數(shù)學猜想及猜想方法

段勝梅

摘 要：數(shù)學猜想作為人們認識世界的重要方法，在人們發(fā)現(xiàn)自然界規(guī)律的進程中發(fā)揮了重要的作用。本文從數(shù)學猜想的概念出發(fā)，總結了當前數(shù)學界廣泛使用的數(shù)學猜想的方法并分析其在數(shù)學教學中的應用，以為在教學中培養(yǎng)學生應用數(shù)學猜想的能力提供借鑒。

關鍵詞：數(shù)學教學；數(shù)學猜想；猜想方法

所謂數(shù)學猜想是指根據(jù)某些已知的事實，材料和數(shù)學知識，以已有的數(shù)學理論和方法為指導，對未知的量及其關系所作的一種預測性的推斷，它是數(shù)學研究常用的一種科學方法，又是數(shù)學發(fā)展的一種重要形式。猜想作為一種手段，目的是為了驗證猜想的正確性。拉喀托斯指出：樸素的猜想構成了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的邏輯實際出發(fā)點。“數(shù)學事實首先是被猜想，然后才被證實?！辈孪胧且环N合情推理，它與論證所用的邏輯推理相輔相成。對于未給出結論的數(shù)學問題，猜想的形式有利于解題思路的正確誘導；對于已有結論的問題，猜想也是尋求解題思維策略的重要手段。

一、數(shù)學猜想的概念

猜想是對研究的對象或問題進行觀察、分析、比較、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料和知識做出符合一定的經(jīng)驗與事實的推測性想象的思維方法。人們認識事物是一個復雜的過程，往往需要經(jīng)歷若干階段才逐漸從現(xiàn)象認識到事物的本質(zhì)。開始只能根據(jù)已有的部分事實及結果，運用某種判斷推理的思維方法，對某類事實和規(guī)律提出一種推測性的看法，這種推測性的看法就是猜想。猜想是人們依據(jù)事實、憑借直覺所做出的合理推測，是一種創(chuàng)造性的思維活動，具有真實性、探索性、靈活性和創(chuàng)造性等基本特點。

二、數(shù)學猜想的方法和在數(shù)學教學中的應用

怎樣教猜想？當然首先要鼓勵學生大膽去猜，引導學生猜，發(fā)展學生的實驗、觀察能力，教給學生歸納、類比等方法。另外，還特別要發(fā)展想象力。因為“猜想”離不開想象，“想象力是科學研究中的實在因素”，它比知識更重要，所以，我們要挖掘教材的潛力，放手讓學生大膽想象，實現(xiàn)猜想的途徑，可以探索實驗、類比、歸納、直覺、非常規(guī)以及它們之間的組合等。

（一）直覺猜想。數(shù)學直覺是一種直接反映數(shù)學對象結構關系的心智活動形式，它是人腦對于某種直接的領悟或洞察。它在運用知識組塊和直感時都得進行適當?shù)募庸?，將腦中的與當前問題相似的塊，通過不容的直接進行聯(lián)結，它對問題的分解、改造整合加工具有創(chuàng)造性的加工。數(shù)學直覺是可能產(chǎn)生的，也是可以加以培養(yǎng)的。數(shù)學直覺的基礎在于數(shù)學知識的組塊和數(shù)學形象直感的生長。因此如果一個考生在解決數(shù)學新問題時能夠?qū)λ慕Y論做出直接的迅速的領悟，那么我們就應該認為這是數(shù)學直覺的表現(xiàn)，無數(shù)事實證明，如果沒有直覺思維，就沒有假說和猜想，創(chuàng)造發(fā)明也就不復存在。在日常生活和工作中，如果沒有直覺思維，人就會表現(xiàn)出優(yōu)柔寡斷。在學生的學習過程中也是離不開直覺思維的，如有時表現(xiàn)為學生提出“怪”問題，有時表現(xiàn)為突然“悟”出一個道理，有時表現(xiàn)為別出心裁地“應急”性回答，有時在腦海中出現(xiàn)一種新奇景象等等，均是直覺思維活躍的反映，如著名的“哥德巴赫猜想”等。

（二）類比猜想。類比猜想是根據(jù)兩個事物之間類似或相同的特點。猜想出它們類似或相同的規(guī)律的一種數(shù)學思想方法。我國古代數(shù)學家劉微說：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知。發(fā)其一端而已?！币虼耍n堂教學活動中應重視類比思想的一般思路是：“觀察——聯(lián)想——類比——猜想?！痹谶@一過程中聯(lián)想是基礎，類比是關鍵，猜想是飛躍。類比的事物是參照。類比猜想雖然是解決問題的捷徑，但是只有本質(zhì)相同的兩個問題才能進行類比，否則將導致錯誤的結果。

（三）驗證猜想。數(shù)學猜想和數(shù)學證明是數(shù)學學習中兩個相輔相成、密切聯(lián)系的方面。所以波利亞提出，數(shù)學猜想的方法與數(shù)學證明的方法“必須兩樣都教”。上述多個數(shù)學猜想，都需要數(shù)學證明來檢驗其準確性。在學生有初步的猜想后，教師要積極鼓勵學生開闊思維，給學生營造一種寬松和諧的良好猜想范圍，鼓勵學生積極尋找猜想的依據(jù)，索求猜想的合理性和準確性，不迷信已有證據(jù)，不滿足現(xiàn)成答案，通過自己的實踐操作來檢驗猜想的真?zhèn)?。如教學“數(shù)學廣角”中，學生已經(jīng)具備了簡單的有關知識，會用實際來計算，給學生各種簡單的條件，讓學生通過去做、做出來去觀察等辦法，提出猜想，再驗證，得到正確的結果。經(jīng)常讓學生經(jīng)歷猜想—驗證—獲取的過程，學生的創(chuàng)造能力才能得到發(fā)展。在小學數(shù)學中應用猜想來發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的例子比比皆是。讓學生猜想，既能激發(fā)學生的學習積極性，又可使學生的觀察力、注意力、概括能力、想象能力得到發(fā)展，所以說，從培養(yǎng)學生能力這個意義上說，教會學生猜想比教會學生知識更重要。讓我們結合中學生的年齡特點，結合教材的實際內(nèi)容，采取各項措施手段，培養(yǎng)中學生的“數(shù)學猜想力”，提高他們的數(shù)學水平。

（四）猜想與歸納。數(shù)學猜想是迷人的，適當?shù)牟孪氤３龠M數(shù)學的發(fā)展，并且數(shù)學中許多結論的發(fā)現(xiàn)，都是靠猜想得到的，因此在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生猜想能力是必需的。觀察在培養(yǎng)猜想能力的過程中起著非常重要的作用。因此在教學中，從特殊結論的觀察中引導學生猜想，培養(yǎng)學生歸納能力，是培養(yǎng)學生猜想能力的一種重要途徑。

數(shù)學猜想常常是數(shù)學理論的萌芽和胚胎，因此它具有創(chuàng)新性，創(chuàng)新是數(shù)學猜想的靈魂，沒有創(chuàng)新就沒有猜想。一個學科只有大量的問題提出，才能使它永葆青春。正因為歷史上有諸如哥德巴赫猜想、費爾馬猜想等猜想的提出，數(shù)學科學才發(fā)展到今天壯觀的現(xiàn)代數(shù)學。猜想作為一種直覺思維活動，雖然在很大程度上依賴于靈感或超前思維。但作為一種思維活動，也存在著自身的一些規(guī)律，這些規(guī)律的掌握，對于學生掌握正確的方法，培養(yǎng)與提高能力往往起著事半功倍的作用，在數(shù)學教學中應用數(shù)學猜想，具備十分積極的作用和重大的意義。