例談高考對零點問題的考查

☉河南省開封高中 孔欣怡

例談高考對零點問題的考查

☉河南省開封高中 孔欣怡

函數(shù)和方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識點，近幾年高考中頻頻出現(xiàn)零點問題，其形式逐漸多樣化，它主要涉及到基本初等函數(shù)的圖像，滲透著轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.本文就函數(shù)零點在高中數(shù)學(xué)中的常見題型及求解方法進行剖析，希望對大家有所幫助.

一、函數(shù)零點“存在性”問題的考查

函數(shù)的零點問題是近年來各級考試中的熱點題型之一，無論小題、大題均有所涉及，主要題型包括：原函數(shù)的零點存在形式轉(zhuǎn)化、零點個數(shù)判斷、零點存在性證明及導(dǎo)函數(shù)零點存在唯一性虛設(shè)等，下面結(jié)合具體實例進行解析.

1.函數(shù)零點存在的形式轉(zhuǎn)化

在函數(shù)與方程之間存在三種等價轉(zhuǎn)化關(guān)系：函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點?方程f（x）-g（x）=0的根?函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點的橫坐標(biāo)，合理運用這些等價關(guān)系，可以將零點問題轉(zhuǎn)化為方程的根或兩個函數(shù)圖像的交點問題.

（1）若函數(shù)f（x）無零點，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）在（-2，2）有且僅有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

（2）函數(shù)f（x）在（-2，2）有且僅有一個零點?設(shè)g（x）=-x2+x+m-2有一個零點，結(jié)合二次函數(shù)圖像可知，或有一個根為2（或-2），令一個根在（-2，2）之間，解得

2.函數(shù)零點存在的個數(shù)判斷

此類問題常見的有：函數(shù)無零點，存在唯一零點，存在兩個零點，存在三個零點等，解這類問題的方法：（1）依據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值是否大于零，來判斷零點的個數(shù)；（2）轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題.

例2已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍為（）.

A.（2，+∞）B.（-∞，-2）

C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

解法一：當(dāng)a=0時，f（x）=-3x2+1=0有兩個零點，不合題意；f′（x）=3ax2-6x=0，得x=0或x=，當(dāng)a＞0時，f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增單調(diào)遞增，這時要使函數(shù)f（x）存在唯一零點x0，必有x0＜0，不合題意；當(dāng)a＜0時，f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減，要使唯一x0＞0必有解得a＜-2.

解法二：f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零點，（顯然x=0不是零點）即ax3-3x2+1=0，令=g（x），g′（x）==0，x=±1，所以g（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，又g（-1）= -2，g（1）=2，要使直線y=a與y=g（x）有橫坐標(biāo)大于零的交點，必有a＜-2.

3.函數(shù)零點的存在的確定性證明

函數(shù)y=f（x）是定義在［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，滿足f（a）· f（b）＜0，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.如果函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)，那么在此區(qū)間有唯一零點.根據(jù)此定理要證明函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，只需證明f（a）與f（b）的符號相反即可.

例3設(shè)函數(shù)fn（x）=x∈R*，n∈ N*）.

證明：（1）對每個n∈N*，存在唯一的xn，滿足fn（xn）=0；

（2）對任意p∈N*，由（1）中xn構(gòu)成的數(shù)列｛xn｝滿足0＜

證明：（1）f′n（x）=1+＞0，所以fn（x）在上單調(diào)遞增，又fn（1）＞0=0，所以fn（x）在上有且僅有唯一一個零點xn使得f（nx）n=0.

（2）略.

二、判斷函數(shù)零點個數(shù)

函數(shù)的零點滲透了函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法.從近幾年的高考來看，有關(guān)函數(shù)零點個數(shù)問題的高考試題層出不窮，對解決此類問題的能力考查力度也逐步加大，以下結(jié)合實例探討判斷函數(shù)零點個數(shù)的策略.

1.利用解方程判斷函數(shù)零點個數(shù)

函數(shù)y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的根，因此可用解方程f（x）=0來確定函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)，但要注意函數(shù)定義域.

解析：當(dāng)x≤0時，令x2+2x-3=0解得x=-3；當(dāng)x＞0時，令-2+lnx=0解得x=e2.故函數(shù)有兩個零點.

2.利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點個數(shù)

直接利用函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)或者將函數(shù)變形，將函數(shù)零點變成兩個函數(shù)圖像的交點問題.函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點，即方程f（x）=g（x）的根，也就是函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點的橫坐標(biāo).當(dāng)函數(shù)y=F（x）的圖像不易畫時，可將F（x）分解成兩個相對簡單的函數(shù)，即F（x）=f（x）-g（x），利用f（x）與g（x）圖像交點的個數(shù)來判斷F（x）的零點個數(shù).

例5設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈［0，π］時，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈（0，π）且x≠（x）＞0，則函數(shù)y= f（x）-sinx在［-2π，2π］上的零點個數(shù)為______.

圖1

3.分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)

對于解決含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù)問題時，從正面合理地對參數(shù)的取值進行分類討論是常用的策略，但有時學(xué)生會因為找不到分類的標(biāo)準(zhǔn)或討論不夠全面而失分.通過分離原函數(shù)對應(yīng)方程f（x）=0中的變量和參數(shù)a后變形成g（x）=h（a），將原函數(shù)的零點個數(shù)問題化歸為函數(shù)y=g（x）圖像和直線y=h（a）的交點個數(shù)問題，可避免復(fù)雜的討論.

例6設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求f（x）的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解析：（1）略.

（2）證明：因為g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以g′（x）=ex-a≥0，即a≤ex對x∈（-1，+∞）恒成立，而當(dāng)x∈（-1，+∞）時，所以a≤.由f（x）=0得a=，所以函數(shù)f（x）的零點個數(shù)就是直線y=a與函數(shù)h（x）=圖像交點的個數(shù).

當(dāng)x∈（0，e）時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減.故h（x）的最大值為h（e）=又當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，h（x）＞0；當(dāng)x→0時，h（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時，h（x）→0.故可作出的簡圖如圖2.

圖2

4.利用零點存在定理和函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)零點個數(shù)

用零點存在定理可判斷函數(shù)零點是否存在，如果需要進一步判斷圖像連續(xù)不斷的函數(shù)的零點是否唯一，可以借助函數(shù)的單調(diào)性，需將判定的區(qū)間劃分為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間逐一判定.一般地，圖像連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)，且f（a）·f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有唯一零點.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明.

（2）函數(shù)在內(nèi)有且只有兩個零點.證明如下：

當(dāng)x∈（m，π）時，g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，從而f（x）在（m，π）上單調(diào)遞減，

又f（m）＞0，f（π）＜0，且f（x）在［m，π］上的圖象是連續(xù)不斷的，故在（m，π）上只有一個零點.

綜上，函數(shù)在內(nèi)有且只有兩個零點.

三、由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍

已知函數(shù)零點求參數(shù)的范圍是?？嫉囊活愵}型，下面舉例說明.

例8f（x）=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三個零點，求a的取值范圍.

解：由題意知，f′（x）=3x2-12x+9=3（x2-4x+3）=3（x-3）·（x-1）.

f′（x）＞0，即x＞3或x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜3.

故f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，f（x）極大值=f（1）=4+a，f（x）極小值=f（3）=a.

要使f（x）=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三個零點，則f（x）極大值=f（1）=4+a＞0，f（x）極小值=f（3）=a＜0.

故-4＜a＜0.

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和畫出函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合可以有效解決與零點相關(guān)的問題.

四、求零點存在的大致區(qū)間

例9已知函數(shù)f（x）=logax+x-b（a＞0且a≠1），當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)f（x）的零點x0∈（n，n+1），則n=______.

解：方程logax+x-b=0（a＞0且a≠0）的根為x0，即函數(shù)y=logax（2＜a＜3）與函數(shù)y=-x+b（3＜b＜4）圖像交點的橫坐標(biāo)為x0，且x0∈（n，n+1），n∈R結(jié)合圖像，交點只能落在圖3中的陰影部分（不含邊界），故n=2.

圖3

很明顯，因為含有參數(shù)，本例不可能通過解方程來求解決，只能通過圖像來求解.

函數(shù)的零點問題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸三種數(shù)學(xué)思想，因此筆者覺得函數(shù)的零點問題在教學(xué)中是非常有必要深究的.近幾年考查較多，其載體也是越來越多樣，只要我們經(jīng)?？偨Y(jié)，反思總會有收獲.