朱純剛
2016年高考理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國卷(Ⅰ)壓軸題:
已知f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.
(Ⅰ)求a的取值范圍;(Ⅱ)設(shè)兩個零點為x1,x2,求證:x1+x2<2.
此題具有表述簡潔明了、背景公平公正、立足于考查基本知識與基本技能、內(nèi)涵豐富、入口較寬、能力要求高、重視對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查等特點,對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有很好的導(dǎo)向作用,給廣大數(shù)學(xué)教師以很多啟示.本文在探究其基本解法的基礎(chǔ)之上,談?wù)勊o中學(xué)數(shù)學(xué)教師的啟示.
1解法探究
標(biāo)準(zhǔn)答案是基于下面的解題思路:
對于第(Ⅰ)問,要使f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2的零點有兩個,就必須作出其草圖,為此必須判斷其單調(diào)性,考察其極值情況及函數(shù)值的分布情況.因此,求導(dǎo)、考察導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性成為必然.
對于第(Ⅱ)問,實際上就是比較大小.比較大小有直接作差比較與用單調(diào)性比較等途徑,顯然直接作差比較沒有條件,因為x1,x2根本求不出來,故必須用單調(diào)性比較大小.為此需要利用解答第(Ⅰ)問時所得到的結(jié)論:x1∈(-∞,1),x2∈(1,2),f(x)在(-∞,1)上單調(diào).
可以說,這是一種最直接、最循規(guī)蹈矩、最符合考生實際的解題思路,因為考生在作答該題時,兩個小時的作答時間已經(jīng)所剩無幾了,根本沒有時間去思考其他的間接思路.實際上,用下面的三種構(gòu)造解法解答本題,效果可能會更好一些.
法一構(gòu)造一個常數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)(分離參數(shù)法).
解(Ⅰ)顯然x=1不是f(x)的零點.故f(x)有兩個零點方程a=(2-x)ex(x-1)2有兩個不等實根.
令h(x)=(2-x)ex(x-1)2,則f(x)有兩個零點函數(shù)y=h(x)的圖象與函數(shù)y=a的圖象有兩個不同交點.
因為h′(x)=-(x-2)2-1(x-1)3ex>0x<1,
所以h(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,(1,+∞)上單調(diào)遞減,且當(dāng)x→-∞時,h(x)→0,(x→-∞);當(dāng)x→1時,h(x)→+∞.
又h(2)=0,且當(dāng)x<2(x≠1)時,h(x)>0.
所以要使函數(shù)y=h(x)的圖象與函數(shù)y=a的圖象有兩個不同交點,必須且只需a>0.
故a的取值范圍為(0,+∞).
(Ⅱ)不妨設(shè)x1 因為h(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增,故x1+x2<2x1<2-x2h(x1) h(x2) 令g(x)=(2-x)e2x-2-x,x∈(1,2),則g′(x)=(3-2x)e2x-2-1,g″(x)=4(1-x)e2x-2<0, 所以g′(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,又g′(1)=0,所以g′(x)<0, 所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,又g(1)=0,所以g(x)<0在(1,2)內(nèi)恒成立, 故h(x1) 法二構(gòu)造一個二次函數(shù)與超越函數(shù). 由f(x)=0得a(x-1)2=(2-x)ex, 令g(x)=a(x-1)2,h(x)=(2-x)ex,則f(x)有兩個零點函數(shù)y=h(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個不同交點. 因為h′(x)=(1-x)ex,所以h(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減, 且當(dāng)x<2時,h(x)>0;當(dāng)x>2時,h(x)<0;h(2)=0,h(x)max=h(1)=e. 結(jié)合草圖容易看出,所求的a的取值范圍為(0,+∞). (Ⅱ)設(shè)x1 因為a>0,所以f′(x)=(x-1)(ex+2a)>0x>1. 所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減.以下同標(biāo)準(zhǔn)答案. 法三構(gòu)造一個指數(shù)型函數(shù)與雙鉤函數(shù). 顯然a≠0,且x≠2. 由f(x)=0得(x-1)2x-2=-1aex.令g(x)=(x-1)2x-2,h(x)=-1aex, 則f(x)有兩個零點函數(shù)y=h(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個不同交點. 因為g(x)=(x-1)2x-2=x+1x-2=(x-2)+1x-2+2, 所以y=g(x)的圖象由雙鉤函數(shù)y=x+1x的圖象分別向右、向上平移2個單位得到,而h(x)=-1aex是指數(shù)型函數(shù). 結(jié)合草圖可以看出,所求的a的取值范圍為(0,+∞). (Ⅱ)同解法二.略. 2對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示 從該題的眾多特點及多種解法可以看出,它對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用,給廣大數(shù)學(xué)教師以眾多啟示. 啟示一勿以題海戰(zhàn)術(shù)應(yīng)對高考 學(xué)數(shù)學(xué)需要解題,甚至大量解題,但并不等于一定要在題海中遨游.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真做好解題后的反思這一環(huán)節(jié),盡量做到一題多解,舉一反三,觸類旁通,而不是大量地重復(fù)練習(xí).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點是導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用之一,每一個參加高考的學(xué)生都應(yīng)該熟知,也應(yīng)該經(jīng)歷過這方面的解題訓(xùn)練,去年全國卷的壓軸題也是考查函數(shù)的零點,近年來各省市的高考題中也經(jīng)常出現(xiàn),此類題對參加高考的學(xué)生來說應(yīng)該是常見題,并不感到陌生.因此,完全沒有必要通過題海戰(zhàn)術(shù)來應(yīng)對高考的常見題型.
啟示二應(yīng)立足于基礎(chǔ)知識的靈活運用與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升
由前面給出的幾種解法可以看出,解答本題都是靈活運用一些常見的基礎(chǔ)知識,在用解法三解第(Ⅰ)問時,就只用到了高一必修一的知識,根本沒有用到導(dǎo)數(shù).如果學(xué)生的基礎(chǔ)知識扎實,數(shù)學(xué)素養(yǎng)較好,很容易發(fā)現(xiàn)由方程通過變形可以分離出雙鉤函數(shù)與指數(shù)型函數(shù).因此,在教學(xué)中我們應(yīng)重視基礎(chǔ)知識的靈活運用,重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升,加強(qiáng)通式通法的教學(xué),沒必要劍走偏鋒、一味地追求一些偏難怪的方法.
啟示三必須重視數(shù)學(xué)概念尤其是核心概念的教學(xué)
函數(shù)的零點、函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)是高中代數(shù)部分的幾個核心概念,本題就是圍繞這幾個核心概念立意的.
教材在定義函數(shù)的零點時,為了突出“零”字,定義函數(shù)的零點即為方程的根,亦即為函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).但如果把x軸看成函數(shù)y=0的圖象,函數(shù)的零點也可以這樣定義:函數(shù)的零點即為方程的根,亦為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo).這個定義蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)中的構(gòu)造思想,即由方程左右兩邊分別構(gòu)造一個函數(shù),考察函數(shù)的零點就是考察這兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo).這樣所給的方程有多少種變形形式,就應(yīng)有多少種構(gòu)造函數(shù)的方式,而不再局限于題目所給的方程.如:為了考察f(x)=x2-3x+2的零點、即方程x2-3x+2=0的根,可以構(gòu)造兩個函數(shù)y=x2-3x+2與y=0、也可以構(gòu)造y=x2與y=3x-2、或者y=x2+2與y=3x、或者y=x-3與y=-2x、或者y=x+2x與y=3等等,再分別考察它們圖象交點的橫坐標(biāo).如果教師在“函數(shù)的零點”的教學(xué)中,深挖了其潛在價值,抓住了其本質(zhì),相信學(xué)生在高考中應(yīng)能給出上面的解法.
在講授函數(shù)的單調(diào)性時,很多教師通常只照本宣科地講“任取x1,x2∈D,且x1
數(shù)學(xué)有三種不同的形態(tài):第一種是數(shù)學(xué)家創(chuàng)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程中的原始形態(tài);第二種是整理研究成果之后發(fā)表于數(shù)學(xué)雜志上、陳述于教材上的學(xué)術(shù)形態(tài);第三種是便于學(xué)生理解學(xué)習(xí),在課堂上出現(xiàn)的教育形態(tài).數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該把抽象難懂的“第一種、第二種形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“第三種形態(tài)”,這種轉(zhuǎn)化在某種程度上實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)概念的再創(chuàng)造,而這種再創(chuàng)造的過程正是概念的生成過程,正是發(fā)展學(xué)生思維、提升學(xué)生能力的過程,也正是探究概念本質(zhì)的過程.因此,教師在教學(xué)中必須重視數(shù)學(xué)概念尤其是核心概念的教學(xué).
啟示四打造真正意義上的“高效課堂”
目前,中學(xué)教育界關(guān)于“高效課堂”可以說是眾說紛紜,圍繞“如何打造高效課堂”這一話題,產(chǎn)生了多種不同的課堂教學(xué)模式,如“三講三不講”、“翻轉(zhuǎn)課堂”、“先學(xué)后教”模式等等,幾乎每一個模式發(fā)明者都認(rèn)為采用自己的教學(xué)模式去教學(xué)的課堂是高效的.這就存在一個高效課堂的評判標(biāo)準(zhǔn)的問題,前面所說的一些教學(xué)模式實際上是以“學(xué)生對當(dāng)堂知識的掌握”為標(biāo)準(zhǔn)來評判是否高效的,而“高效課堂”的真正評判標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是“教育價值”.教育的價值就是促進(jìn)人的全面發(fā)展.一個人沒有知識肯定不能全面發(fā)展,但有了知識就一定能全面發(fā)展嗎?顯然不是.要讓一個人全面發(fā)展,還必須關(guān)注其情感、態(tài)度、價值觀,必須關(guān)注非智力因素方面的發(fā)展.由于人與人之間千差萬別,因此,真正意義上的“高效課堂”,是沒有固定模式可循的,這才是真正的“教無定法”.
真正意義上的“高效課堂”,應(yīng)是促進(jìn)人的全面發(fā)展的課堂,也就是說應(yīng)該是發(fā)展人、完善人的課堂.要發(fā)展人、完善人,教師在教學(xué)中就應(yīng)該盡可能地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識的再創(chuàng)造,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生有了數(shù)學(xué)思想,就會在思想的引領(lǐng)下運用知識發(fā)現(xiàn)和解決問題,解決問題需要能力,學(xué)生在需要能力的活動中就能形成能力.關(guān)注知識的再創(chuàng)造過程,就是關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀的過程,關(guān)注學(xué)科素養(yǎng)對人的發(fā)展的貢獻(xiàn)的過程.
高考雖然有其局限性和片面性,但不能否認(rèn)高考仍然是一種對學(xué)生相對全面考查的有效方式.解答高考壓軸題需要用到多種數(shù)學(xué)思想與方法,需要有較強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力,需要有良好的心態(tài),需要有正確對待高考的態(tài)度.所有這些,都需要教師在平時的課堂教學(xué)中有意識地培養(yǎng)、正確地引導(dǎo).因此,只有打造了真正意義上的高效課堂,學(xué)生才能得到真正發(fā)展,才能在高考中取得優(yōu)異成績.