高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用探討

尚軍

【摘 要】本文在分析數(shù)形結(jié)合概念和運(yùn)用意義的基礎(chǔ)上，探究高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的有效策略，提出了利用數(shù)形結(jié)合促進(jìn)代數(shù)知識(shí)的形象化，更好地幫助學(xué)生掌握解析幾何，使函數(shù)中的數(shù)與形相得益彰、有機(jī)結(jié)合等三種應(yīng)用途徑。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 學(xué)生主體

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）11B-0156-02

高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合法就是根據(jù)題目所給的已知條件畫出所研究問題的有關(guān)圖形或曲線，然后借助有關(guān)圖形或曲線對(duì)所研究的數(shù)學(xué)問題作出直觀性的判斷，從而得出結(jié)論。高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想包含“以數(shù)輔形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為以下兩種情形：一是借助形的直觀性和生動(dòng)性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，例如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

一、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的其中兩個(gè)意義

數(shù)形結(jié)合已經(jīng)被廣泛地運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的發(fā)展具有重要的意義。

（一）數(shù)形結(jié)合法能提高高中生邏輯思維能力

根據(jù)皮亞杰的思維發(fā)展理論，高中生的思維處于抽象邏輯思維發(fā)展階段，但是由于高中生的感性經(jīng)驗(yàn)還不夠，邏輯思維能力還不成熟，還不能夠完全運(yùn)用數(shù)量的邏輯性來分析和理解數(shù)學(xué)問題，有時(shí)用邏輯思維形式來分析問題時(shí)反而會(huì)使其出現(xiàn)思維混亂的現(xiàn)象，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和思維水平的提高。高中生的學(xué)習(xí)依賴于具體形象化事物的支撐，數(shù)形結(jié)合思想一方面是用圖象來表示文字信息，即利用數(shù)軸、函數(shù)圖象、幾何圖象等來表達(dá)函數(shù)關(guān)系，使抽象的函數(shù)模型形象化，是對(duì)抽象概念的直觀表達(dá)；另一方面是用數(shù)量關(guān)系來分析圖形內(nèi)部的數(shù)量關(guān)系，將圖形轉(zhuǎn)化成函數(shù)，是對(duì)圖形進(jìn)行抽象和概括。數(shù)形結(jié)合方法能更加有效地幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的吸收和內(nèi)化，提高學(xué)生的邏輯思維能力。

（二）數(shù)形結(jié)合法能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

高中數(shù)學(xué)的概念、公式、原理等知識(shí)是相對(duì)枯燥的，一些學(xué)生因此而對(duì)課堂教學(xué)失去興趣。尤其是很多在小學(xué)和初中沒有打下好基礎(chǔ)的學(xué)生，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系分析中出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難的現(xiàn)象。數(shù)形結(jié)合為抽象的函數(shù)關(guān)系附上了形象化的圖形，使教學(xué)內(nèi)容變得更加豐富和有趣。在數(shù)與形的轉(zhuǎn)換中，學(xué)生可以感知到數(shù)學(xué)的魅力，懂得數(shù)與形的統(tǒng)一性，掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而更有興趣地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。因此能更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生的思維處于主動(dòng)的狀態(tài)，提高課堂教學(xué)效率。

二、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的有效策略

（一）利用數(shù)形結(jié)合促進(jìn)代數(shù)知識(shí)的形象化

由于高中生的抽象思維水平還比較低，因而在代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中還需要借助圖形來獲得感性認(rèn)識(shí)，并在此基礎(chǔ)上逐漸進(jìn)行抽象思維，緊縮代數(shù)知識(shí)的思考時(shí)間。例如，在《集合》的學(xué)習(xí)過程中，交集、并集、補(bǔ)集如果只通過概念來進(jìn)行分析，那么很難形成清晰概念，在練習(xí)中會(huì)經(jīng)常混淆。在教學(xué)中教師通常采用案例加圖示的方法來進(jìn)行講解，如 A={3，5，6，8}，B={3，5，6}，A∩B={3，5，6}。通過兩個(gè)圓表示 A∩B，借助圖示引導(dǎo)學(xué)生分析概念，并數(shù)學(xué)化地表示 A∩B，即 A∩B∈A，且A∩B∈B。借助圖形，學(xué)生在記憶的過程中，其腦海里呈現(xiàn)出兩圓的關(guān)系，增加概念的識(shí)別度。在這個(gè)過程中，圖形使代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)更加形象化。學(xué)生在深化理解概念后，就會(huì)使其邏輯思維能力得到發(fā)展。

（二）利用數(shù)形結(jié)合更好地幫助學(xué)生掌握解析幾何

高中的解析幾何知識(shí)是高考必考的內(nèi)容之一，且在所有題型中所占比值相對(duì)較高。對(duì)于學(xué)生來說，這種題目的得分率相比其他題較低，但學(xué)生只要掌握了一定的解題技巧，即將題目的“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合起來，并在此基礎(chǔ)上，將題目所給的已知條件進(jìn)行合理應(yīng)用，那么就會(huì)迎刃而解。因此，準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題方法解決和處理高中解析幾何問題是有效的方法之一。下面就數(shù)形結(jié)合在解決解析幾何軌跡方程方面的應(yīng)用進(jìn)行舉例說明。

幾何軌跡屬于幾何類，方程屬于代數(shù)類，解析幾何軌跡方程本身就是一種數(shù)形結(jié)合，因此，解決解析幾何軌跡方程問題最好的方法就是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法?？v觀近幾年各地高考數(shù)學(xué)試題，每一年各有一道選擇題和一道解答題來考查有關(guān)解析幾何軌跡方程方面的知識(shí)，甚至有些地方的壓軸題要用數(shù)形結(jié)合法才能解決。因此，數(shù)形結(jié)合方法對(duì)解決解析幾何軌跡方程問題十分有效。

〖例1〗如下圖所示，點(diǎn) F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn) F1 作 x 軸的垂線交橢圓 C 的上半部分于點(diǎn) P，過點(diǎn) F2 作直線 PF2 的垂線交直線 于點(diǎn) Q。

（1）如果點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是（4，4），求此時(shí)橢圓 C 的方程；

（2）證明：直線 PQ 與橢圓 C 只有一個(gè)交點(diǎn)。

〖解析〗（1）由條件知，，故直線 PF2 的斜率為 ，因?yàn)镻F2⊥F2Q，所以直線 F2Q 的方程，故 。

由題設(shè)知，，2a=4，解得 a=2，c=1。故橢圓方程為。

（2）因?yàn)橹本€ PQ 的方程為，即，將上式代人橢圓方程得，解得 x=-c，，所以直線 PQ 與橢圓 C 只有一個(gè)交點(diǎn)。

（三）利用數(shù)形結(jié)合使函數(shù)中的數(shù)與形相得益彰、有機(jī)結(jié)合

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)少形時(shí)缺直觀”。很顯然這句話告訴大家只有數(shù)形結(jié)合，才能使得數(shù)形相得益彰、相輔相成、有機(jī)結(jié)合。數(shù)學(xué)函數(shù)具有抽象性、靈活性、應(yīng)用性等特征，函數(shù)圖象能形象、直觀地反應(yīng)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性等函數(shù)的基本屬性。因此，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)函數(shù)時(shí)，教師應(yīng)盡量讓學(xué)生抓住函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征與幾何圖象特征的一一對(duì)應(yīng)、緊密結(jié)合這一優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生利用函數(shù)定性或定量地描繪函數(shù)圖象，然后利用函數(shù)圖象的直觀性、形象性來分析函數(shù)的性質(zhì)，以更有利于學(xué)生深刻理解函數(shù)知識(shí)，掌握函數(shù)中的數(shù)與形的內(nèi)在關(guān)系。下面列舉一實(shí)例來說明數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用。

〖例2〗已知 f（x）=x2+2（1-a）x+2 在（-∞，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。

〖解析〗函數(shù)解析式中含有字母，因此函數(shù)在坐標(biāo)系內(nèi)的具體位置不能固定，需要畫圖分析，看何種情況才能滿足題干要求。

通過圖象分析可知：若要滿足函數(shù)在給定區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，只能是后兩種情況，也就是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸不能出現(xiàn)在所給區(qū)間內(nèi)，從而為解題找到突破口。

所給函數(shù)對(duì)稱軸方程：x=a-1，由圖象分析可知，需有，從而 。

該類問題常見于二次函數(shù)中，因其單調(diào)性與對(duì)稱軸的位置有關(guān)，故通常畫圖分析更能直觀地找出題目所隱含的意義，從而快速得出結(jié)論。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中的重要指導(dǎo)思想，對(duì)于簡(jiǎn)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展具有重要的作用。在教學(xué)中要充分利用數(shù)形轉(zhuǎn)化思想激發(fā)學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力。具體來說，利用數(shù)形結(jié)合促進(jìn)代數(shù)知識(shí)的形象化；利用數(shù)形結(jié)合促進(jìn)幾何知識(shí)的數(shù)學(xué)化；數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)數(shù)學(xué)的綜合學(xué)習(xí)，提高課堂教學(xué)效率。

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（責(zé)編 盧建龍）