半環(huán)同態(tài)的若干性質(zhì)

邵海琴, 梁茂林, 董芳芳

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 天水 741001)

1 預(yù)備知識

關(guān)于軟代數(shù)的研究已經(jīng)從軟群、軟模、軟半環(huán)、軟環(huán)和軟BCK/BCI代數(shù)等不同的軟代數(shù)系統(tǒng)展開.而關(guān)于軟半環(huán)的研究，自Feng等[1]利用軟集合理論，引入軟半環(huán)，軟子半環(huán)，軟理想和理想軟半環(huán)等概念，并證明了它們的一些相關(guān)性質(zhì)后，近年來眾多學(xué)者對軟半環(huán)理論作了進(jìn)一步的探討[2-6].同態(tài)和同構(gòu)是比較代數(shù)系統(tǒng)的一種重要方法,在代數(shù)系統(tǒng)的研究中有著重要的作用.Rao[7]通過模糊軟Γ-半環(huán)、模糊軟左(右)理想、模糊軟Γ-子半環(huán)等對模糊Γ-半環(huán)同態(tài)和模糊軟Γ-半環(huán)同態(tài)進(jìn)行了研究,得到了它們的一些重要性質(zhì);Massa’deh等[8]通過二極Q-模糊軟Γ-半環(huán)、二極Q-模糊軟右(左)理想、二極Q-模糊軟Γ-子半環(huán)等對Γ-半環(huán)同態(tài)和二極Q-模糊軟同態(tài)進(jìn)行了研究,得到了它們的一些重要性質(zhì);Fallatah等[9]利用三極模糊軟Γ-半環(huán)、三極模糊軟右(左)理想、三極模糊軟Γ-子半環(huán)等對Γ-半環(huán)同態(tài)和三極模糊軟Γ-半環(huán)同態(tài)進(jìn)行了研究,得到了它們的一些重要性質(zhì);Wang等[10]利用超環(huán)上的軟超環(huán)、理想軟超環(huán)、軟子超環(huán)和軟理想等對超環(huán)強(qiáng)同態(tài)和軟超環(huán)的軟同態(tài)進(jìn)行了研究,得到了它們的一些重要性質(zhì),并給出了軟超環(huán)的三個同構(gòu)定理.同時,對軟超環(huán)的模糊同態(tài)和同構(gòu)進(jìn)行了研究,給出了軟超環(huán)的三個模糊同構(gòu)定理;邵海琴等[11]利用半環(huán)上的軟半環(huán)、軟子半環(huán)、軟理想和理想軟半環(huán)等對半環(huán)同態(tài)進(jìn)行了研究,得到了半環(huán)同態(tài)的一些重要性質(zhì);邵海琴等[12]利用半擬序、商半擬序、半擬鏈和商半擬鏈等對偏序半群的商序同態(tài)進(jìn)行了研究,得到了商序同態(tài)的一些重要性質(zhì).本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上,利用半環(huán)上的理想軟半環(huán)、完全理想軟半環(huán)、平凡理想軟半環(huán)和理想軟子半環(huán)以及理想軟半環(huán)間的運(yùn)算, 對半環(huán)同態(tài)進(jìn)行研究.

文中一般的概念和記號均參見文獻(xiàn)[1,11].

其中

C1=A∩B,α滿足對任意的x∈C1,α(x)=η1(x)∩η2(x);

C2=A∪B,β滿足對任意的x∈C2,

C3=A×B,γ滿足對任意的(x,y)∈C3,η(x,y)=η1(x)∩η2(y).

設(shè)(η,A)是半環(huán)R上的一個非空軟集合.(η,A)被稱為R上的一個理想軟半環(huán), 若對任意的x∈Supp(η,A),η(x)是R的一個理想.半環(huán)R上的一個理想軟半環(huán)(η,A)被稱為是完全的,若對任意的x∈A,η(x)=R.有零元半環(huán)R上的一個理想軟半環(huán)(η,A)被稱為是平凡的,若對任意的x∈A,η(x)={0}.設(shè)R和S都是半環(huán),(η,A)是R上的一個理想軟半環(huán),且φ是從R到S的一個映射.對任意的x∈A,由文獻(xiàn)[1]知,可以定義S上的一個軟集合(φ(η),A),且有Supp(φ(η),A)=Supp(η,A),這里,

φ(η):A→P(S);φ(η)(x)=φ(η(x))

稱(φ(η),A)為(η,A)在φ之下的像集.若φ是從R到S的一個同態(tài)滿射,則有下列結(jié)論.

定理1[1]設(shè)φ是從半環(huán)R到半環(huán)S的一個同態(tài)滿射,(η,A)是R上的一個理想軟半環(huán).那么

1)(φ(η),A)是S上的一個理想軟半環(huán);

2)若(η,A)是完全的,則(φ(η),A)也是完全的.

定理1說明,半環(huán)R上的理想軟半環(huán)和完全理想軟半環(huán)在滿同態(tài)φ之下的像集(φ(η),A)是半環(huán)S上的理想軟半環(huán)和完全理想軟半環(huán),即半環(huán)滿同態(tài)是保理想軟半環(huán)和完全理想軟半環(huán)的.

2 主要結(jié)論

命題1設(shè)R和S都是有零元半環(huán),φ是從R到S的一個同態(tài)滿射,(η,A)是R上的一個理想軟半環(huán).那么

1)若對任意的x∈A,有η(x)?Kerφ,則(φ(η),A)是S上的一個平凡理想軟半環(huán);

2)若(η,A)是平凡的,則(φ(η),A)是S上的一個平凡理想軟半環(huán).

證明1)由定理1中1)知,(φ(η),A)是S上的一個理想軟半環(huán).設(shè)0R是R的零元,則φ(0R)=0S,其中0S是S的零元.對任意的x∈A,由η(x)?Kerφ得

φ(η)(x)=φ(η(x))={0S}

因此,(φ(η),A)是S上的一個平凡理想軟半環(huán).

2)由定理1中1)知,(φ(η),A)是S上的一個理想軟半環(huán).設(shè)0R是R的零元,則φ(0R)=0S,其中0S是S的零元.對任意的x∈A,由(η,A)是平凡的得η(x)={0R},于是由φ是從R到S的滿同態(tài)得

φ(η)(x)=φ(η(x))=φ({0R})={φ(0R)}={0S}

因此,(φ(η),A)是S上的一個平凡理想軟半環(huán).

命題1說明,半環(huán)R上的平凡理想軟半環(huán)(η,A)在滿同態(tài)φ之下的像集(φ(η),A)是半環(huán)S上的平凡理想軟半環(huán),即半環(huán)滿同態(tài)是保平凡理想軟半環(huán)的.

例1取整數(shù)半環(huán)Z和模n(n∈Z+)剩余類半環(huán)Zn.對任意的x∈Z,令

φ:Z→Zn;x

容易證明,φ是從Z到Zn的一個滿同態(tài),且Kerφ={nk|k∈Z}.

取A=Z+, 且對任意的x∈A,令

η:A→P(Z);x{nxk|k∈Z}=nxZ.

對任意的x∈Supp(η,A),很顯然,η(x)都是Z的理想,因此,(η,A)是Z上的一個理想軟半環(huán).

對任意的x∈Supp(η,A),很顯然,η(x)?Kerφ,因此,由命題1中1)知,(φ(η),A)是半環(huán)S上的平凡理想軟半環(huán).

再取A=Z+,且對任意的x∈A,令

η:A→P(Z);x{0xk|k∈Z}={0}.

對任意的x∈Supp(η,A),η(x)={0}是Z的零理想,因此,(η,A)是Z上的一個平凡理想軟半環(huán),因此,由命題1中2)知,(φ(η),A)是半環(huán)S上的平凡理想軟半環(huán).

設(shè)φ是從半環(huán)R到半環(huán)S的一個同態(tài)映射,(η,A)是S上的一個理想軟半環(huán).對任意的x∈A,由文獻(xiàn)[11]知,可以定義半環(huán)R上的一個軟集合(φ-1(η),A),且有Supp(φ-1(η),A)=Supp(η,A),這里,

φ-1(η):A→P(R);φ-1(η)(x)=φ-1(η(x))

稱(φ-1(η),A)為(η,A)在φ之下的原像集.

下面討論半環(huán)S上的理想軟半環(huán)(η,A)在φ之下的原像集(φ-1(η),A)的性質(zhì).

定理2設(shè)φ是從半環(huán)R到半環(huán)S的一個同態(tài)映射,(η,A)是S上的一個理想軟半環(huán),那么(φ-1(η),A)是R上的一個理想軟半環(huán).

定理2說明,半環(huán)S上的理想軟半環(huán)在同態(tài)映射φ之下的原像集(φ-1(η),A)是半環(huán)R上的理想軟半環(huán).

例2取整數(shù)半環(huán)Z和模n(n∈Z+)剩余類半環(huán)Zn.對任意的x∈Z,令

φ:Z→Zn;x

由例1知,φ是從Z到Zn的一個同態(tài)映射.令A(yù)=Zn,且對任意的x∈A,令

{3xk|k∈Z}=3xZ

命題2設(shè)φ是從半環(huán)R到半環(huán)S的一個同態(tài)映射,(η,A)是S上的一個理想軟半環(huán).那么

1)若(η,A)是完全的,則(φ-1(η),A)是R上的一個完全理想軟半環(huán);

2)若R和S都是有零元半環(huán),且(η,A)是平凡的,則當(dāng)φ是單射,且0S∈φ(R)時,(φ-1(η),A)是R上的一個平凡理想軟半環(huán),其中0S是S的零元.

證明1)由定理2知,(φ-1(η),A)是R上的一個理想軟半環(huán).對任意的x∈A,由(η,A)是完全的得η(x)=S,于是有

φ-1(η)(x)=φ-1(η(x))=φ-1(S)=R

因此,(φ-1(η),A)是完全的.

2)由定理2知,(φ-1(η),A)是R上的一個理想軟半環(huán).由φ是單射,且0S∈φ(R)得φ-1(0S)=Kerφ={0R},其中0R是R的零元.對任意的x∈A,由(η,A)是平凡的得η(x)={0S},于是有

φ-1(η)(x)=φ-1(η(x))=φ-1{0S}={0R}

因此,(φ-1(η),A)是平凡的.

命題2說明,半環(huán)S上的平凡理想軟半環(huán)(η,A)在單同態(tài)φ之下的原像集(φ-1(η),A)是半環(huán)R上的平凡理想軟半環(huán).

定義1設(shè)(η1,A)和(η2,B)都是半環(huán)R上的理想軟半環(huán),若

1)B?A;

則稱(η2,B)是(η1,A)的一個理想軟子半環(huán).

例3取整數(shù)半環(huán)Z,令A(yù)=B=Z,且對任意的x∈A=B,令

η1:A→P(Z);x{2xk|k∈Z}

η2:B→P(Z);x{4xk|k∈Z}

則(η1,A)和(η2,B)都是Z上的理想軟半環(huán).

定義2設(shè)(η1,A)和(η2,B)都是半環(huán)R上的理想軟半環(huán),若(η1,A)和(η2,B)互為理想軟子半環(huán),則稱(η1,A)和(η2,B)軟相等.

定理3設(shè)φ是從半環(huán)R到半環(huán)S的一個滿同態(tài).那么

證明1)由定理1中(1)和文獻(xiàn)[1]中定理4.6知,(φ(γ),C)和(ν,C)都是S上的理想軟半環(huán).對任意的x∈C=A∩B,有

2)由定理2和文獻(xiàn)[1]中定理4.6知,(φ-1(γ),C)和(δ,C)都是R上的理想軟半環(huán),于是由1)得(φ(δ),C)和(φ(φ-1(γ)),C)都是S的理想軟半環(huán).

對任意的x∈C=A∩B,有

由于φ是滿射,因此,

φ(φ-1(γ)(x))=η1(x)∩η2(x),φ(δ(x))?

η1(x)∩η2(x)

故(φ(δ),C)是(φ(φ-1(γ)),C)的理想軟子半環(huán).

定理4設(shè)φ是從半環(huán)R到半環(huán)S的一個滿同態(tài).那么

證明1)由定理1中1)和文獻(xiàn)[1]中定理4.9知,(φ(γ),C)和(ν,C)都是S上的理想軟半環(huán).對任意的(x,y)∈C=A×B,有

2)由定理2和文獻(xiàn)[1]中定理4.9知,(φ-1(γ),C)和(δ,C)都是R上的理想軟半環(huán),于是由定理1中1)知,(φ(φ-1(γ)),C)和(φ(δ),C)都是S上的理想軟半環(huán).

對任意的(x,y)∈C=A×B,有

由φ是滿射得

定理5設(shè)φ是從半環(huán)R到半環(huán)S的一個同態(tài)映射.那么

證明1)由定理1中1)和文獻(xiàn)[1]中定理4.7知,(φ(γ),C)和(ν,C)都是S上的理想軟半環(huán).對任意的x∈C,由A∩B=?知,

很顯然,φ(γ)(x)和ν(x)相等,互為理想,故(φ(γ),C)和(ν,C)軟相等.

2)由定理2和文獻(xiàn)[1]中定理4.7知,(φ-1(γ),C)和(δ,C)都是R上的理想軟半環(huán).

對任意的x∈C,由A∩B=?知,

很顯然,φ-1(γ)(x)和δ(x)相等,互為理想,故(φ-1(γ),C)和(δ,C)軟相等.

致謝：本文得到天水師范學(xué)院校級一般項(xiàng)目(JY203008)的資助，在此表示感謝.