☉河南省開封高中 孔欣怡
例談高考對零點問題的考查
☉河南省開封高中 孔欣怡
函數(shù)和方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識點,近幾年高考中頻頻出現(xiàn)零點問題,其形式逐漸多樣化,它主要涉及到基本初等函數(shù)的圖像,滲透著轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法,在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.本文就函數(shù)零點在高中數(shù)學(xué)中的常見題型及求解方法進行剖析,希望對大家有所幫助.
函數(shù)的零點問題是近年來各級考試中的熱點題型之一,無論小題、大題均有所涉及,主要題型包括:原函數(shù)的零點存在形式轉(zhuǎn)化、零點個數(shù)判斷、零點存在性證明及導(dǎo)函數(shù)零點存在唯一性虛設(shè)等,下面結(jié)合具體實例進行解析.
1.函數(shù)零點存在的形式轉(zhuǎn)化
在函數(shù)與方程之間存在三種等價轉(zhuǎn)化關(guān)系:函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點?方程f(x)-g(x)=0的根?函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=g(x)的圖像交點的橫坐標(biāo),合理運用這些等價關(guān)系,可以將零點問題轉(zhuǎn)化為方程的根或兩個函數(shù)圖像的交點問題.
(1)若函數(shù)f(x)無零點,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在(-2,2)有且僅有一個零點,求實數(shù)m的取值范圍.
(2)函數(shù)f(x)在(-2,2)有且僅有一個零點?設(shè)g(x)=-x2+x+m-2有一個零點,結(jié)合二次函數(shù)圖像可知,或有一個根為2(或-2),令一個根在(-2,2)之間,解得
2.函數(shù)零點存在的個數(shù)判斷
此類問題常見的有:函數(shù)無零點,存在唯一零點,存在兩個零點,存在三個零點等,解這類問題的方法:(1)依據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值是否大于零,來判斷零點的個數(shù);(2)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題.
例2已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍為().
A.(2,+∞)B.(-∞,-2)
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)
解法一:當(dāng)a=0時,f(x)=-3x2+1=0有兩個零點,不合題意;f′(x)=3ax2-6x=0,得x=0或x=,當(dāng)a>0時,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增單調(diào)遞增,這時要使函數(shù)f(x)存在唯一零點x0,必有x0<0,不合題意;當(dāng)a<0時,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減,要使唯一x0>0必有解得a<-2.
解法二:f(x)=ax3-3x2+1存在唯一的零點,(顯然x=0不是零點)即ax3-3x2+1=0,令=g(x),g′(x)==0,x=±1,所以g(x)在(-∞,-1)單調(diào)遞減,在(-1,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,又g(-1)= -2,g(1)=2,要使直線y=a與y=g(x)有橫坐標(biāo)大于零的交點,必有a<-2.
3.函數(shù)零點的存在的確定性證明
函數(shù)y=f(x)是定義在[a,b]上的連續(xù)函數(shù),滿足f(a)· f(b)<0,則函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.如果函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù),那么在此區(qū)間有唯一零點.根據(jù)此定理要證明函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,只需證明f(a)與f(b)的符號相反即可.
例3設(shè)函數(shù)fn(x)=x∈R*,n∈ N*).
證明:(1)對每個n∈N*,存在唯一的xn,滿足fn(xn)=0;
(2)對任意p∈N*,由(1)中xn構(gòu)成的數(shù)列{xn}滿足0<
證明:(1)f′n(x)=1+>0,所以fn(x)在上單調(diào)遞增,又fn(1)>0=0,所以fn(x)在上有且僅有唯一一個零點xn使得f(nx)n=0.
(2)略.
函數(shù)的零點滲透了函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法.從近幾年的高考來看,有關(guān)函數(shù)零點個數(shù)問題的高考試題層出不窮,對解決此類問題的能力考查力度也逐步加大,以下結(jié)合實例探討判斷函數(shù)零點個數(shù)的策略.
1.利用解方程判斷函數(shù)零點個數(shù)
函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根,因此可用解方程f(x)=0來確定函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù),但要注意函數(shù)定義域.
解析:當(dāng)x≤0時,令x2+2x-3=0解得x=-3;當(dāng)x>0時,令-2+lnx=0解得x=e2.故函數(shù)有兩個零點.
2.利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點個數(shù)
直接利用函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)或者將函數(shù)變形,將函數(shù)零點變成兩個函數(shù)圖像的交點問題.函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點,即方程f(x)=g(x)的根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=g(x)的圖像交點的橫坐標(biāo).當(dāng)函數(shù)y=F(x)的圖像不易畫時,可將F(x)分解成兩個相對簡單的函數(shù),即F(x)=f(x)-g(x),利用f(x)與g(x)圖像交點的個數(shù)來判斷F(x)的零點個數(shù).
例5設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當(dāng)x∈(0,π)且x≠(x)>0,則函數(shù)y= f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零點個數(shù)為______.
圖1
3.分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)
對于解決含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù)問題時,從正面合理地對參數(shù)的取值進行分類討論是常用的策略,但有時學(xué)生會因為找不到分類的標(biāo)準(zhǔn)或討論不夠全面而失分.通過分離原函數(shù)對應(yīng)方程f(x)=0中的變量和參數(shù)a后變形成g(x)=h(a),將原函數(shù)的零點個數(shù)問題化歸為函數(shù)y=g(x)圖像和直線y=h(a)的交點個數(shù)問題,可避免復(fù)雜的討論.
例6設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實數(shù).
(1)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù),且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍;
(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),試求f(x)的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.
解析:(1)略.
(2)證明:因為g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),所以g′(x)=ex-a≥0,即a≤ex對x∈(-1,+∞)恒成立,而當(dāng)x∈(-1,+∞)時,所以a≤.由f(x)=0得a=,所以函數(shù)f(x)的零點個數(shù)就是直線y=a與函數(shù)h(x)=圖像交點的個數(shù).
當(dāng)x∈(0,e)時,h′(x)>0,h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時,h′(x)<0,h(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減.故h(x)的最大值為h(e)=又當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)>0;當(dāng)x→0時,h(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時,h(x)→0.故可作出的簡圖如圖2.
圖2
4.利用零點存在定理和函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)零點個數(shù)
用零點存在定理可判斷函數(shù)零點是否存在,如果需要進一步判斷圖像連續(xù)不斷的函數(shù)的零點是否唯一,可以借助函數(shù)的單調(diào)性,需將判定的區(qū)間劃分為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間逐一判定.一般地,圖像連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一零點.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點個數(shù),并加以證明.
(2)函數(shù)在內(nèi)有且只有兩個零點.證明如下:
當(dāng)x∈(m,π)時,g(x)<g(m)=0,即f′(x)<0,從而f(x)在(m,π)上單調(diào)遞減,
又f(m)>0,f(π)<0,且f(x)在[m,π]上的圖象是連續(xù)不斷的,故在(m,π)上只有一個零點.
綜上,函數(shù)在內(nèi)有且只有兩個零點.
已知函數(shù)零點求參數(shù)的范圍是??嫉囊活愵}型,下面舉例說明.
例8f(x)=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三個零點,求a的取值范圍.
解:由題意知,f′(x)=3x2-12x+9=3(x2-4x+3)=3(x-3)·(x-1).
f′(x)>0,即x>3或x<1;令f′(x)<0,得1<x<3.
故f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,f(x)極大值=f(1)=4+a,f(x)極小值=f(3)=a.
要使f(x)=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三個零點,則f(x)極大值=f(1)=4+a>0,f(x)極小值=f(3)=a<0.
故-4<a<0.
利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和畫出函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合可以有效解決與零點相關(guān)的問題.
例9已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0且a≠1),當(dāng)2<a<3<b<4時,函數(shù)f(x)的零點x0∈(n,n+1),則n=______.
解:方程logax+x-b=0(a>0且a≠0)的根為x0,即函數(shù)y=logax(2<a<3)與函數(shù)y=-x+b(3<b<4)圖像交點的橫坐標(biāo)為x0,且x0∈(n,n+1),n∈R結(jié)合圖像,交點只能落在圖3中的陰影部分(不含邊界),故n=2.
圖3
很明顯,因為含有參數(shù),本例不可能通過解方程來求解決,只能通過圖像來求解.
函數(shù)的零點問題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸三種數(shù)學(xué)思想,因此筆者覺得函數(shù)的零點問題在教學(xué)中是非常有必要深究的.近幾年考查較多,其載體也是越來越多樣,只要我們經(jīng)??偨Y(jié),反思總會有收獲.