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    對(duì)合K-正則半環(huán)

    2016-08-10 07:33:33馮軍慶
    關(guān)鍵詞:半格半環(huán)等價(jià)

    馮軍慶, 徐 慧

    (空軍工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710051)

    ?

    對(duì)合K-正則半環(huán)

    馮軍慶*, 徐慧

    (空軍工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710051)

    研究對(duì)合K-正則半環(huán)的性質(zhì),利用K-正則半環(huán)的Green-關(guān)系從多個(gè)角度刻畫對(duì)合K-正則半環(huán),對(duì)合半群的冪半環(huán)是對(duì)合K-正則半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)合半群是對(duì)合正則半群,最后給出對(duì)合正則半群的冪半環(huán)是對(duì)合交換半環(huán)的幾個(gè)等價(jià)命題。

    對(duì)合K-正則半環(huán);K-冪等元; 冪等元半環(huán); 冪半環(huán)

    MR subject classification: 19A49

    1 預(yù)備知識(shí)

    若非空集合S上裝有兩個(gè)二元運(yùn)算加法(+)和乘法(·),其中(S,+)和(S,·)是半群,且滿足乘法對(duì)加法的分配律,即

    ?a、b∈S,a(b+c)=ab+ac,

    則稱(S,+,·)是半環(huán)。以下在不引起混淆的情況下,半環(huán)(S,+,·)簡(jiǎn)寫為S。

    含對(duì)合*運(yùn)算的半環(huán)(S,+,·,*)[1]是指(S,+,·)是半環(huán),且有下式成立:

    ?x、y∈S, (x+y)*=y*+x*,

    (xy)*=y*x*, (x*)*=x。

    *是S上的反自同構(gòu),*也可以看作半環(huán)上的一元運(yùn)算,把含對(duì)合*運(yùn)算的半環(huán)簡(jiǎn)稱為對(duì)合半環(huán)[1]。

    半環(huán)(S,+,·)稱為K-正則半環(huán)[2]是指(S,+)是半格,且對(duì)任意a∈S,都存在x∈S,使得a+axa=axa。本文中把含對(duì)合*運(yùn)算的K-正則半環(huán)稱為對(duì)合K-正則半環(huán)。

    對(duì)合半環(huán)在代數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域和計(jì)算機(jī)科學(xué)中占有重要地位。例如,在形式語(yǔ)言和自動(dòng)機(jī)理論中的語(yǔ)言對(duì)合半環(huán)[3]豐富了Kleene循環(huán)運(yùn)算理論。近年來,Dolinca對(duì)合半群和對(duì)合半環(huán)領(lǐng)域做了大量的研究[4-6],文獻(xiàn)[2]對(duì)K-正則半環(huán)做了深入細(xì)致的刻畫.本文受此啟發(fā),在K-正則半環(huán)上引入對(duì)合*運(yùn)算,研究了K-正則半環(huán)的一個(gè)子類對(duì)合K-正則半環(huán),對(duì)合半群的冪半環(huán)是對(duì)合K-正則半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)合半群是對(duì)合正則半群,最后給出了對(duì)合正則半群的冪半環(huán)是對(duì)合交換半環(huán)的幾個(gè)等價(jià)命題。

    首先,介紹一些概念和術(shù)語(yǔ)。

    設(shè)(S,+,·)是半環(huán),記它的加法和乘法冪等元的集合分別為E+(S)和E·(S),這里

    E+(S)={e|e+e=e},E·(S)={e|e2=e},

    用Sl+表示加法是半格的半環(huán)簇。對(duì)任意S∈Sl+,S中的元素e稱為K-冪等元,是指e+e2=e2,S的全體K-冪等元構(gòu)成的集合記為EK(S)。類似于正則半群上的Green-關(guān)系,我們定義K-正則半環(huán)上的兩個(gè)Green-關(guān)系如下:

    ?a、b∈S,

    本文未涉及的其他概念和符號(hào)請(qǐng)參見文獻(xiàn)[7-9]。

    2 對(duì)合K-正則半環(huán)的等價(jià)刻畫

    本節(jié)將給出對(duì)合K-正則半環(huán)的等價(jià)刻畫,為此先給出引理1。

    引理1設(shè)(S,+,·,*)∈Sl+,且a、b、c、d∈S,

    (1)若存在x1、x2、y1、y2∈S,使得a+x1by1=x2by2,則

    a+(x1+x2+y1+y2)b(x1+x2+y1+y2)=(x1+x2+y1+y2)b(x1+x1+y1+y2),

    (2)若存在x、y∈S,使得a+xby=xcy,則

    a+(x+y)(b+c)(x+y)=

    (x+y)(b+c)(x+y)。

    (3)若存在x、y∈S,使得a+xcx=xcx,b+ydy=ydy,則

    a+(x+y)(c+d)(x+y)=

    (x+y)(c+d)(x+y),

    b+(x+y)(c+d)(x+y)=

    (x+y)(c+d)(x+y)。

    (4)若a+b=b,c+d=d,則ac+bd=bd。

    證明(1) 設(shè)u=x1+x2+y1+y2,則

    x1by1+ubu=x2by2+ubu=ubu,

    所以a+x1by1+ubu=x2by2+ubu,即a+ubu=

    ubu, 且

    a*+u*b*u*=(a+ubu)*=

    (ubu)*=u*b*u*。

    (2)

    xby+(x+y)(b+c)(x+y)=

    xcy+(x+y)(b+c)(x+y)=

    (x+y)(b+c)(x+y),

    a*+(x*+y*)(b*+c*)(x*+y*)=

    a*+(x+y)*(b+c)*(x+y)*=

    [a+(x+y)(b+c)(x+y)]*=

    [(x+y)(b+c)(x+y)]*=

    (x*+y*)(b*+c*)(x*+y*)。

    (3)

    xcy+(x+y)(b+c)(x+y)=

    xdy+(x+y)(b+c)(x+y)=

    (x+y)(b+c)(x+y)。

    類似(2),可證明

    a*+(x*+y*)(c*+d*)(x*+y*)=

    (x*+y*)(c*+d*)(x*+y*),

    b*+(x*+y*)(c*+d*)(x*+y*)=

    (x*+y*)(c*+d*)(x*+y*)。

    (4) 事實(shí)上,由ac+bc=bc,得ac+b(c+d)=b(c+d),所以ac+bd=bd,且

    a*c*+b*d*=(ca)*+(db)*=

    (ca+db)*=(db)*=b*d*。

    設(shè)(F,·,*)是對(duì)合半群,令S=P(F)是F的冪集,定義A+B=A∪B,AB={ab|a∈A,b∈B}。由F上的對(duì)合*運(yùn)算誘導(dǎo)它的冪集上的*運(yùn)算為A*={a*|a∈A},則(S,+,·,*)是對(duì)合半環(huán),且S∈Sl+。

    定理2設(shè)(F,·,*)是對(duì)合半群,則半環(huán)(P(F),+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)(F,·,*)是對(duì)合正則半群。

    證明設(shè)(P(F),+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán),任取a*∈S,則A*={a*}∈P(F),于是存在X*∈P(F),使得A*+A*X*A*=A*X*A*,即A*?A*X*A*。故存在x*∈X*,使得a*=a*x*a*,于是(F,·,*)是對(duì)合正則半群。

    反之,設(shè)(F,·,*)是對(duì)合半群A*∈P(F),則對(duì)任意a*∈A*,存在x*∈F,使得a*=a*x*a*,對(duì)于這樣的x*記為xa,則X*={xa|a∈A}∈P(F)。故A*?A*X*A*,即A*+A*X*A*=A*X*A*,因此(P(F),+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán)。

    3 正則半群的冪半環(huán)是

    對(duì)合交換半環(huán)

    設(shè)(S,+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán),若它的K-冪等元e、f可交換,任取a、b∈S,存在x、y、z∈S,使得a+axa=axa,b+byb=byb,ab+abzab=abzab,于是zab+zabzab=zabzab,abzab+abzabzab=abzabzab,從而ab+abzabzab=abzabzab。由引理1可知,令t=x+y+abz+zab,則a+ata=ata,b+btb=btb,ab+abtab=abtab,這里ta、bt∈EK(S),故tabt=bt2a,ab+bt2a=bt2a,于是我們可得到下述定理。

    定理3設(shè)(S,+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán),對(duì)任意e、f∈EK(S),ef=fe,則對(duì)任意a、b∈S存在x∈S使得ab+bxa=bxa。

    定理4設(shè)(F,·,*)是對(duì)合正則半群,則下列命題等價(jià):

    (1)P(F)的K-冪等元可交換;

    (2) (F,·,*)是對(duì)合交換半群;

    (3) (P(F),+,·,*)是對(duì)合交換半環(huán)。

    證明易證明(2)?(3),(3)?(1),下面只給出(1)?(2)的證明。

    設(shè)a*∈F,e2=e∈F,則{a*}、{e}∈P(F),由定理3知,存在X*、Y*∈P(F),使得

    {e}{a*}+{a*}X*{e}={a*}X*{e},

    {a*}{e}+{e}Y*{a*}={e}Y*{a*},

    于是存在x*、y*∈X*,使得

    ea*=a*x*e,a*e=ey*a*,所以

    ea*e=a*x*e2=a*x*e=ea*,

    ea*e=e2y*a*=ey*a*=a*e,

    從而a*e=ea*,因此(F,·,*)是Clifford-半群。

    于是F=[L,Gα,Φα,β,*]是群的對(duì)合強(qiáng)半格,且ab=(aΦα,αβ)(bΦβ,αβ),a∈Gα,b∈Gβ,aΦα*,β*=((a*)Φα,β)*。設(shè)eα*是Gα*的單位元,a、b∈Gα*,則A={eα*,a},B={eα*,b}∈P(F),且A、B是P(F)的K-冪等元,故AB=BA,即

    {eα*,a,b,ab}={eα*,a,b,ba}。

    若a=eα*或b=eα*,則ab=ba,又ab≠a,ab≠b,于是要么ab=eα*,要么ab=ba;若ab=eα*,則b=a-1,即a是b的逆元??傊產(chǎn)b=ba,從而Gα*是阿貝爾群,對(duì)任意α*∈L,a∈Gα*,b∈Gβ*,

    ab=(aΦα*,α*β*)(bΦβ*,α*β*)=

    (bΦβ*,α*β*)(aΦα*,α*β*)=ba,

    于是(F,·,*)是對(duì)合交換半群。

    [1] DOLINKA I. Idempotent distributive semirings with involution[J].International Journal of Algebra and Computation,2003,5:597-625.

    [2] SEN M K, BHUNIYA A K. On semirings whose additive reduct is a semilattice[J].Semigroup Forum, 2011, 82:131-140.

    [3] JONSSON B.The theory of binary relations[M]∥HALMDS P R.Algebraic Logic.Amsterdam:North-Holland,1991:245-292.

    [4] DOLINCA I,VINCIC M. Involutorial Plonka sums[J].Periodica Mathematica Hungarica,2003, 46(1):17-31.

    [5] DOLINCA I. On the lattice of varieties of involution semigroups[J].Semigroup Forum, 2001, 82:438-459.

    [6] DOLINCA I. All varieties of normal bands with involution[J].Periodica Mathematica Hungarica,2000, 40:109-122.

    [7] HOWIE J M. Fundamentals of semigroup theory[M].Oxford: Clarendon Press,1995.

    [8] HOWIE J M. Automata and languages[M].Oxford: Clarendon Press, 1991.

    [9] NORDAHL T E,SCHEIBLICH H E. Regular *-semi-groups[J].Semigroup Forum,1978,16:369-377.

    〔責(zé)任編輯宋軼文〕

    K-regular semiring with involution

    FENG Junqing*, XU Hui

    (College of Science, Air Force Engineering University,Xi′an 710051, Shaanxi, China)

    Some properties onK-regular semiring with involution are studied.TheK-regular semiring with involution are discussed in different ways by using Green-relation onK-regular semiring.The power semiring of semigroup with involution which is aK-regular semiring with involution if and only if semigroup is a regular semigroup.Finally,it is obtained that the equivalent proposition of the power semiring of involutorial regular semigroup which is a commutative semiring with involution.

    K-regular semiring with involution;K-idempotents; idempotent semiring; power semiring

    1672-4291(2016)04-0014-03

    10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.144

    2015-07-09

    陜西省自然科學(xué)基金(2014JQ1014); 國(guó)家自然科學(xué)基金(61402364)

    馮軍慶,男,講師。E-mail: fjq_0213@126.com

    O152.7

    A

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