合理分解適當(dāng)鋪墊各個擊破——用分解法破解壓軸題

☉江南大學(xué)附屬實驗中學(xué)龐彥福

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校李景芝

☉寧夏靈武市第五中學(xué)陳紅霞

合理分解適當(dāng)鋪墊各個擊破——用分解法破解壓軸題

☉江南大學(xué)附屬實驗中學(xué)龐彥福

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校李景芝

☉寧夏靈武市第五中學(xué)陳紅霞

一次聽初三復(fù)習(xí)課，教學(xué)內(nèi)容是如何解決綜合類問題.課堂上授課教師呈現(xiàn)了學(xué)校中考模擬試卷中的壓軸題.題目如下所示.

圖1

（1）求b、c的值.

（2）平行于y軸的直線x=2交直線AB于點D，交拋物線于點E.

①點P從原點O出發(fā)，沿x軸的正方向以1個單位/秒的速度運動，設(shè)運動時間為t，過點P作x軸的垂線與直線AB交于點F，與拋物線交于點G，當(dāng)t為何值時，F(xiàn)G∶DE=1∶2？

②將拋物線向上平移m（m＞0）個單位后與y軸相交于點B′，與直線x=2相交于點E′，當(dāng)E′O平分∠B′E′D時，求m的值.

作為初中數(shù)學(xué)綜合題目，本題具有一定代表性.但是，本節(jié)課針對該題體現(xiàn)出來的解題教學(xué)是不成功的.主要體現(xiàn)在：其一，除較為簡單的第（1）問學(xué)生能夠自主解決外，對第（2）問的兩個問題“求t”及“求m的值”學(xué)生基本上無法自主完成；其二，當(dāng)學(xué)生在第（2）問的第一個問題求滿足條件的“t的值”受阻時，執(zhí)教教師出現(xiàn)急躁情緒，往下的分析思路與解題過程基本上是老師替代了學(xué)生，已經(jīng)沒有了學(xué)生思維上的真正參與；其三，課后學(xué)生做當(dāng)天匹配作業(yè)時，除較為簡單的第（1）問外，第（2）問、第（3）問基本上沒有寫.

經(jīng)了解學(xué)生得知，題目第（2）問的第一個問題中不會求FG，教師講的也沒有聽明白，自己班又不是好班（在學(xué)生心目中，“好班”是指同一個年級中經(jīng)過篩選，成績好的學(xué)生所在班級），看到難的題目就不想寫了.筆者任課的班級也是年級中基礎(chǔ)相對薄弱的班級，針對成績不夠好的學(xué)生，該怎樣進行綜合類題目的教學(xué)呢？筆者在教學(xué)中采取的方法是將綜合題進行分解，并根據(jù)學(xué)生的實際情況作適當(dāng)?shù)匿亯|，以達(dá)到各個擊破的策略.

一、在思維跨越處作鋪墊

中考復(fù)習(xí)階段，快初中畢業(yè)的學(xué)生回答問題的積極性與主動性較以前有明顯的“弱化”，但是復(fù)習(xí)的對象是學(xué)生，復(fù)習(xí)的目的是促進學(xué)生的進一步理解，如果缺少了學(xué)生思維的參與，復(fù)習(xí)課的效果會大打折扣.基于此，筆者將上述問題分解后在自己的班級里嘗試，學(xué)生絕大多數(shù)能參與其中，效果是顯然的.

當(dāng)問題呈現(xiàn)出來之后，教師先讓學(xué)生思考怎樣解答，當(dāng)絕大多數(shù)學(xué)生表示沒問題時，教師讓一位平時表達(dá)還算清晰的學(xué)生A說出自己的解題思路.接著呈現(xiàn)問題2.

問題2：如圖3，平行于y軸的直線x=2交直線AB于點D，交拋物線于點E.求DE的長.

圖2

圖3

教師觀察到平時肯思考的學(xué)生在問題1的基礎(chǔ)上寫出拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+x+2，再根據(jù)直線y=-x+2和直線x=2很快得出了點D、E的縱坐標(biāo)yD=1，yE=5，于是有了DE=4.同時，教師還注意到幾個后知后覺者盡管寫出了拋物線和直線的解析式y(tǒng)=-x2+x+2和y=-x+2，但沒有求出DE長的結(jié)果.教師又讓一位表達(dá)較為清楚的學(xué)生B說出自己的解題思路.

學(xué)生B：就像求y軸上兩點的距離一樣，用上邊點的縱坐標(biāo)減下邊點的縱坐標(biāo)，因此要先根據(jù)D、E的橫坐標(biāo)都是2，分別代入拋物線y=-x2+x+2和直線y=-x+2中求出D、E的縱坐標(biāo)，然后相減即得出DE的長.

評注：基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生解決綜合類題目，除了知識儲備與提取運用方面的因素，還有心理方面的障礙，譬如：怕不會、怕做錯、不肯思考等.因此，教學(xué)中教師要研究學(xué)生，當(dāng)學(xué)生夠不到時該鋪墊的要善于鋪墊，當(dāng)學(xué)生往上走時需要臺階的要巧設(shè)臺階.對于問題1，之所以在絕大多數(shù)學(xué)生都會的情況下仍讓表達(dá)還算清晰的學(xué)生A說解題思路，目的是把應(yīng)知應(yīng)會的知識落實到位，使極個別會做但思路不夠清晰的學(xué)生能夠徹底明白.問題2對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說是思維的一個跨越，他們往往只能解決基本的、簡單的問題，也會求同一條坐標(biāo)軸上兩點的距離或利用勾股定理求不在同一條坐標(biāo)軸上的兩點的距離，但對于平行于坐標(biāo)軸的直線上的兩點構(gòu)成的線段長往往不知道怎么下手或基本就想不到.有了學(xué)生B的提醒，這部分學(xué)生則會如醍醐灌頂、恍然大悟.這樣設(shè)計，對后知后覺者來說既是思維跨越的鋪墊，更為問題的進一步展開作足了準(zhǔn)備.教學(xué)中，先知先覺者引領(lǐng)后知后覺者共同促進與成長是教學(xué)的一種策略.

二、在困惑處展開對話

從問題1到問題2，既有思維的跨越，也是知識運用的自然成長.有了數(shù)的坐標(biāo)運算求線段長度的鋪墊，再進一步拓展就有了基礎(chǔ)和支撐，問題3的出現(xiàn)就不會使學(xué)生感到特別意外和茫然.

問題3：點P從原點O出發(fā)，沿x軸的正方向以1個單位/秒的速度運動，設(shè)運動時間為t，過點P作x軸的垂線與直線AB交于點F，與拋物線交于點G，如圖4.

①求FG的長（用t表示）.

②當(dāng)t為何值時，F(xiàn)G∶DE=1∶2？

問題3的①求FG的長，不少學(xué)生會將問題2的方法進行遷移，用問題2的解法來思考求FG的長.下面是教師引導(dǎo)學(xué)生思考的一段對話.

師：根據(jù)問題2的方法，要求FG的長需要知道什么？

眾生：點F、G的縱坐標(biāo).

師：能求點F、G的縱坐標(biāo)嗎？

生1：從題目條件知道FG⊥x軸，P從原點O出發(fā)，速度是1個單位/秒，運動時間為t，可知點F、G的橫坐標(biāo)都是t，分別代入拋物線y=-x2+x+2和直線y=-x+2求出F、G的縱坐標(biāo)，然后相減即可得FG的長.

圖4

師：F、G的縱坐標(biāo)是具體的數(shù)嗎？

生2：不是，所以題目要求用t表示.

教師看到同學(xué)們點頭表示認(rèn)同，就趁熱打鐵追問②.

生3：列個算式就能求出t的值了.

師：請同學(xué)們抓緊時間求出來吧！

不一會兒，絕大部分學(xué)生舉手示意已經(jīng)做好了.（教師同時觀察學(xué)生的解答）

生5：還有一個答案.

師：還有一個答案（表示驚訝）？請上來結(jié)合著圖說說你的想法.

師：兩個一元二次方程應(yīng)該得出四個值呀（追問中仍有驚訝）？

生5：t2-4t-2=0有一個解t=2-是負(fù)數(shù)，應(yīng)舍去.

三、巧作鋪墊靜待花開

教師感覺到同學(xué)們聽得很專注，表現(xiàn)得很認(rèn)真，既想往下進行，又擔(dān)心學(xué)的質(zhì)量，就換著法子激將他們.老師還準(zhǔn)備了一個往上走的問題，本想舍去，但看到同學(xué)們的出色表現(xiàn)，老師猶豫了，是舍掉還是繼續(xù)往前走呢？教師在得到大多數(shù)學(xué)生想往前走的愿望時呈現(xiàn)出如下問題，并告訴同學(xué)們是選做.

問題4：將拋物線向上平移m（m＞0）個單位后與y軸相交于點B′，與直線x=2相交于點E′，當(dāng)E′O平分∠B′E′D時，求m的值.

不一會兒，有好幾位學(xué)生舉手.

生6：問題4也不算難，畫出草圖，解直角三角形就可以了，m是不是-2？

師：選做的都有那么多的同學(xué)做好了.

生7（比較聰明但不夠踏實）：我還以為多難呢！畫出平移的拋物線后，如圖5，過E′作E′H⊥y軸于H，則E′H=2，根據(jù)E′O平分∠B′E′D和E′D∥y軸，易得到OB′=B′E′，由題意知B′（0，2+m），點E′（2，5+m），所以B′E′=OB′=2+ m，B′H=5+m-（2+m）=3，在Rt△B′HE′中，即可求出m=-2.

圖5

圖6

師：同學(xué)們能明白嗎？

大部分學(xué)生表示明白了.

師：同學(xué)們回顧一下，反思一下，這四個問題哪些是比較難的？哪些是容易出錯的呢？

生8：問題3“用t表示FG的長”用的不熟.

生9：問題4中∠B′E′O=∠OE′D沒有想到，如果想到了，就沒啥難的了.

生10：問題3的②用字母表示FG有兩種情況容易漏掉一種.

師：從幾位同學(xué)的反思中，我們看到了幾種共性的問題值得注意.一是字母表示數(shù).字母運算是初一時學(xué)的，同學(xué)們不能忽略，應(yīng)對的策略是首先要有用字母表示數(shù)的意識，其次運算時要細(xì)心.二是幾種情況容易忽略.平時說的分類討論要不重不漏.三是有的同學(xué)說某問題“沒想到”或“想不到”，原因在哪兒？學(xué)數(shù)學(xué)就要學(xué)思維，學(xué)會思考的方法，要牢固掌握所學(xué)的知識，學(xué)會靈活運用知識解決問題的基本方法.

評注：建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)是從自己已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)的一種自主建構(gòu)的過程.教學(xué)中無論是新課還是復(fù)習(xí)，必須要研究學(xué)生，當(dāng)學(xué)生思維受阻或解決問題遇到障礙時，作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者的教師要多想一想原因在哪兒，教學(xué)要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，從學(xué)生已有的知識和實際情況出發(fā)，該鋪墊的要鋪墊，該將問題分解的要合理分解.比如問題4的圖形也可簡化或分解為圖6，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步與發(fā)展.無論是復(fù)習(xí)課還是新授課，都不能靠讓學(xué)生大量做題來替代理解數(shù)學(xué)，不能理解的死練往往會導(dǎo)致思維定勢.

以學(xué)定教，因材施教.精心設(shè)計適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)，針對基礎(chǔ)不夠好的學(xué)生要有愛心，有耐心，用真心，做小事.譬如“低起點，小坡度”不失為一種有效的舉措.“低起點”可以是知識起點低，方法起點低，易于讓學(xué)生理解和操作，這樣學(xué)生容易獲得成功感，提高學(xué)習(xí)的興趣.“小坡度”就是設(shè)計問題短小，提問坡度小，題型變化幅度小，可以通過變式訓(xùn)練，步步設(shè)問，層層遞進，讓學(xué)生先“想到”再進而“做到”，以達(dá)到拾級而上.“低起點，小坡度”的過程中，要注意課堂反饋要快，錯題糾錯要快，測試評價要快，以滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的心理需求；在要求上依然要高，做到規(guī)范要求高，思維效率高，不抑制學(xué)生的思維，讓學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)會學(xué)習(xí).

本節(jié)課之所以這樣分解與設(shè)計，主要是考慮到學(xué)生的實際情況，找準(zhǔn)學(xué)生已有知識的起點，使問題由易到難，呈現(xiàn)出明顯的梯度，讓學(xué)生容易上手，這樣新方法的生長就有了基礎(chǔ)，學(xué)生的探究與思考就顯得合情合理，水到渠成.再解決組合后的綜合題時才不會產(chǎn)生心理畏懼.解題教學(xué)的核心是教學(xué)生學(xué)解題，關(guān)鍵是思路的尋找.中考中的綜合類題目，對于大部分學(xué)生來說盡管不一定做完整，但還是能夠嘗試做一做的，不能因為學(xué)生暫時還比較薄弱，就忽略對他們的培養(yǎng).教師要甘為人梯，當(dāng)他們前行困難時作以鋪墊，當(dāng)他們想往新的目標(biāo)時要搭建平臺.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.卜以樓.生長型構(gòu)架下實數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（3）.

3.龐彥福．我曾這樣對待留守兒童［J］．人民教育，2016（16）．Z