單半環(huán)的若干性質(zhì)

黃惠玲

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院 公共教學(xué)部,福建 福州 350007)

單半環(huán)的若干性質(zhì)

黃惠玲

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院 公共教學(xué)部,福建 福州 350007)

探討了單半環(huán),獲得關(guān)于單半環(huán)的若干等價性質(zhì),同時刻畫了單半環(huán)及加法冪等半環(huán)的幾個子半環(huán).

半環(huán);單半環(huán);加法冪等半環(huán)

0 引言和預(yù)備知識

在半環(huán)理論中,半環(huán)結(jié)構(gòu)是一項(xiàng)重要的研究內(nèi)容,單半環(huán)、冪等半環(huán)是半環(huán)結(jié)構(gòu)研究的樞紐.近年來,有許多文獻(xiàn)致力于單半環(huán)、冪等半環(huán)的研究.Bashir,R.El等人在文獻(xiàn)[1]刻畫了有限交換半環(huán)是同余單半環(huán)的充要條件,在文獻(xiàn)[2]中討論同余單半環(huán);劉國瑞和李勇華在文獻(xiàn)[3]討論了加法完全單半環(huán)上的同余和同余格.本文主要討論R是單半環(huán)的一些等價條件,同時刻畫了單半環(huán)的幾個子半環(huán).

定義1[4]設(shè)R是一非空集合.如果在R中定義兩個代數(shù)運(yùn)算“+”與“·”且滿足

1)(R,+,0)是一個交換幺半群,其中0為R的加法恒等元;

2)(R,·,1)是一個幺半群,1為R的單位元;

3)?x,y,z∈R,均有x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz;

4)?x∈R,0x=x0=0;

5)0≠1.

則稱R為半環(huán),記為(R,+,·,0,1)或簡記作R.

定義2[4]設(shè)L是半環(huán)(R,+,·,0)的非空子集.如果1)0∈L;2)(L,+,·)作成有零元的半環(huán),則稱L為R的子半環(huán).

定義3[4]設(shè)I是半環(huán)R的非空子集,如果1)0∈I;2)?x,y∈I,a∈R,均有x+y∈I,ax,xa∈I.則稱I為R的理想.

定義4[4]若半環(huán)R只含R與{0}兩個理想,則稱R為單半環(huán).

由單半環(huán)的定義可得R為單半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)?x∈R,有x+1=1.

定義5 設(shè)(R,+,·)是半環(huán).如果?x∈R,有x+x=x,則稱R為加法冪等半環(huán).

顯然,若R為單半環(huán),那么R也是加法冪等半環(huán).因?yàn)?x∈R,有x+1=1,所以1+1=1,因此a+a=a(1+1)=a·1=a,所以R是加法冪等半環(huán).

定義6 設(shè)(R,+,·)是半環(huán).如果?x∈R,有x2=x,則稱R為乘法冪等半環(huán).

定義7 設(shè)R是單半環(huán),?x,y∈R,?n,m為非負(fù)整數(shù),我們定義x[n]y[m]為滿足下列條件的運(yùn)算:

1)x[0]y[m]=ym;

2)x[n]y[0]=xn;

3)x[n+1]y[m+1]=(x[n]y[m+1])x+(x[n+1]y[m])y.

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)R是加法冪等半環(huán).?x,y,z,g∈R,且x+z=y,y+g=x,則x=y.

證明 因?yàn)镽是加法冪等半環(huán),則?x,y,z,g∈R,有

x=x+x=x+y+g=x+x+z+g=x+z+g=y+g+z+g=y+z+g+g

=y+z+g=y+g+z=x+z=y

證畢.

定理2 設(shè)R是半環(huán).下面四個命題是等價的:

1)R是單半環(huán);

2)?x,y∈R,有x=xy+x;

3)?x,y∈R,有x=yx+x;

4)?x,y,z∈R,有xy=xy+xzy.

證明 1)?2)

因?yàn)镽是單半環(huán),則?x,y∈R,有x=x·1=x(1+y)=x+xy,命題2)得證.

2)?1)

因?yàn)?x,y∈R,有x=xy+x,所以1+y=1+1·y=1,因此R是單半環(huán).

同理可證1)?3).

1)?4)

因?yàn)镽為單半環(huán),所以由命題2)可得?x,y,z∈R,有x=xz+x,因此

xy=(xz+x)y=xzy+xy=xy+xzy

從而命題4)得證.

4)?1)

因?yàn)?x,y,z∈R,有xy=xy+xzy.所以y=1·y=1·y+1·zy=y+zy,即y=zy+y,從而命題3)成立,由上面證明可得命題3)成立,那么命題1)也成立,即R是單半環(huán).

因此命題1),2),3),4)是等價的. 證畢.

推論 設(shè)R是半環(huán).下列三個命題是等價的:

1)R是乘法冪等單半環(huán);

2)?x,y,z∈R,有(x+y)(x+z)=x+yz;

3)?x,y∈R,則x+y=x當(dāng)且僅當(dāng)xy=y=yx;

證明 1)? 2)

設(shè)R是乘法冪等單半環(huán),則由定理2可得?x,y,z∈R,有

(x+y)(x+z)=x2+xz+yz+yx+yz=x+xz+yx+yz=x+yx+yz=x+yz因此命題2)成立.

2)?1)

?x∈R,由命題2)可得x2=(x+0)(x+0)=x+0·0=x,因此R是乘法冪等半環(huán).下證R是單半環(huán).

?x,y∈R,因?yàn)?x+0)(x+y)=x2+xy+0·x+0·y=x+xy

(1)

又由命題2)可得(x+0)(x+y)=x+0·y=x

(2)

所以由等式(1)(2)得xy+x=x,由定理2可得R是單半環(huán).因此R是乘法冪等單半環(huán).

1)?3)

因?yàn)镽是乘法冪等單半環(huán),?x,y∈R且x+y=x,則由命題2)可得

xy=(x+y)(y+0)=(y+x)(y+0)=y+x·0=y

同理yx=(y+0)(x+y)=(y+0)(y+x)=y+0·x=y,所以

xy=y=yx.

反之,如果xy=y=yx,又因?yàn)镽是乘法冪等單半環(huán),由定理2可得

x+y=x+xy=x

從而命題3)成立.

3)?1)

由命題3)可得?y∈R,有1·y=y,所以1+y=1.因此R是單半環(huán).又?x∈R,由命題3)我們有x+x=x,從而x2=x,所以R是乘法冪等半環(huán),即命題1)成立.

因此命題1),2),3)是等價的.證畢.

定理3 設(shè)R是單半環(huán).1≠x∈R,那么?y∈R,有xy≠1,yx≠1.

證明 用反證法

假設(shè)xy=1,則由定理2的命題2)可得x=xy+x=1+x=1.矛盾.

同理,由定理2的命題3)可得x=yx+x=1+x=1.矛盾.

所以xy≠1,yx≠1.證畢.

定理4 設(shè)R是單半環(huán).如果x,y,z∈R滿足xz=zx=0且z+y=1,那么

xy=x=yx且x+y=y.

證明 因?yàn)閦+y=1,所以x=x(z+y)=xz+xy=xy,同理可證x=yx.

因?yàn)镽是單半環(huán),由定理2可得y=xy+y,所以

x+y=x(z+y)+y=xz+xy+y=xy+y=y.證畢.

定理5 設(shè)R是半環(huán).?x,y∈R,m,n為非負(fù)整數(shù),則

(3)

(4)

證明 利用數(shù)學(xué)歸納法證明

1)當(dāng)n=0時,等式(3)顯然成立.

所以等式(3)成立.

2)當(dāng)n=0時,等式(4)顯然成立.

因此當(dāng)n=k+1時,等式(4)也成立,命題得證.證畢.

定理6 設(shè)R是單半環(huán).?x,y∈R,m,n為非負(fù)整數(shù),則存在e,g∈R,使得xn=x[n]y[m]+e,yn=x[n]y[m]+g.

證明 首先我們要證明?s,t為正整數(shù),存在c∈R使得xn=ysxnyt+e

(5)

當(dāng)s=t=0時,等式(5)顯然成立.

因?yàn)镽為單半環(huán),由定理2可得xn=yxn+xn,xn=xny+xn,所以當(dāng)s=1,t=0或s=0,t=1時,等式(2.5)成立.

下證t=0,s≠0的情況.

由定理2,不妨設(shè)存在e′∈R,使得xn=ysxn+e′,因?yàn)?/p>

xn=yxn+xn=y(ysxn+e′)+xn=ys+1xn+(ye′+xn)=ys+1xn+e″

這里e″=ye′+xn.所以當(dāng)t=0,s≠0時,等式(5)成立.

同理可證s=0,t≠0時,等式(5)也成立.

下證s≠0,t≠0的情形.

不妨設(shè)xn=ysxn+f,xn=xnyt+f′,這里f,f′∈R.則

xn=ysxn+f=ys(xnyt+f)+f′=ysxnyt+ysf+f′=ysxnyt+f″

這里f″=ysf+f′∈R.等式等式(5)成立.

因?yàn)閤[n+1]y[m+1]=(x[n]y[m+1])x+(x[n+1]y[m])y

(6)

且x[0]y[m]=ym,x[n]y[0]=xn,這里m,n為非負(fù)整數(shù).所以經(jīng)過有限次的應(yīng)用等式(6),則x[n]y[m]可展開為形如ym(1)xn(1)ym(2)xn(2)…xn(r)ym(r+1)的有限項(xiàng)的和.這里m(1)+m(2)+…m(r)+m(r+1)=m,n(1)+n(2)+…+n(r)=n.

設(shè)z為x[n]y[m]展開式中的任一項(xiàng).不妨設(shè)z=ym(1)xn(1)ym(2)xn(2)…xn(r)ym(r+1),xn(1)=ym(1)xn(1)ym(2)+e1,則

ym(1)xn(1)ym(2)xn(2)…xn(r)ym(r+1)+e1xn(2)…xn(r)ym(r+1)=

(ym(1)xn(1)ym(2)+e1)xn(2)…xn(r)ym(r+1)=

xn(1)xn(2)…xn(r)ym(r+1)=

xn(1)+n(2)ym(3)xn(3)ym(4)…xn(r)ym(r+1).

設(shè)xn(3)=ym(3)xn(3)ym(4)+e2,則

ym(3)xn(3)ym(4)…xn(r)ym(r+1)+e2xn(4)…xn(r)ym(r+1)=

(ym(3)xn(3)ym(4)+e2)xn(4)ym(5)…xn(r)ym(r+1)=

xn(3)xn(4)ym(5)…xn(r)ym(r+1)=

xn(3)+n(4)ym(5)…xn(r)ym(r+1)

以此類推,經(jīng)過有限次的類似運(yùn)算,總可以找到ez∈R,使得z+ez=xn(1)+n(2)+…+n(r)=xn.又因?yàn)閱伟氕h(huán)是加法冪等半環(huán),所以x[n]y[m]+∑ez=xn+xn+…+xn=xn.即存在e∈R,使得xn=x[n]y[m]+e.

同理可證存在g∈R,使得yn=x[n]y[m]+g.證畢.

定理7 設(shè)R是單半環(huán).?x∈R,設(shè)

是R的子半環(huán).

證明 因?yàn)镽為加法冪等半環(huán),所以1+1=1,即1∈L.

?x,y∈L,且x≠0,y≠0,則(x+y)+1=x+y+1=x+y,所以x+y∈L.

又因?yàn)閤y+1=x(y+1)=xy+x+1=xy+x=x(y+1)=xy,所以xy∈L,即L為R的單子半環(huán). 證畢.

[1] EI Bashir R,HURT J,JANCARIK A,et al.Simple commutative semirings[J].J.Algebra,2001,236:277-306

[2] EI Bashir R,KEPKA T.Congruence-simple semirings[J].Semigroup Forum,2007，75:588-608

[3] 劉國瑞,李勇華.一類加法完全單半環(huán)上的同余和同余格[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(4):49-52

[4] 陳陪慈.半環(huán)理論與語言和自動機(jī)[M].南昌:江西高校出版社,1993

Some Properties of Simple Semirings

HUANG Huiling

(Basic Department, Fujian Chuanzheng Communications College, Fuzhou 350007, China)

The simple semirings were approached.Some equivalent properities of simple semirings were given, and depicts some subsemrings of simple semirings and additively idempotent semirings.

semiring;simple semiring;additively idempotent semirings

2015-07-24

黃惠玲(1976-),女,福建平和人,碩士，福建船政交通職業(yè)學(xué)院講師，主要從事代數(shù)與矩陣論研究.

1672-2027(2015)03-0015-05

O153

A