培養(yǎng)學(xué)生化歸思想的教學(xué)案例設(shè)計(jì)

曹辰

[摘 要] 數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確指出，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括. 在教學(xué)中，如果能從數(shù)學(xué)思想的高度去規(guī)劃、設(shè)計(jì)教學(xué)過程，會(huì)明顯提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識. 本文通過在教學(xué)中對問題進(jìn)行梯次設(shè)置，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題的方式，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，進(jìn)而提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 化歸思想；問題轉(zhuǎn)化；教學(xué)案例

研究背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括.”作為數(shù)學(xué)思想方法的典型代表，化歸思想方法已成為一種普遍運(yùn)用的思想方法，不僅在數(shù)學(xué)家的研究工作中，在中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)實(shí)踐中也得到了廣泛的重視和運(yùn)用. 新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育課程改革把思想方法的重要性提到了前所未有的高度. 張奠宙教授認(rèn)為“所謂化歸方法，就是將一個(gè)問題A進(jìn)行變形，使其歸結(jié)為另一已解決的問題B，既然B已解決，那么A也就解決了”，其轉(zhuǎn)化過程如圖1所示.

在中學(xué)學(xué)習(xí)階段培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，對于學(xué)生更深、更透徹地理解數(shù)學(xué)，有著不可替代的作用. 如果能夠在日常教學(xué)中設(shè)計(jì)一些專題訓(xùn)練，通過梯度設(shè)置問題，就能更好地整合內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題之間的聯(lián)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力.

研究設(shè)計(jì)

為了更好地向?qū)W生展示化歸思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，本研究將旋轉(zhuǎn)問題與尺規(guī)作圖進(jìn)行結(jié)合，設(shè)計(jì)了3道系列問題（如表1）. 問題1的設(shè)計(jì)意圖是在一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)情景中，讓學(xué)生回憶用尺規(guī)畫等邊三角形的方法，做化歸之前的準(zhǔn)備工作；問題2的設(shè)計(jì)意圖是要求學(xué)生具備一定的推理能力，希望學(xué)生經(jīng)過對已知條件進(jìn)行推理和分析后，將問題2轉(zhuǎn)化成問題1的情景；問題3的設(shè)計(jì)意圖是，希望學(xué)生解決前兩問后，經(jīng)過推理和分析，將此問題轉(zhuǎn)化成前兩問的問題情景，最終達(dá)到此問題的解決.

筆者的教學(xué)目的在于通過尺規(guī)作圖培養(yǎng)學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中的化歸思想. 每道題均包含等邊三角形的尺規(guī)作圖，但通過對等邊三角形頂點(diǎn)位置的限制，每道題的難度逐步上升. 希望學(xué)生在思考問題的過程中，發(fā)現(xiàn)新問題與原有情景之間的聯(lián)系，并將新問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

研究過程？搖

在課堂中，筆者首先提出問題1. 在選取點(diǎn)B后，所有學(xué)生均回憶起了等邊三角形的尺規(guī)作圖，非常順利地完成了作圖，如圖5.

完成問題1后，所有學(xué)生均回憶起了等邊三角形尺規(guī)作圖的畫法，達(dá)到了問題1的設(shè)置意圖. 說明全班學(xué)生對于課標(biāo)中要求的尺規(guī)作圖知識有了很好的掌握. 在此基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步考查學(xué)生的化歸思想，筆者提出了問題2.

筆者給了全班學(xué)生5分鐘的嘗試時(shí)間，60%的學(xué)生順利地完成了作圖. 在課后訪談中，筆者選取了3位成功解決問題的學(xué)生與2位未能解決問題的學(xué)生，聽取了他們的思考過程. 5位學(xué)生均表示，他們發(fā)現(xiàn)該問題無法像問題1一樣直接確定點(diǎn)B的位置，進(jìn)而作出等邊三角形. 但成功解決該問題的3位學(xué)生又表示，既然點(diǎn)B會(huì)出現(xiàn)在直線i上，只要等邊三角形ABC存在，∠BAC=60°是始終不變的，因此只需要確?！螧AC=60°，即可在直線m上確定點(diǎn)C，再與點(diǎn)A結(jié)合，利用第一問的方法作出等邊三角形，即可確定點(diǎn)B的位置.

在所有成功解決問題的學(xué)生中，均出現(xiàn)了類似圖6的作圖痕跡. 這說明學(xué)生已經(jīng)把問題2中相對復(fù)雜的問題情景，轉(zhuǎn)化成問題1中已經(jīng)解決過的熟悉問題，進(jìn)而完成了問題2. 在完成了∠BAC=60°的作圖后，點(diǎn)C既在射線AC上，又在直線m上，所以點(diǎn)C為這兩條線的交點(diǎn). 確定了點(diǎn)C的位置之后，可以完成等邊三角形ABC的作圖，如圖7（問題2完全解決）.

這道題較高的完成度，說明大部分學(xué)生對于等邊三角形邊、角性質(zhì)已經(jīng)具備較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力，其化歸流程符合張奠宙教授的表述，如圖8.

在問題3中，題目對等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置作出更加苛刻的限制，全班學(xué)生嘗試的思路各異，均不太理想，沒有人成功解決. 學(xué)生的典型嘗試作答結(jié)果如表2.

既然沒有學(xué)生成功解決問題3，說明該問題的設(shè)置已經(jīng)超出了學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，導(dǎo)致學(xué)生無法將問題3直接轉(zhuǎn)化成前面已經(jīng)解決的問題. 為此，筆者將問題1、問題2組合在了一起，提出了問題2.5，希望通過條件與結(jié)論的提示，讓學(xué)生在解決該問后，可以成功解決問題3（如表3）.

同時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)B是直線m上任意一點(diǎn)，隨著點(diǎn)B在直線m上運(yùn)動(dòng)，其對應(yīng)點(diǎn)C會(huì)始終處于直線BC上，說明頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡即為直線BC. 因此，完成等邊三角形ACB的作圖，即問題2的作圖后，就可以直接確定頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡. 此時(shí)，全班共有50%的學(xué)生完成了三點(diǎn)共線的證明，意識到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線，完成了從問題2.5到問題2的轉(zhuǎn)化.

最后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生重新審視之前未解決的問題3.

根據(jù)問題2.5的探究結(jié)論，根據(jù)點(diǎn)A與直線m的位置，可以直接作出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，即圖13中新出現(xiàn)的直線. 再結(jié)合原題，會(huì)發(fā)現(xiàn)問題3中的點(diǎn)C既會(huì)出現(xiàn)在直線n上，又會(huì)出現(xiàn)在軌跡直線BC上，因此，符合題意的等邊三角形頂點(diǎn)C會(huì)出現(xiàn)在軌跡直線BC與直線n的交點(diǎn)處.

確定了點(diǎn)C的位置后，線段AC即為等邊三角形的邊長，最終得到符合題目要求的等邊三角形ABC . 在問題2.5闡述清楚并進(jìn)行嚴(yán)格證明后，全班有80%的同學(xué)將問題3進(jìn)行了成功轉(zhuǎn)化，完成了之前無法解決的問題.

在問題3的教學(xué)過程中，轉(zhuǎn)化流程比從問題2到問題1的轉(zhuǎn)化流程要復(fù)雜一些，如圖14. 其中，問題2.5的設(shè)置對于問題3的解決具有決定性作用.

研究反思

1. 教學(xué)過程

結(jié)合課堂教學(xué)效果過程，筆者意識到需要嚴(yán)格基于學(xué)生的能力對問題進(jìn)行梯度設(shè)置. 在最初設(shè)計(jì)中，問題2與問題3之間的跨度太大，導(dǎo)致沒有任何一個(gè)學(xué)生在問題3中可以產(chǎn)生有價(jià)值的結(jié)論. 隨著問題2.5的添加，學(xué)生對問題3的接受程度會(huì)有明顯的提高. 在幾何的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常需要利用化歸思想，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 在問題2中，在無法確定邊長的情況下，轉(zhuǎn)而去研究角度性質(zhì)；在問題3中，既然無法在直線n上確定點(diǎn)C的位置，轉(zhuǎn)而去研究等邊三角形頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，這種將復(fù)雜問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的思路在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常使用.

2. 教學(xué)理念

通過本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者發(fā)現(xiàn)如果通過對練習(xí)進(jìn)行梯次設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生將新的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，將會(huì)明顯提高學(xué)生對于不熟悉問題的接受、理解程度. 學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本知識時(shí)，首先要在教師的啟發(fā)下先對化歸思想產(chǎn)生感性認(rèn)識，進(jìn)而在反復(fù)理解、使用的基礎(chǔ)上達(dá)到理性認(rèn)識. 重視和加強(qiáng)化歸思想的教育過程中，教師的作用至關(guān)重要. 中學(xué)數(shù)學(xué)教師不僅要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，還應(yīng)有較好的化歸思想方法素養(yǎng)，才可以將數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)地聯(lián)系起來，帶領(lǐng)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué). 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，只有始終從數(shù)學(xué)思想方法的高度去理解數(shù)學(xué)，才能更好地解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力.