tài)像、直積和子代數(shù)封閉的代數(shù)類.所有對(duì)合冪等元半環(huán)形成的類是滿足一組給定等式的代數(shù)類,因而它就是一個(gè)簇.雙半格是滿足恒等式x+y≈y+x,xy≈yx的冪等元半環(huán).單演雙半格是滿足恒等式x+y≈xy的雙半格,左零半環(huán)是滿足恒等式x+y≈xy≈x的半環(huán).為了以下敘述的方便,本文將用I表示對(duì)合冪等元半環(huán)簇,用M表示對(duì)合單演雙半格簇,用Lz表示對(duì)合左零帶簇.兩個(gè)冪等元半環(huán)類V和W的Mal′cev積,記為V ○ W.它是滿足下面條件的冪等元S的全體:S上存在同余ρ使得S/ρ∈W和每個(gè)ρ-類都是S的子代數(shù),且都在V中.

    若(S,+,·)是半環(huán),則D + 和D · 分別表示加法和乘法半群上的格林關(guān)系,若S∈I,易得D + 是S上的同余關(guān)系,而D · 不是S上的同余關(guān)系,但D + 和D · 分別是(S,+)和(S,·)上的最小半格同余.

    二、主要結(jié)果

    我們主要來(lái)研究滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x,x+xy≈xy+y≈xy的對(duì)合冪等元半環(huán),為此先來(lái)給出一個(gè)引理.

    引理2.1 若對(duì)合冪等元半環(huán)S滿足附加恒等式

    x+y≈xy, (1)

    x+y+x≈x+y. (2)

    則S滿足

    x+xy+x≈y+yx+y≈y+x, (3)

    x+xy≈xy+y≈xy. (4)

    引理2.2 若S是滿足(3)與(4)的對(duì)合冪等元半環(huán),則D + 是S上的最小單演雙半格同余.

    定理2.3 若S是對(duì)合冪等元半環(huán),則下列命題等價(jià)

    (?。㏒滿足(1)與(2);

    (ⅱ)S滿足(3)與(4);

    (ⅲ)D + 是S上的最小單演雙半格同余,且每個(gè)D + -類滿足x+y≈xy≈x;

    (ⅳ)S∈Lz ○ M(這里M是含對(duì)合運(yùn)算的單演雙半格).

    證明 由引理2.1知,(ⅰ)(ⅱ)成立.

    下證(ⅱ)(ⅲ),由引理2.2知,D + 是S上的最小單演雙半格同余,只需證每個(gè)D + -類滿足x+y≈xy≈x即可.由D + 的定義得每個(gè)D + -類是矩形帶,又D + -類也滿足(3)與(4),故有

    a+b=a+ab+a=ab+a=a+b+a=a,

    ab=a+ab=a(a+b)=a(a+ab+a)=aa=a.

    (ⅲ)(ⅳ).

    易知S上的對(duì)合運(yùn)算可誘導(dǎo)S/D + 上的對(duì)合運(yùn)算,即M是含對(duì)合運(yùn)算的單演雙半格.

    (ⅳ)(?。?若S∈Lz ○ M,則存在δ∈con(S),使得S/δ∈M,且每個(gè)δ-類屬于Lz,設(shè)a,b∈S,則(ab)δ(a+b)δ(b+a)δ(ba),又由每個(gè)δ-類是左零帶,所以

    ab+ba=ab,ab+bab=(a+b)ab=a+b,

    由(ab)δ(ba),得(bab)δ(bba).

    從而(bab)δ(ba),babab=ba,bab=ba,

    于是a+b=ab+bab=ab+ba=ab,a+b+b+a=a+b+a=a+b,

    所以(?。┏闪?

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