連續(xù)統(tǒng)問題與薄實(shí)在論

高坤

北京大學(xué)哲學(xué)系

gaokun_ps@163.com

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連續(xù)統(tǒng)問題與薄實(shí)在論

高坤

北京大學(xué)哲學(xué)系

gaokun_ps@163.com

哥德爾對(duì)連續(xù)統(tǒng)問題的獨(dú)立性的柏拉圖主義回應(yīng)作為一種“厚實(shí)在論”招致麥蒂（Penelope Maddy）的一個(gè)批評(píng)。作為一種可能的替代，麥蒂提出了所謂的“薄實(shí)在論”。本文試圖論證麥蒂對(duì)厚實(shí)在論的批評(píng)并不像表面上看來那么有力，而薄實(shí)在論作為一種本體論立場(chǎng)涉嫌一種自相矛盾，并且后者也不能像厚實(shí)在論那樣賦予連續(xù)統(tǒng)問題以客觀意義。

連續(xù)統(tǒng)問題；哥德爾；麥蒂；柏拉圖主義；薄實(shí)在論

1　引言

連續(xù)統(tǒng)問題（the Continuum Problem）作為一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)子集大小的問題，首先是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。但通行集合論公理在判定這個(gè)問題上的無力使得它衍生出一個(gè)相應(yīng)的哲學(xué)問題，即連續(xù)統(tǒng)問題有沒有意義的問題。對(duì)于這后一個(gè)，哲學(xué)意義上的“連續(xù)統(tǒng)問題”，數(shù)學(xué)哲學(xué)家們給出了各種不同的回答，其中尤以哥德爾（Kurt G?del）所代表的柏拉圖主義立場(chǎng)最為有影響。事實(shí)上，與此立場(chǎng)密切相關(guān)的所謂“哥德爾綱領(lǐng)”（G?del's Program），在很大程度上塑造了當(dāng)代集合論的實(shí)踐。然而不可否認(rèn)的是，柏拉圖主義存在種種困難，最為人熟知的便是關(guān)于抽象對(duì)象的認(rèn)識(shí)論問題，亦即貝納塞拉夫問題。1因?yàn)槭秦惣{塞拉夫（Paul Benarcerraf）首先系統(tǒng)分析了抽象對(duì)象在認(rèn)識(shí)論上可能引起的困難，參見［1］。對(duì)于這個(gè)問題，哥德爾本人并非沒有注意到，相反他傾注了很多心血在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的探索上，例如他提出了一種數(shù)學(xué)直覺學(xué)說以期說明心靈對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的把握，只是后者本身的內(nèi)在合理性遭到學(xué)者們的普遍質(zhì)疑。2參見本文第三節(jié)。

雖然如此，數(shù)學(xué)柏拉圖主義作為推動(dòng)當(dāng)代集合論實(shí)踐的重要力量，被很多人認(rèn)為是與集合論實(shí)踐符合得最好、反過來也為集合論實(shí)踐所支持的哲學(xué)立場(chǎng)。3例如，在參考文獻(xiàn)［12］中，郝兆寬等人論證了武?。℉ugh Woodin）在集合論上的一些重要工作與柏拉圖主義的互相支持。對(duì)于這樣一種近乎標(biāo)準(zhǔn)的看法，麥蒂（Penelope Maddy）提出了異議。通過具體地考察集合論在歷史上和當(dāng)代的實(shí)踐，麥蒂試圖論證柏拉圖主義與集合論實(shí)踐并不相符，反而有某種難以逾越的矛盾。4麥蒂這方面的工作可參閱文獻(xiàn)［7，9，10］，其中尤以［10］最為詳細(xì)。并且，作為對(duì)柏拉圖主義這種“厚實(shí)在論”（Robust Realism）的一個(gè)可能替代品，麥蒂還提出了所謂的“薄實(shí)在論”（Thin Realism）5麥蒂雖然是薄實(shí)在論的主要闡述者，她對(duì)薄實(shí)在論的態(tài)度卻是復(fù)雜的。她的基本哲學(xué)立場(chǎng)是作為自然主義的一種形式的“第二哲學(xué)”立場(chǎng)，參見文獻(xiàn)［9］。在第二哲學(xué)下，麥蒂認(rèn)為，薄實(shí)在論和與之相反的“非實(shí)在論”（Arealism）是同等合理的，并因而建議哲學(xué)家們?nèi)∠P(guān)于數(shù)學(xué)的真理和存在問題的哲學(xué)討論，將注意力轉(zhuǎn)移到純粹的方法論研究上去，參見文獻(xiàn)［10］。對(duì)此本文第四節(jié)還會(huì)有說明。，并闡述了此立場(chǎng)下連續(xù)統(tǒng)問題的地位。那么，麥蒂對(duì)柏拉圖主義的批評(píng)合理嗎？她的薄實(shí)在論和她對(duì)哲學(xué)連續(xù)統(tǒng)問題的回答經(jīng)得起理性的推敲嗎？本文將對(duì)這些問題作深入的探討。

首先，在本文第二節(jié)，本文將簡(jiǎn)單回顧連續(xù)統(tǒng)問題的提出和發(fā)展過程，闡述此問題如何成為一個(gè)哲學(xué)問題，并介紹哥德爾綱領(lǐng)的內(nèi)容和它對(duì)當(dāng)代集合論實(shí)踐的影響。然后，在第三節(jié)，筆者將分析麥蒂對(duì)柏拉圖主義的批評(píng)，試圖表明，麥蒂的批評(píng)并不像表面上看來那么新穎，其歸根結(jié)底還是要訴諸哥德爾數(shù)學(xué)直覺學(xué)說的內(nèi)在困難。最后，在本文第四節(jié)，筆者考察薄實(shí)在論和它對(duì)連續(xù)統(tǒng)問題的態(tài)度，表明薄實(shí)在論涉嫌回避關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的本體論問題，即數(shù)學(xué)對(duì)象（如集合）是否具有客觀實(shí)在性的問題，或者說，在這個(gè)問題上它采取了一種自相矛盾的立場(chǎng)。特別地，薄實(shí)在論對(duì)排中律的簡(jiǎn)單援引也無法回答作為一個(gè)哲學(xué)問題的連續(xù)統(tǒng)問題。

2　連續(xù)統(tǒng)問題與哥德爾綱領(lǐng)

作為數(shù)學(xué)問題的連續(xù)統(tǒng)問題由無窮集合論的創(chuàng)立者康托提出?？低杏谩耙灰粚?duì)應(yīng)”定義集合的大小，并證明無窮集合并不是一樣大的。特別地，康托用他發(fā)明的對(duì)角線法證明，任何集合的冪集都嚴(yán)格地大于該集合本身。例如，實(shí)數(shù)集就嚴(yán)格大于自然數(shù)集，因?yàn)楹苋菀鬃C明，實(shí)數(shù)集和自然數(shù)集的冪集一樣大。那么，是否存在實(shí)數(shù)集的一個(gè)子集，它嚴(yán)格小于實(shí)數(shù)集卻又嚴(yán)格大于自然數(shù)集呢？這就是連續(xù)統(tǒng)問題，又稱為“希爾伯特第一問題”，因?yàn)樵?0世紀(jì)初由著名數(shù)學(xué)家希爾伯特所提出的23個(gè)未解數(shù)學(xué)問題中，它位列第一。

康托猜想連續(xù)統(tǒng)問題的答案是否定的，即不存在實(shí)數(shù)的子集，其大小嚴(yán)格介于自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間，這就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（CH）。如果用基數(shù)6“基數(shù)”及本文涉及的其它集合論術(shù)語的技術(shù)定義可參閱文獻(xiàn)［4］。表示集合的大小，并接受選擇公理7選擇公理使得任意兩個(gè)集合可以比較大小，并使全體基數(shù)排成一個(gè)良序。，則CH可以用公式表達(dá)如下：

這里?0是自然數(shù)集的基數(shù)，?1是大于?0的最小的基數(shù)。實(shí)數(shù)集的基數(shù)等于?0的冪基數(shù)2?0。另外，CH還可以推廣為所謂的廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（GCH），它斷言任意無窮基數(shù)的冪基數(shù)恰好等于它的后繼基數(shù)（即大于該基數(shù)的最小的基數(shù)）。

康托雖然相信CH是真的，但他并沒有能證明它。在康托之后幾十年間，證明或證否CH的諸多努力也都以失敗告終，直到哥德爾和科恩（Paul Cohen）的工作表明，CH（以及更一般的GCH）“邏輯地獨(dú)立于”數(shù)學(xué)家們普遍接受的集合論公理系統(tǒng)ZFC。在羅素分支類型論的啟發(fā)下，哥德爾于1938年用可構(gòu)成集構(gòu)造了ZFC的一個(gè)模型L，并證明在L中CH是成立的。8證明思路是先證V=L（即一切集合都是可構(gòu)成的）在L中成立，然后由V=L推出CH。這意味著CH對(duì)ZFC具有“相對(duì)一致性”，即如果ZFC是一致的，則ZFC+CH也是一致的。1963年，科恩又用他發(fā)明的力迫（forcing）法證明：如果ZFC是一致的，則ZFC+?CH也是一致的。這樣，綜合哥德爾和科恩的結(jié)果我們知道，連續(xù)統(tǒng)問題超出現(xiàn)有數(shù)學(xué)的框架，不能由現(xiàn)有集合論公理判定。事實(shí)上，后續(xù)的一些工作表明，ZFC在約束無窮基數(shù)冪函數(shù)的行為上，能力非常有限。9這方面工作都得益于力迫法的巨大功效，文獻(xiàn)［12］包含有這方面結(jié)果的一個(gè)簡(jiǎn)明介紹。

連續(xù)統(tǒng)問題的獨(dú)立性結(jié)果引發(fā)了關(guān)于該問題地位的爭(zhēng)論。形式主義者們，例如科恩，認(rèn)為它表明連續(xù)統(tǒng)問題是沒有意義的；柏拉圖主義者們，如哥德爾，則堅(jiān)信連續(xù)統(tǒng)問題有一個(gè)確定的答案，只是ZFC作為對(duì)集合宇宙的不完全描述，不足以解答它。如此一來，連續(xù)統(tǒng)問題在一定意義上就從一個(gè)純數(shù)學(xué)問題演變成一個(gè)哲學(xué)問題，而哥德爾在這個(gè)問題上的柏拉圖主義立場(chǎng)則與本文主題密切相關(guān)。

如上所述，哥德爾認(rèn)為連續(xù)統(tǒng)問題是有意義的數(shù)學(xué)問題。為了解決它，哥德爾建議數(shù)學(xué)家們尋找新公理加強(qiáng)ZFC，使得加強(qiáng)后的公理系統(tǒng)能夠判定CH的真假（以及其它獨(dú)立性命題）。這就是所謂的“哥德爾綱領(lǐng)”（［12］，第33頁）。哥德爾還探討了尋找新公理應(yīng)當(dāng)遵循的原則，在《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)問題？》一文中他寫道：

…即使不考慮一個(gè)新公理的內(nèi)在必然性，甚至即使它根本沒有內(nèi)在的必然性，以另一種方式，即通過歸納地研究它的“成功”，對(duì)其真值作出一種蓋然的判定依然是可能的。這里成功意味后承的豐富性，特別是“可證實(shí)的”后承，即不借助新公理也能得到證明的后承，但新公理能使這些證明變得更簡(jiǎn)單和更容易發(fā)現(xiàn)，并使得將許多不同的證明歸結(jié)為一個(gè)證明成為可能?！蛟S存在這樣一些公理，它們的可驗(yàn)證的后承是如此豐富，它們對(duì)一個(gè)領(lǐng)域的闡釋是如此清晰，它們提供的解決問題的方法是如此強(qiáng)大（甚至能最大限度地以構(gòu)造性的方式解決它們），以至于無論它們自身是否是內(nèi)在必然的，它們都必須被接受，至少在與任何良好建立的物理理論同樣的意義上被接受。（［3］，第261頁）

這里引人注意的是，哥德爾認(rèn)為公理不必有直觀上的顯明性，只要具備其它一些優(yōu)良的理論性質(zhì)，如可驗(yàn)證后承的豐富性、對(duì)理論的簡(jiǎn)化作用等，就可以被接受為真。哥德爾綱領(lǐng)和他關(guān)于公理證成的如上原則，極大地影響著之后的集合論實(shí)踐，正如郝兆寬（和施翔暉，楊躍一起）指出的，它們“幾乎指導(dǎo)了所有尋求新公理的工作”（［12］，第35頁）。最具代表性的一個(gè)例子是加州學(xué)派圍繞投射可決定性公理（PD）的大量結(jié)果，對(duì)于它下一節(jié)我會(huì)再作介紹。

現(xiàn)在我們可以來概括一下哥德爾對(duì)連續(xù)統(tǒng)問題的立場(chǎng)：

1.本體論：集合等抽象對(duì)象（即不在時(shí)空中也不具有因果性）是獨(dú)立于心靈的客觀存在；

2.邏輯學(xué)：所以，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)雖然獨(dú)立于ZFC卻仍然有確定的真值，或者CH或者?CH；

3.方法論：應(yīng)該尋找新公理以判定CH，新公理的證成可訴諸它所導(dǎo)致的數(shù)學(xué)理論的一些“好的性質(zhì)”。

哥德爾的這一立場(chǎng)被稱為是“厚實(shí)在論”的，招來了很多批評(píng)。但大部分批評(píng)直接指向其本體論論點(diǎn)，質(zhì)疑抽象對(duì)象在認(rèn)識(shí)上的可達(dá)性，而麥蒂在集合論方法論上的研究工作則將矛頭指向了新的方面，即其本體論論點(diǎn)與方法論論點(diǎn)的一致性上。下面，我就轉(zhuǎn)入對(duì)麥蒂的這方面觀點(diǎn)的討論。

3　麥蒂對(duì)厚實(shí)在論的批評(píng)

數(shù)學(xué)方法論問題，特別是集合論公理的證成問題，是麥蒂哲學(xué)的一個(gè)中心關(guān)懷。起初，她從一種與哥德爾柏拉圖主義有密切親緣關(guān)系的實(shí)在論立場(chǎng)10即麥蒂的“集合論實(shí)在論”，參見文獻(xiàn)［5］?？紤]這個(gè)問題。但不久，她就放棄了這種立場(chǎng)，轉(zhuǎn)向一種數(shù)學(xué)自然主義，要求嚴(yán)格區(qū)分方法論問題和關(guān)于數(shù)學(xué)存在和數(shù)學(xué)真理性的哲學(xué)問題。造成這種轉(zhuǎn)變的原因之一，就是麥蒂發(fā)現(xiàn)柏拉圖主義與集合論的實(shí)踐并不相容。為了說明這一點(diǎn)，我們來看一看麥蒂對(duì)作為實(shí)踐的集合論的方法論刻畫。麥蒂仔細(xì)考察了作為實(shí)踐的集合論：康托和戴德金對(duì)集合的引入，策梅洛對(duì)他制訂的集合論公理系統(tǒng)，特別是選擇公理的辯護(hù)，以哥德爾為代表的集合論學(xué)家們對(duì)V=L的普遍拒斥，加州學(xué)派關(guān)于投射可決定性公理PD的工作，等等。11這些考察可參見文獻(xiàn)［7］和［10］。這里限于篇幅和本文目的，我們僅對(duì)最后一個(gè)案例，即PD作更詳細(xì)的介紹。

正如本文第二節(jié)提到的，連續(xù)統(tǒng)問題的獨(dú)立性，以及隨后被集合論學(xué)家們陸續(xù)證明的大量獨(dú)立性結(jié)果（如投射集勒貝格可測(cè)性問題）推動(dòng)集合論學(xué)家們尋找新的原則以判定這些問題，而圍繞可決定性假設(shè)（Determinacy Hypotheses）的研究就是在這一背景下產(chǎn)生的。完整的可決定性公理12設(shè)A是0和1之間的一些實(shí)數(shù)（它們可以唯一地表示成0和1的無窮序列）構(gòu)成的一個(gè)集合，兩個(gè)游戲者甲和乙輪流選擇0或1，如果最終得到的實(shí)數(shù)屬于A，則甲勝出，否則乙勝出；如果甲和乙中一人有制勝策略，則稱集合A是可決定的。此定義可推廣到全體實(shí)數(shù)上，可決定性公理斷言實(shí)數(shù)的任意子集都可決定。被表明與選擇公理不相容，但斷言實(shí)數(shù)的投射子集都可決定的PD，卻被很多集合論學(xué)家認(rèn)為是很有可能成立的。顯然，PD本身并沒有直觀上的似真性或內(nèi)在的必然性，因此支持它的都是外在的證據(jù)，麥蒂將這些證據(jù)概括為四類（［10］，第49-51頁）：

（1）PD使我們得到一個(gè)關(guān)于投射集性質(zhì)的很豐富的理論，并且它是以一種很自然的方式，將我們只用ZFC就能得到的關(guān)于低層譜投射集的理論，推廣到完整的投射集層譜上去。

（2）PD顯示出與大基數(shù)公理（Large Cardinal Axioms，簡(jiǎn)記為“LCA”）的緊密聯(lián)系，特別地，由一些大基數(shù)公理可以推出PD。而大基數(shù)公理被普遍認(rèn)為具有某種內(nèi)在似真性，這種內(nèi)在證據(jù)及大基數(shù)公理的其它外在證據(jù)可以由PD繼承過來。

（3）任何具有足夠強(qiáng)（至少和PD一樣強(qiáng)）的一致性強(qiáng)度（consistencystrength）13由哥德爾第二不完全性定理，皮亞諾算數(shù)PA不能證明它自身的一致性，但ZFC卻可以，在這個(gè)意義上，ZFC的一致性強(qiáng)度要高于PA。類似地，ZFC+LCA可以證明ZFC的一致性，因而在一致性強(qiáng)度上高于后者。的自然的數(shù)學(xué)理論都蘊(yùn)含PD。而考慮到集合論的基礎(chǔ)地位和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開放性，我們完全有理由尋求具有更高一致性強(qiáng)度的理論。

（4）在足夠強(qiáng)的大基數(shù)公理下，PD所提供的投射集理論不僅能回答關(guān)于投射集的所有已知獨(dú)立性問題，還在如下意義上是完全的14這被稱為“脫殊完全性”（generic completeness）。：用力迫法無法得到任何新的獨(dú)立性結(jié)果。而力迫法是我們目前擁有的證明獨(dú)立性的最好方法。

不難看出，以上這些證據(jù)都體現(xiàn)了我們之前提到的哥德爾原則，即根據(jù)公理導(dǎo)致的數(shù)學(xué)理論的理論性質(zhì)來對(duì)備選公理進(jìn)行取舍。麥蒂自己則將這種方法論刻畫為：“使用任何有助于滿足我們的數(shù)學(xué)目標(biāo)的手段”，這些目標(biāo)包括“局部的問題解決、提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、帶來更開放的有前景的新數(shù)學(xué)內(nèi)容”等等。（［10］，第52頁）

但一個(gè)數(shù)學(xué)理論具有數(shù)學(xué)家們偏愛的這樣或那樣的性質(zhì)，滿足數(shù)學(xué)家們的某種數(shù)學(xué)目的，為什么就能保證這個(gè)理論是真的呢？麥蒂質(zhì)疑道。集合論學(xué)家們喜歡PD帶來的關(guān)于投射集的完美理論，但如果柏拉圖主義將集合論看做是對(duì)某種客觀的、獨(dú)立實(shí)在的描述，那么“實(shí)在完全可以是令人悲傷地拒絕合作的”（［10］，第58頁），即它很可能不服從人類對(duì)理論的那些主觀的偏好，就像我們?cè)谖锢韺W(xué)實(shí)踐中常常看到的、實(shí)在與科學(xué)家意愿相違背的情況一樣。由此，麥蒂得出厚實(shí)在論與集合論實(shí)踐不一致的結(jié)論，而又因?yàn)楹笳邔?shí)際上體現(xiàn)了我們?cè)诘谝还?jié)介紹的哥德爾的方法論論點(diǎn)，麥蒂的如上結(jié)論成立的話就意味著哥德爾的本體論論點(diǎn)與方法論論點(diǎn)不一致。

雖然我不是數(shù)學(xué)實(shí)在論者，反倒更傾向于數(shù)學(xué)唯名論立場(chǎng)，但我不得不承認(rèn)麥蒂對(duì)實(shí)在論之缺陷的上述觀察并不像表面上看起來那么有說服力。因?yàn)?，考慮一下自然科學(xué)中的情況，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自然科學(xué)家們對(duì)科學(xué)理論的論證也不是直接論證理論的真理性，而是理論具有這樣那樣的優(yōu)點(diǎn)，或者說后者是前者的理由，即我們相信理論的真理性正由于它們具有那些理論優(yōu)點(diǎn)（theoretical virtue）。蒯因（W.V.O.Quine）對(duì)這些優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行過一般性的概括（［11］）——簡(jiǎn)單性，保守性，經(jīng)驗(yàn)恰當(dāng)性（empirical adequacy），融貫性，經(jīng)濟(jì)性，多產(chǎn)性（fecundity），等等。如果按麥蒂對(duì)數(shù)學(xué)所做的那樣思考科學(xué)確證，則人們完全可以批評(píng)說，一個(gè)科學(xué)理論具有那些蒯因式優(yōu)點(diǎn)并不能保證它是真的，獨(dú)立于我們的物理實(shí)在完全可以不配合我們對(duì)這些優(yōu)點(diǎn)的偏好，例如它可能就是包含一些對(duì)我們說明觀察到的自然現(xiàn)象不必要的實(shí)體或性質(zhì)，因而科學(xué)實(shí)在論與科學(xué)的方法論實(shí)踐不相容。然而，我們會(huì)愿意在自然科學(xué)的情形下接受這樣的結(jié)論嗎？我們會(huì)認(rèn)為我們對(duì)物理對(duì)象實(shí)在性的信仰與我們的自然科學(xué)實(shí)踐不符嗎？當(dāng)然不，至少對(duì)于自然主義者來說，答案是不。既然如此，為什么在數(shù)學(xué)的情形下我們就要得出麥蒂式結(jié)論呢？難道像哥德爾那樣得出數(shù)學(xué)證成和物理證成相似的結(jié)論不是更合理嗎？事實(shí)上哥德爾在為數(shù)學(xué)的那種證成原則做辯護(hù)時(shí)正是訴諸這樣的類比，比如在前面第二節(jié)中的引文中他說“它們都必須被接受，至少在與任何良好建立的物理理論同樣的意義上被接受”。

這里，也許有人會(huì)為麥蒂辯護(hù)說，以上的考慮依賴于蒯因關(guān)于科學(xué)確證（confirmation）的整體論，而麥蒂對(duì)蒯因整體論是有異議的。確實(shí)如此，但麥蒂對(duì)整體論的異議主要在于反對(duì)將理論優(yōu)點(diǎn)作為存在性斷言的最終證據(jù)，反對(duì)籠統(tǒng)地不加區(qū)分地看待科學(xué)斷言和科學(xué)證據(jù)。比如以原子論為例，麥蒂認(rèn)為后者對(duì)那些蒯因式理論品質(zhì)的享有還不足以讓科學(xué)家們相信原子的實(shí)在性，更直接的證據(jù)如佩林關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)是必要的和最關(guān)鍵的。同樣地，她反對(duì)蒯因憑借整體論做出的關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象存在性的不可或缺性論證。15文獻(xiàn)［8］包含麥蒂對(duì)蒯因的整體論和不可或缺性論證的異議的一個(gè)簡(jiǎn)要概括。至于一般地援引理論的整體性優(yōu)點(diǎn)為自然科學(xué)理論辯護(hù)，她并不反對(duì)。

針對(duì)我提出的批駁，麥蒂自己更有可能采取的辯解是，“經(jīng)驗(yàn)恰當(dāng)性”這個(gè)理論品質(zhì)可以在很大程度上削弱自然科學(xué)家們的主觀理論偏好對(duì)理論的決定作用，因?yàn)樗笞匀豢茖W(xué)理論與經(jīng)驗(yàn)觀察相符，這實(shí)際上就是要求理論與實(shí)在相符。換句話說，在科學(xué)理論的眾多理論品質(zhì)中，經(jīng)驗(yàn)恰當(dāng)性不是人類的一個(gè)主觀理論偏好，而是提供了一個(gè)客觀性的源泉。并且很明顯，經(jīng)驗(yàn)恰當(dāng)性在諸理論品質(zhì)中占據(jù)著核心位置，一個(gè)理論無論多么簡(jiǎn)單和優(yōu)美，如果它缺乏經(jīng)驗(yàn)上的恰當(dāng)性，與經(jīng)驗(yàn)觀察有很多不符，它就絕不能被科學(xué)家們接受。相反，一個(gè)理論如果在觀察上十分成功，那么即使它在其它品質(zhì)上有瑕疵，甚至是內(nèi)在不融貫的，也會(huì)被科學(xué)家們接受，比如現(xiàn)代物理學(xué)中的兩顆明珠——廣義相對(duì)論和量子力學(xué)，它們之間有著一種深刻的矛盾，至今仍然困擾著理論物理學(xué)家們，但它們?cè)谟^察上的驚人成功卻使科學(xué)家們普遍地接受它們。這樣，憑借經(jīng)驗(yàn)恰當(dāng)性這個(gè)品質(zhì)，也許就可以避免在自然科學(xué)的領(lǐng)域做出類似于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的麥蒂式結(jié)論。

對(duì)于麥蒂可能做出的以上辯解，我要指出的是，哥德爾實(shí)在論數(shù)學(xué)哲學(xué)中所包含的直覺恰當(dāng)性要求也可以充當(dāng)類似的角色，它要求那些自身缺乏直覺顯明性的數(shù)學(xué)公理，必須在其邏輯后承上與人們相關(guān)的數(shù)學(xué)直覺保持一致，比如集合論公理的算術(shù)結(jié)果應(yīng)當(dāng)與我們對(duì)標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)模型的直覺一致。事實(shí)上，哥德爾自己經(jīng)常將數(shù)學(xué)直覺和它在數(shù)學(xué)中的作用類比于感官知覺和它在物理學(xué)中的作用16哥德爾的這方面論述主要參見［2］和［3］。，比如在他1964年的文章《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)問題？》中他說：

但是，盡管它們離我們的感官經(jīng)驗(yàn)極為遙遠(yuǎn)，我們對(duì)集合論的對(duì)象仍然有某種類似于知覺的東西，這由如下事實(shí)可以看出，即公理迫使我們接受其為真。我看不到任何理由使得我們對(duì)這種知覺，即數(shù)學(xué)直覺比對(duì)感官知覺懷有較少的信心，后者引導(dǎo)我們建立物理理論，預(yù)期未來的感官知覺會(huì)與這些理論相符，并相信一個(gè)現(xiàn)在不能判定的問題有意義并可能會(huì)在將來得到判定。（［3］，第268頁）

當(dāng)然，麥蒂對(duì)此還可以反駁說，哥德爾的數(shù)學(xué)直覺理論很不充分，很難期望數(shù)學(xué)直覺在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)中能具有與感性知覺在物理學(xué)中具有的相類似的性質(zhì)和功能。但這樣一來，麥蒂對(duì)哥德爾實(shí)在論的批評(píng)就歸結(jié)為對(duì)哥德爾數(shù)學(xué)直覺學(xué)說的批評(píng)，失去其新穎性，因?yàn)楹笠环N批評(píng)早已是老生常談，其背后隱藏的則是關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)在論的貝納塞拉夫難題。

4　薄實(shí)在論及其立場(chǎng)下的連續(xù)統(tǒng)問題

在上一節(jié)我們看到，麥蒂認(rèn)為厚實(shí)在論與集合論實(shí)踐不相協(xié)調(diào)，因而拒斥厚實(shí)在論。但這里應(yīng)當(dāng)注意的是，導(dǎo)致麥蒂拒斥厚實(shí)在論的原因并不僅有這一個(gè)，更深刻的原因在于她不接受關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象實(shí)在性的不可或缺性論證，后者在她看來與自然科學(xué)實(shí)踐不符。（［6］）不過對(duì)此我不打算作更多的探討，那已超出本文的范圍。我們更關(guān)心的是，在拒斥了厚實(shí)在論后，關(guān)于數(shù)學(xué)的本性以及特別地，關(guān)于連續(xù)統(tǒng)問題的地位，應(yīng)該采取什么樣的立場(chǎng)。麥蒂認(rèn)為，其中一種可能的立場(chǎng)就是薄實(shí)在論。

根據(jù)麥蒂，薄實(shí)在論是這樣一種觀點(diǎn)，它認(rèn)為集合存在，集合論是一些真理的總體（a body of truth），并且“集合就是集合論所描述的東西”（［10］，第63頁）。因?yàn)榧险搹奈凑劶凹系臅r(shí)空和因果性質(zhì)，所以可以將非時(shí)空性、非因果性等否定性質(zhì)歸給集合。但關(guān)于集合的正面性質(zhì)，薄實(shí)在論只接受集合論里所斷言的那些，而拒絕作更多的形而上學(xué)探究。厚實(shí)在論試圖為集合論方法的可靠性提供一個(gè)非平凡的說明，薄實(shí)在論則將之看作是“關(guān)于集合之所是的平凡事實(shí)”（［10］），既然集合就是集合論所描述的東西，集合論方法當(dāng)然可以認(rèn)識(shí)它們，因而關(guān)于集合的認(rèn)識(shí)論難題和麥蒂所提出的集合論方法與集合的客觀實(shí)在性之間的矛盾都消失了。特別地，麥蒂以連續(xù)統(tǒng)問題為例說明兩種實(shí)在論的區(qū)別，在這個(gè)問題上，厚實(shí)在論想要一個(gè)“能夠以更實(shí)質(zhì)性的方式保證CH有意義的完整的形而上學(xué)理論”（［10］，第64頁），而薄實(shí)在論則通過對(duì)排中律的簡(jiǎn)單援引來說明CH的有意義性，至于為什么可以使用排中律，則僅僅是因?yàn)樗诩险搶?shí)踐事實(shí)上所蘊(yùn)含的方法中。

麥蒂聲稱伯杰斯（John P.Burgess）和斯蒂爾（John Steel）是上述薄實(shí)在論觀點(diǎn)的兩個(gè)代表（［9］，第368頁），而她自己對(duì)薄實(shí)在論的態(tài)度則更復(fù)雜。麥蒂的基本哲學(xué)立場(chǎng)是自然主義的，在這種立場(chǎng)下，麥蒂認(rèn)為薄實(shí)在論和非實(shí)在論（Arealism）是對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的同等恰當(dāng)?shù)拿枋觥＿@里的非實(shí)在論是和薄實(shí)在論相反的一種觀點(diǎn)，它斷言集合不存在，集合論不是一些真理的總體。某種程度上，非實(shí)在論可看作數(shù)學(xué)唯名論的一種形式，但與一般形式的唯名論不同的是，它不要求重新解釋數(shù)學(xué)陳述和改變數(shù)學(xué)實(shí)踐，在方法論層面上它與薄實(shí)在論無異。麥蒂關(guān)于薄實(shí)在論與非實(shí)在論同等合理的奇怪論點(diǎn)，本文不擬作更多的討論，我們僅專注于薄實(shí)在論。

關(guān)于薄實(shí)在論首先要考問的一個(gè)問題是，當(dāng)它斷言集合存在時(shí)是否是斷言集合的客觀實(shí)在性？答案似乎應(yīng)當(dāng)是肯定的。很難設(shè)想麥蒂可以作出某種類似于卡爾納普的框架內(nèi)和框架外問題區(qū)分的區(qū)分，因?yàn)樗且粋€(gè)自然主義者，并明確承認(rèn)她是在自然科學(xué)中就存在和真理等哲學(xué)問題發(fā)問。17例如，在文獻(xiàn)［8］中麥蒂將自己的自然主義與伯杰斯的自然主義進(jìn)行比較時(shí)，她著重強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。對(duì)她來說，斷言集合存在就像斷言原子存在一樣，是斷言相關(guān)對(duì)象的客觀實(shí)在性。然而薄實(shí)在論又宣稱，集合就是集合論所描述的東西，這似乎又暗示集合是集合論方法所構(gòu)造的，而非客觀實(shí)在的對(duì)象。因?yàn)榧偃缂鲜强陀^實(shí)在的，它就不會(huì)天然地配合集合論方法，正如麥蒂自己在批評(píng)厚實(shí)在論時(shí)所指出的那樣，集合論方法的可靠性就需要進(jìn)一步的說明，不能武斷論定集合就是集合論所描述的東西，正如不能武斷論定原子就是原子物理學(xué)所描述的東西。這樣看來，薄實(shí)在論就涉嫌一種自相矛盾的立場(chǎng)。薄實(shí)在論的動(dòng)機(jī)是回避貝納塞拉夫難題，通過斷言集合就是集合論所描述的東西，使集合論方法的可靠性成為關(guān)于集合之所是的平凡事實(shí)。但這樣做的代價(jià)是使集合成為某種不具有客觀實(shí)在性的東西，使實(shí)在論成為非實(shí)在論。

關(guān)于薄實(shí)在論的第二個(gè)問題是，它能賦予連續(xù)統(tǒng)問題以客觀的數(shù)學(xué)意義嗎？根據(jù)薄實(shí)在論，無需借助集合的形而上學(xué)性質(zhì)來為連續(xù)統(tǒng)問題的有意義性做保證，對(duì)排中律的簡(jiǎn)單援引就足夠了。根據(jù)排中律，要么CH成立，要么?CH成立，因而連續(xù)統(tǒng)問題就有一個(gè)確定的真值。對(duì)于排中律的這種應(yīng)用，哥德爾當(dāng)然也會(huì)同意，但在哥德爾看來，排中律之所以可以這樣應(yīng)用，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)象的客觀實(shí)在性，如果數(shù)學(xué)是心靈的創(chuàng)造，比如根據(jù)直覺主義，存在即在直覺中被構(gòu)造，排中律的應(yīng)用就在很多情況下是不合法的，這也導(dǎo)致直覺主義提出所謂“直覺主義邏輯”作為對(duì)數(shù)學(xué)中的古典邏輯的替代。當(dāng)然，薄實(shí)在論雖拒絕訴諸集合的形而上學(xué)性質(zhì)為排中律辯護(hù)，但也為排中律的可應(yīng)用性提供了自己的理由：排中律是集合論和更一般的經(jīng)典數(shù)學(xué)方法的一部分，麥蒂所堅(jiān)持的數(shù)學(xué)自然主義亦即數(shù)學(xué)在方法論上的自主性就保證了它的合法性。對(duì)于麥蒂的這樣一種觀點(diǎn)，我有如下兩個(gè)層次上的反駁。

首先，麥蒂必須說明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與其它一些特別的數(shù)學(xué)命題如幾何學(xué)中的平行公設(shè)的區(qū)別。顯而易見，在幾何推理中我們也使用排中律和它衍生的反證法，但現(xiàn)在卻沒有哪個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)因此認(rèn)為平行公設(shè)具有唯一確定的真值，相反人們一致同意，它僅在歐氏幾何中成立，在非歐幾何中則不成立。那么為何連續(xù)統(tǒng)假設(shè)就不能在一種集合論中成立，在另一種集合論中不成立呢？對(duì)此，麥蒂也許會(huì)說，這是因?yàn)榧险撆c幾何學(xué)具有不同的數(shù)學(xué)地位。集合論是全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，集合是比其他數(shù)學(xué)對(duì)象更真實(shí)的數(shù)學(xué)對(duì)象，因?yàn)槠渌磺袛?shù)學(xué)對(duì)象如幾何學(xué)的對(duì)象可以由集合構(gòu)造出來。在這個(gè)意義上，集合論是我們的元數(shù)學(xué)，各種幾何學(xué)則是我們?cè)谠獢?shù)學(xué)里探討的對(duì)象數(shù)學(xué)，它們?cè)谠獢?shù)學(xué)所提供的一種模型中是真的，在另一種模型中則是假的?？傊?，集合論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)角色決定了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在性質(zhì)上和平行公設(shè)不同，它可以從排中律得到唯一確定的真值的保證，我們可以有多種不同的幾何學(xué)，卻只能有一個(gè)集合論。然而，對(duì)于麥蒂這種可能的回應(yīng)，我們還可以這樣來答復(fù)：至少對(duì)于現(xiàn)有數(shù)學(xué)而言，充當(dāng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)角色的僅僅是ZFC下的集合論，而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)卻獨(dú)立于ZFC的公理，即使我們接受ZFC的絕對(duì)地位，將其作為我們的“絕對(duì)集合論”，又有什么理由阻止我們?cè)谒饣蛘哒f之上使集合論分叉呢？事實(shí)上，當(dāng)代集合論學(xué)家中提倡多宇宙集合論的形式主義者們，正是主張?jiān)赯FC判定范圍以外放棄數(shù)學(xué)命題具有唯一確定的真值的柏拉圖式想法的。在這種意義上，我認(rèn)為，麥蒂薄實(shí)在論對(duì)排中律的簡(jiǎn)單援引并不能如數(shù)學(xué)柏拉圖主義一樣賦予連續(xù)統(tǒng)假設(shè)以唯一確定的真值，至少麥蒂必須說明，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)究竟在何種深刻的意義上與平行公設(shè)不同，從而應(yīng)當(dāng)?shù)玫讲煌谖覀儗?duì)平行公設(shè)的對(duì)待。

其次，我們還可以對(duì)兩種來源的排中律的力量作一個(gè)更一般意義上的分析。在柏拉圖主義下，由于集合的客觀實(shí)在性，排中律意味著對(duì)任意的集合論命題φ，都有φ為真或?φ為真，但從數(shù)學(xué)實(shí)踐所蘊(yùn)含的方法論而來的排中律能有這種力量嗎？我認(rèn)為不能。在我看來，排中律作為數(shù)學(xué)方法論的合法成員，僅僅意味著我們的集合理論包含任意形如“φ∨?φ”的集合論命題（在相應(yīng)語言下的），并且因而反證法可以在集合論證明中應(yīng)用，但它卻不能保證我們的數(shù)學(xué)理論必然包含φ或?φ。用數(shù)理邏輯為我們提供的概念來表達(dá)，我的看法是，集合論方法所決定的理論等效于｛φ|Γ?φ｝（即Th（Γ）），而集合的客觀宇宙所決定的理論等效于｛φ|A|=φ｝（即Th（A）），這里Γ是集合論的公理集（如ZFC或它的擴(kuò)張），A則表示那個(gè)客觀的集合宇宙（假如它存在的話）。對(duì)于任意的集合論命題φ，都有A|=φ或A/|=φ，但根據(jù)哥德爾第一不完全性定理，卻并非都有Γ?φ或Γ/?φ，雖然我們可以按照前文介紹的、主要由哥德爾和麥蒂所描述的那些方法論原則不斷地尋找新的公理來加強(qiáng)Γ。

薄實(shí)在論試圖避免厚實(shí)在論的困難，特別是集合論方法的可靠性問題，但由以上的分析可以看出，它既無法在保證自身一致性的前提下做到這一點(diǎn)，也無法像厚實(shí)在論那樣賦予連續(xù)統(tǒng)問題以客觀意義。因而它對(duì)于厚實(shí)在論的優(yōu)越性很值得懷疑。然而也許應(yīng)當(dāng)表明的是，我雖然對(duì)薄實(shí)在論有種種異議，在此卻不是要為厚實(shí)在論辯護(hù)，那是另外一個(gè)問題。

［1］ P.Benacerraf，1983，“Mathematical truth”，in P.Benaceraf and H.Putnam（eds.），PhilosophyofMathematics（2ndedition），pp.403-420，Cambridge：CambridgeUniversity Press.

［2］ K.G?del，1995，“Is mathematics syntax of language？”，in S.Feferman（ed.），Kurt G?del's Collected Works：Volume III，pp.334-356，Oxford：Oxford University Press.

［3］ K.G?del，1995，“What is Cantor's continuum problem？”，in S.Feferman（ed.），Kurt G?del's Collected Works：Volume II，pp.254-270，Oxford：Oxford University Press.

［4］ T.Jech，2003，Set Theory：The Third Millennium Edition，Revised and Expanded，Heidelberg：Springer-Verlag Press.

［5］ P.Maddy，1990，Realism in Mathematics，Oxford：Oxford University Press.

［6］ P.Maddy，1992，“Indispensability and practice”，Journal of Philosophy，89：275-289.

［7］ P.Maddy，1997，Naturalism in Mathematics，Oxford：Oxford University Press.

［8］ P.Maddy，2005，“Three forms of naturalism”，in S.Shapiro（ed.），Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic，pp.437-459，Oxford University Press.

［9］ P.Maddy，2007，Second Philosophy：A Naturalistic Method，Oxford：Oxford University Press.

［10］ P.Maddy，2011，Defending the Axioms：On the Philosophical Foundations of Set Theory，Oxford：Oxford University Press.

［11］ W.V.Quine，1976，“Posits and reality”，The Ways of Paradox（Revised and Enlarged Edition），pp.246-254，Harvard University Press.

［12］ 郝兆寬，施翔暉，楊躍，“連續(xù)統(tǒng)問題與?猜想”，邏輯學(xué)研究，2010年第4卷第4期，第30-43頁。

（責(zé)任編輯：崔建英）

Abstract

KurtG?del'sPlatonicreactiontotheindependenceofthecontinuumproblemincurs a criticism from Penelope Maddy.As a possible replacement，Maddy proposes the socalled“ThinRealism”.Inthispaper，thewritertriestoarguethatMaddy'scriticismisnot so powerful as it seems，and Thin Realism as an ontological stance，can be suspected of containing a kind of self-inconsistency.And particularly，Thin Realism cannot provide the continuum problem an objective sense as Robust Realism does.

The Continuum Problem and Thin Realism

Kun Gao
Department of Philosophy，Peking University
gaokun_ps@163.com

B81

A

2015-04-23；

2015-09-09