2016年高考分段函數(shù)面面觀

劉亮

分段函數(shù)是指在不同定義域上有不同對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)，因而求解分段函數(shù)相關(guān)問題的關(guān)鍵是“分段歸類”.高考中通常運(yùn)用分段函數(shù)考查分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.本文通過2016年高考試題總結(jié)分段函數(shù)的?？碱}型與解題方法.

1分段函數(shù)的基本概念

例1（2016年江蘇卷理11）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1，1）上f（x）=x+a，-1≤x<0，

25-x，0≤x<1，其中a∈R，若f（-52）=f（92），則f（5a）的值是.

解析 由題意得f（-52）=f（-12）=-12+a，f（92）=f（12）=25-12=110，由f（-52）=f（92）可得-12+a=110，則a=35，則f（5a）=f（3）=f（-1）=-1+a=-1+35=-25.

規(guī)律方法此類問題考查分段函數(shù)的基本概念與函數(shù)周期性.首先，借助函數(shù)周期性將自變量的值轉(zhuǎn)化到分段函數(shù)的定義域上；其次，明確分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.解決分段函數(shù)求值問題，重點(diǎn)要明確自變量所屬區(qū)間.

2分段函數(shù)中的函數(shù)方程思想

例2（2016年山東卷理15）已知函數(shù)f（x）=|x|，x≤m

x2-2mx+4m，x>m，其中m>0，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.

圖1解析 由題意畫出函數(shù)圖像如圖1，要滿足存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，應(yīng)4m-m23，即填（3，+∞）.

例3（2016年天津卷理8）已知函數(shù)f（x）=x2+（4a-3）x+3a，x<0，

loga（x+1）+1，x≥0（a>0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2-x恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）

A.（0，23]B.[23，34]

C.[13，23]∪{34}D.[13，23）∪{34}

解析由f（x）在R上遞減可知3-4a≥0，

3a≥1，

0

規(guī)律方法此類問題以分段函數(shù)為載體，考查函數(shù)與方程的相關(guān)問題，解決此類問題需要利用分段函數(shù)的定義整理出不同區(qū)間上的函數(shù)解析式，然后利用數(shù)形結(jié)合法將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).例3綜合考查了分段函數(shù)的單調(diào)性與圖像等性質(zhì).能夠準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖像是解決本題的關(guān)鍵.

3分段函數(shù)中的分類討論思想

例4（拓展延伸）已知函數(shù)f（x）=|x|，x≤m

x2-2mx+4m，x>m，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.

解析 此題是2016年山東卷理15的拓展延伸，將原題中的條件“m>0”去掉，由題意畫出函數(shù)圖像，對(duì)m的值進(jìn)行分類討論：若m≤0，則方程f（x）=b至多有兩個(gè)不同的根，要滿足存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根應(yīng)m>0，且4m-m23，即填（3，+∞）.

規(guī)律方法分段函數(shù)的主要特點(diǎn)就是在不同區(qū)間上有不同的對(duì)應(yīng)法則，其本身就蘊(yùn)涵著分類討論的思想，通過分段函數(shù)可以考查不同類型的函數(shù).因此熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖象，準(zhǔn)確地進(jìn)行分類討論是解決此類問題的重要突破口.

4分段函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想

例5（2016年北京卷理14）

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x，x≤a，

-2x，x>a.

①若a=0，則f（x）的最大值為；

②若f（x）無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析 如圖2作出函數(shù)g（x）=x3-3x與直線y=-2x的圖象，它們的交點(diǎn)是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g′（x）=3x2-3，知x=1是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，圖2①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x3-3x，x≤0，

-2x，x>0，

因此f（x）的最大值是f（-1）=2；

②由圖象知當(dāng)a≥-1時(shí)， f（x）有最大值是f（-1）=2；只有當(dāng)a<-1時(shí)，有a3-3a<-2a，因此f（x）無最大值，所以所求a的范圍是（-∞，-1），故填：2，（-∞，-1）.

規(guī)律方法此類問題需要準(zhǔn)確理解分段函數(shù)的最值，分段函數(shù)的值域是其定義域內(nèi)不同子集上各解析式的取值范圍的并集.能準(zhǔn)確地畫出不同定義域上函數(shù)的圖象是解決這一類問題的關(guān)鍵.

分段函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中常見的函數(shù)，為體現(xiàn)高中與大學(xué)學(xué)習(xí)的銜接性，分段函數(shù)的考查一直是高考的熱點(diǎn).因此，在高考復(fù)習(xí)的過程中，熟悉分段函數(shù)的概念，掌握基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)函數(shù)的基本思想方法，才能完整地解決分段函數(shù)相關(guān)的問題.