Schr?dinger方程在Neumann邊界控制下的正則性與能觀測性

白忠玉

(?？诮?jīng)濟學院 網(wǎng)絡學院, 海南 ?？?571127)

Schr?dinger方程是經(jīng)典發(fā)展方程,廣泛出現(xiàn)在量子力學、等離子體物理和非線性光學等許多科學領域.關于其解的存在性和唯一性已被深入研究[1-4].雖然Schr?dinger方程控制問題已有許多研究結果[5-8],但對一個具體給定的有實際背景的Schr?dinger方程控制系統(tǒng),判斷其適定正則性和能控性并不容易.

Wen等[9]證明了帶有Dirichlet邊界控制的Schr?dinger方程的適定性,而沒有給出正則性的證明.本文的目的是研究Neumann邊界控制和同位觀測的Schr?dinger方程(1)的正則性與能觀測性.利用適定性結果,證明系統(tǒng)(1)是正則的；將文獻[9]中研究Dirichlet邊界能控性的方法推廣到Neumann邊界上,得出系統(tǒng)(1)的能觀測性.

考慮如下Schr?dinger方程：

(1)

1 主要結果

下述定理表明系統(tǒng)(1)在狀態(tài)空間H中,在輸入和輸出空間U=Y中是適定的[10],其證明與文獻[9]中定理1類似,本文不再贅述.

定理1任給定常數(shù)T>0,存在僅依賴于T的常數(shù)CT>0,使得對任意初值w(·,0)=w0∈H,以及任意的輸入u∈L2(0,T;U),系統(tǒng)(1)存在唯一的解w∈C(0,T;H),且

(2)

本文的第一個結果是正則性.

定理2系統(tǒng)(1)是正則的,并且其直接傳輸算子為零.確切地說,如果w(·,0)=wt(·,0)=0,且u(·,t)=u(·)∈U是一個階躍輸入,則相應的輸出y滿足:

(3)

本文的第二個結果是能觀測性.

由定理1,下述系統(tǒng)(16)中的算子B是允許的,系統(tǒng)(1)的精確能控性等價于其對偶系統(tǒng)的精確能觀測性[11].因此,考慮系統(tǒng)(1)的對偶系統(tǒng)：

(4)

定理3對任意T>0,系統(tǒng)(4)的解滿足：

(5)

2 準備工作

先將系統(tǒng)(1)化為在狀態(tài)空間H和輸入輸出空間U=Y中的一階抽象系統(tǒng).

令A是由如下的雙線性形式a(·,·)在H中所確定的正定自共軛算子：

(6)

定義Dirichlet映射Υ∈L(L2(Γ0),H3/2(Ω)):Υu=v,其中v滿足:

(7)

利用Dirichlet映射Υ,系統(tǒng)(1)可改寫為

(8)

注意到D(A1/2)=L2(Ω)[15],A1/2是從L2(Ω)到H的等距同構[16].由于D(A)在H中稠密,從而D(A1/2)也在H中稠密.將空間H與其對偶H′等同,則下面的Gelfand三元對滿足嵌入關系:

(9)

(10)

所以式(8)可以進一步在[D(A1/2)]′中改寫為

(11)

其中B∈L(U,[D(A1/2)]′),由式(12)給定

(12)

定義B的共軛算子B*∈L(D(A1/2),U),即

〈B*f,u〉U=〈f,Bu〉D(A1/2),[D(A1/2)]′

?f∈D(A1/2),u∈U

(13)

(14)

(15)

于是開環(huán)系統(tǒng)(1)可化為狀態(tài)空間H中的一階抽象系統(tǒng)：

(16)

3 正則性

先證如下命題.

(17)

的解uε滿足：

(18)

證明根據(jù)文獻[14],系統(tǒng)(1)的傳遞函數(shù)為

(19)

只需證明在U的強拓撲下,H(λ)沿著正實軸趨向于零[17],即對于任意的u∈L2(Γ0)=U,有

(20)

此外,由文獻[14],定理1宣稱的適定性暗含著存在正常數(shù)M,α>0,使得

(21)

則wλ滿足：

(24)

的唯一解.則方程(22)可化為

(25)

或

因此式(23)就成為

(26)

令uε(x)=wλ(x),即ε=λ-1,并取極限ε→0,則由式(26)知命題成立.證畢.

定理2的證明由命題1,只需證明式(18).

(27)

比較式(27)的實部,得

(28)

對式(27)的虛部采用同樣的處理方法,得

(29)

(30)

簡單計算,有

(31)

其中Δh=(Δh1,Δh2,…,Δhn).

將式(31)代入式(30),得

(32)

又由橢圓正則性結果和Sobolev空間的跡定理[14],有下列不等式

(33)

這樣,由式(32,33),得

(34)

其中Ci>0,i=1,2,3,4是不依賴于ε的常數(shù).

最后,由文獻[12],存在與ε無關的常數(shù)C5>0,方程(17)的解滿足：

(35)

式(34)結合式(35),得

(C1+C2+C3)×

(36)

4 能觀測性

考慮

(37)

(38)

其中H(·)是Hessian矩陣.

(39)

考慮邊界條件,得

此外,

(42)

結合式(40～42),得

(43)

由式(39,43),得

(44)

對式(45～47)關于x分部積分,得

i,j=1,2,…,n

于是,?x∈Γ,得

因此,

(48)

將式(45～48)代入式(44),結合式(37),得式(38).證畢.

定理3的證明取式(38)實部,令φ=0,得

對?t∈[0,T],由Schr?dinger方程的經(jīng)典結果[19],系統(tǒng)(4)的解滿足：

(49)

選取h(x,t)=x-x0,由式(38,49),得

進一步,?ε>0,使得

因此,

(50)

為推出式(5),還要證明下列估計:

由Poincaré不等式直接可得式(51),下面證式(52).

假設式(52)不成立,則?C>0,?[0,T]上系統(tǒng)(4)的解序列{φn},滿足：

(53)

(54)

另一方面,式(53)暗含Δφ=0,(x,t)∈?！?0,T),結合系統(tǒng)(4)并由Holmgren唯一性定理[21]表明φ≡0.這與式(54)矛盾,從而式(52)成立.

由式(50～52),即得式(5).證畢.