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    2016年中國科學技術(shù)大學自主招生數(shù)學試題及解答

    2016-11-01 14:17:31甘志國
    中學數(shù)學雜志(高中版) 2016年5期
    關(guān)鍵詞:題設平行線正整數(shù)

    甘志國

    一、填空題(每小題6分,共48分)

    1.32016除以100的余數(shù)是.

    2.復數(shù)z1,z2滿足z1=2,z2=3,z1+z2=4,則z1z2=.

    3.用S(A)表示集合A的所有元素之和,且A{1,2,3,4,5,6,7,8},S(A)能被3整除,但不能被5整除,則符合條件的非空集合A的個數(shù)是.

    4.已知△ABC中,sinA+2sinBcosC=0,則

    tanA的最大值是.

    5.若對任意實數(shù)x都有2x-a+3x-2a≥a2,則a的取值范圍是.

    6.若a∈π4,π2,b∈(0,1),

    x=(sina)logbsina,y=(cosa)logbcosa,則x y(填>,=,或<).

    7.在梯形ABCD中AB∥CD,對角線AC,BD交于P1,過P1作AB的平行線交BC于點Q1,AQ1交BD于P2,過P2作AB的平行線交BC于點Q2,….若AB=a,CD=b,則PnQn= (用a,b,n表示).

    8.在數(shù)列{an}中,an是與n最接近的整數(shù),則∑2016n=11an=.

    二、解答題(第9小題滿分16分,第10、11小題滿分18分)

    9.已知a,b,c>0,a+b+c=3,求證:a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥32.

    10.求所有函數(shù)f:N*→N*,使得對任意正整數(shù)x≠y,0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|.

    11.求方程2x-5y·7z=1的所有非負整數(shù)解(x,y,z).

    參考答案

    1.21.由32016=91008=(-1+10)1008≡(-1)1008+C11008(-1)1007·10≡-79≡21(mod100)可得答案.

    2.16±156i.復數(shù)z1z2的模z1z2=z1z2=23,接下來求其幅角.

    圖1如圖1所示,設復數(shù)z1,z2,z1+z2在復平面內(nèi)對應的點分別是A,B,C,得OACB.

    在△OAC中應用余弦定理,可求得cosA=22+32-422·2·3=-14.

    所以cos∠AOB=14,進而可得

    z1z2=2314±154i=16±156i

    3.70.將集合{1,2,3,4,5,6,7,8}劃分為A1={1,4,7},A2={2,5,8},A3={3,6}.

    于是,使得S(A)能被3整除的非空集合A的個數(shù)是[(C03+C33)2+(C13)2+(C23)2]·22-1=87.

    接下來,考慮S(A)能被15整除的非空集合A的個數(shù),此時S(A)=15或30.

    當S(A)=15時,按集合A的最大元素分別為8,7,6,5分類,可得分別有5,4,3,1個,此時共計13個.

    當S(A)=30時,共有4個.

    綜上所述,可得答案是87-13-4=70.

    4.33.由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC及題設可得tanC=-3tanB,所以由均值不等式,可得

    tanA=-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanB3tan2B+1=23tanB+1tanB≤33

    進而可得:當且僅當tanB=13即(A,B,C)=π6,π6,2π3時,(tanA)max=33.

    5.-13,13.由零點討論法可得,當且僅當x=2a3時,(2x-a+3x-2a)min=a3.

    所以題設即a3≥a2,進而可得答案.

    6.>.可得lnx=ln2sinalnb,lny=ln2cosalnb.

    由a∈π4,π2,可得0

    又由b∈(0,1),可得lnb<0,所以lnx>lny,x>y.

    圖27.aba+bn.如圖2所示,設PnQn=xn(n∈N),其中P0Q0=x0=CD=b.

    由平行線分線段成比例定理,可證得

    1xn+1=1xn+1a.

    所以1xn=1x0+na.

    PnQn=xn=aba+bn.

    8.888.設k是與n最接近的整數(shù),得k=n+12,得k≤n+12

    k2-k+14≤n

    所以數(shù)列a1,a2,…,a2016

    即1,12個,2,2,2,24個,…,k,k,…,k2k個,44,44,…,4488個,45,45,…,4536個

    進而可得

    ∑2016n=11an=∑44k=11k·2k+145·36=88.8

    9.由三元柯西不等式,可得

    2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c·4(a+b+c)=(2a)22a+b+c+(2b)2a+2b+c+(2c)2a+b+2c[(2a+b+c)+(a+2b+c)+(a+b+2c)]≥(2a+2b+2c)2=2(a+b+c)2.

    所以2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥a+b+c2=32.

    再由二元均值不等式,可得

    a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥32.

    10.在題設所給的不等式中,可令y=x+1(x∈N*),得0

    即f(x+1)-f(x)=1.

    由對任意正整數(shù)x≠y,0

    因為象的集合為N*,所以f(x+1)-f(x)≡1.進而可得,f(n)=n+f(1)-1,其中f(1)∈N*.

    11.由題設,可得

    (-1)x-(-1)y≡1(mod3),

    所以x為奇數(shù),y為為偶數(shù).

    可設x=2m+1,y=2n(m,n∈N),得原方程即2·4m-25n·7z=1.

    若n∈N*,可得2(-1)m=-2≡1(mod5),這不可能!所以n=0,y=0.

    又得原方程即2·4m-7z=1.

    (1)當z=0時,得m=0,此時的解為(x,y,z)=(1,0,0).

    (2)當z∈N*時,得-(-1)z≡1(mod4),所以z為正奇數(shù),設z=2p+1(p∈N).

    再得原方程即2·4m-7·49p=1.

    ①當p=0時,得m=1,此時的解為(x,y,z)=(3,0,1).

    ②當p∈N*時,得m≥4,所以-7·1p≡1(mod16),這不可能!

    綜上所述,可得原方程的所有非負整數(shù)解(x,y,z)=(1,0,0),或(3,0,1).

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