感悟“對(duì)應(yīng)”把握本質(zhì)理解函數(shù)

韓新正

【摘要】函數(shù)概念起始課教學(xué)以“概念引入的必要性，感受概念產(chǎn)生過程，感悟概念中核心元素的關(guān)系，從而理解函數(shù)本質(zhì)”為教學(xué)主線，通過“為什么要研究變量之間的關(guān)系——感悟兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系——正確理解兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系——函數(shù)的概念——概念鞏固”等教學(xué)環(huán)節(jié).激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，感知函數(shù)概念產(chǎn)生的必要性.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)概念；兩個(gè)變量；對(duì)應(yīng)關(guān)系；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

我們經(jīng)常進(jìn)行重要概念的起始課教學(xué).傳統(tǒng)的起始課教學(xué)一般是通過創(chuàng)設(shè)情境引入概念，再對(duì)概念進(jìn)行定義、辨析、鞏固、運(yùn)用等，通過界定概念外延，分析概念內(nèi)涵來理解概念.但這一教學(xué)過程少了“為什么要引入概念”的分析，少了學(xué)生對(duì)“概念中核心元素及其關(guān)系”的感悟過程，少了對(duì)“概念的產(chǎn)生既是生活實(shí)際的需要，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的結(jié)果”的認(rèn)識(shí)，學(xué)生就會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)新概念少了一份沖動(dòng)，甚至不明白學(xué)習(xí)新概念的意義，進(jìn)而影響教學(xué)效果.下面，筆者以自己執(zhí)教的一節(jié)市級(jí)公開課為例，以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中“初步學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”精神為指導(dǎo)，以“概念引入的必要性，感受概念產(chǎn)生過程，感悟概念中核心元素的關(guān)系，從而理解函數(shù)本質(zhì)”為教學(xué)主線，談?wù)劯拍钇鹗颊n教學(xué)的著力點(diǎn)，所用教材為《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（蘇科版）八年級(jí)上》的“第六章一次函數(shù)”，供大家交流.

1設(shè)計(jì)理念

章建躍教授指出：“核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)必須實(shí)現(xiàn)從工具性理解到關(guān)系性理解的過渡.這就要求在核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要重點(diǎn)考慮概念的來源、相關(guān)概念及其關(guān)系、概念的作用（新知識(shí)的詮釋、舊知識(shí)的翻新）等，并更要突出概念形成的過程性.特別值得注意的是，核心數(shù)學(xué)概念的形成不是一蹴而就的，常常需要幾節(jié)課或一個(gè)階段才能完成概念建構(gòu)，甚至是一個(gè)長(zhǎng)期、動(dòng)態(tài)的建構(gòu)過程，函數(shù)概念就是最典型的例證”.本節(jié)課既是從研究常量轉(zhuǎn)為研究變量關(guān)系的起始課，又是正式學(xué)習(xí)函數(shù)的開始，函數(shù)概念比較抽象，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，所以本節(jié)課主要是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，感知函數(shù)概念產(chǎn)生的必要性.由于在初中階段會(huì)多次學(xué)習(xí)不同函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)概念的理解可以通過較長(zhǎng)的時(shí)間去感悟、認(rèn)同、內(nèi)化，而不必在第一節(jié)課就對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行嚴(yán)格定義，否則會(huì)讓學(xué)生對(duì)其望而生畏.基于上述分析，本案例設(shè)計(jì)采取概念形成教學(xué)法，線索如下：為什么要研究變量之間的關(guān)系——感悟兩個(gè)變量的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系———正確理解兩個(gè)“變量”的對(duì)應(yīng)關(guān)系——函數(shù)的概念——概念鞏固.

2課堂簡(jiǎn)錄

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引入常量和變量的概念.

環(huán)節(jié)2：感悟兩個(gè)變量的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系

教師：請(qǐng)看下面的例子并思考如下問題：1.在這一變化過程中，有哪些變量？2.這些變量之間有關(guān)系嗎？用什么樣的語言來描述這種關(guān)系呢？3.為什么要研究蓄水量和水位的關(guān)系？如果水位確定，而蓄水量不確定，研究還有意義嗎？

（時(shí)間5分鐘，其間大家可以討論）.

情境1：某水庫水位的高低與相應(yīng)的蓄水量如下表：

水位/m106120133135…

蓄水量/m32.30×1077.09×1071.18×1081.23×108…

學(xué)生1：有兩個(gè)變量，水位和蓄水量.

教師：水位變化和蓄水量變化有關(guān)系嗎？

學(xué)生2：，有關(guān)系，水位變化，蓄水量也隨著變化，從上表看出，每一個(gè)水位都對(duì)應(yīng)一個(gè)蓄水量.

教師：假如一個(gè)水位對(duì)應(yīng)幾個(gè)蓄水量，比如，水位106m時(shí)，蓄水量是2.30×107m3或者2.31×107m3，研究還有意義嗎？

學(xué)生3：應(yīng)該沒有吧，當(dāng)水位確定而蓄水量不確定，也就是我們無法根據(jù)水位判斷蓄水量，這樣的研究沒有意義.

教師：通過上面的分析，大家說說為什么要研究蓄水量和水位的關(guān)系？

學(xué)生4：便于觀察，要知道蓄水量多少，只要看一下對(duì)應(yīng)的水位即可，可以在水庫里豎一塊刻度尺，旁邊的銘牌寫著對(duì)應(yīng)表，大家一看刻度尺，對(duì)照銘牌就知道水庫的蓄水量.

學(xué)生5：可以化未知為已知，我要知道水庫的蓄水量可以轉(zhuǎn)化為測(cè)量水位，平時(shí)蓄水量不好測(cè)量，但水位很好測(cè)量.

學(xué)生6：可以化難為易，測(cè)量蓄水量工作難度大，但測(cè)量水位比較容易.

教師：上述圖表給你印象最深的是什么？

學(xué)生7：對(duì)應(yīng)關(guān)系（經(jīng)過師生的反復(fù)交流而得出）.

教師：請(qǐng)大家再舉一些生活中的例子，感悟?qū)?yīng)思想.

學(xué)生8：我在菜場(chǎng)看到一個(gè)賣魚的，他用的是桿秤（不是電子秤），他只要把魚的重量一秤好，就立即報(bào)出多少錢，開始我覺得他的計(jì)算能力很強(qiáng)，后來知道他原來是把魚的重量和價(jià)錢對(duì)應(yīng)好了，然后記熟了，所以，一有重量就知道多少錢，也是對(duì)應(yīng)關(guān)系.

學(xué)生9：我一直在思考一個(gè)問題，沒有人用刻度尺去測(cè)量汽車走的路程，汽車上的里程表的數(shù)據(jù)是怎么來的呢？后來查資料知道，是由車輪的周長(zhǎng)乘以車輪的轉(zhuǎn)數(shù)確定，車輪的周長(zhǎng)是常量，這樣汽車行駛的路程就由轉(zhuǎn)數(shù)確定了，也是對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教師：剛才我們是通過圖表體會(huì)兩個(gè)變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系，還有其他的方式嗎？看看下面的例子.

情境2：如圖1，把一點(diǎn)水激起的波紋看成是一個(gè)不斷向外擴(kuò)展的圓.1.在這一變化過程中，有哪些變量？2.這些變量之間有關(guān)系嗎？用什么樣的語言來描述這種關(guān)系呢？3.為什么要研究圓的面積和半徑的關(guān)系？如果半徑確定，而圓的面積不確定，研究還有意義嗎？

學(xué)生10：有四個(gè)變量，半徑、直徑、周長(zhǎng)、面積

教師：我們不妨先研究其中兩個(gè)變量的關(guān)系，比如半徑和面積，半徑和面積有關(guān)系嗎？

學(xué)生11：有關(guān)系，小學(xué)就學(xué)過s=πr2，

教師：下面我就來體會(huì)式子s=πr2是怎么對(duì)應(yīng)的，大家從特殊值開始進(jìn)行嘗試.

學(xué)生12：當(dāng)r=1時(shí)，s=π；r=2時(shí)，s=4π；r=3時(shí)，s=9π，r=4時(shí)，s=16π……列成表格如下：這就和上個(gè)例子一樣，s和r是對(duì)應(yīng)的.

情境3：在太陽和月球引力的影響下，海水定時(shí)漲落的現(xiàn)象稱為海洋潮汐，漲落的水位高低稱為潮位.圖2是我國(guó)某海港某天的實(shí)時(shí)潮位圖，請(qǐng)從圖像中去體會(huì)兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教師：請(qǐng)根據(jù)情境1、2的提示，從圖像中去體會(huì)兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

學(xué)生13：圖像上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)都由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)組成，當(dāng)橫坐標(biāo)變化時(shí)，圖像上該點(diǎn)的縱坐標(biāo)也隨著變化，也就是每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的.

教師：大家在平面直角坐標(biāo)系中畫出各種圖形，感受這種對(duì)應(yīng)關(guān)系.大家總結(jié)一下有幾種方法來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

師生共同完成，得出可以通過圖表、關(guān)系式、圖像來表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

環(huán)節(jié)3：正確理解兩個(gè)變量的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系

教師：上面我們感受了兩個(gè)變量之間的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系，那么如何正確理解“對(duì)應(yīng)”呢？也就是“對(duì)應(yīng)”應(yīng)該包含哪些內(nèi)容？先獨(dú)立思考，討論后交流.

學(xué)生14：這種“對(duì)應(yīng)”應(yīng)該是在兩個(gè)變量之間，通過一個(gè)變量可以求出另一個(gè)變量

學(xué)生15：其中一個(gè)變量變化，另一個(gè)變量也隨著變化.

教師：對(duì)“其中一個(gè)變量變化，另一個(gè)變量也隨著變化”中的兩個(gè)“變化”有限制要求嗎？

學(xué)生16：根據(jù)情境1、2、3的討論，我理解為當(dāng)一個(gè)變量確定時(shí)，另一個(gè)變量也隨著確定，這樣研究變量間的關(guān)系才有意義，比如，情境1中當(dāng)水位為106m時(shí)，如果蓄水量不確定，這樣研究就沒有意義，所以我覺得“另一個(gè)變量也隨著變化”中的變化是“變化且確定”.

教師：通過討論，大家明確上述實(shí)例的核心是“對(duì)應(yīng)”而不是“變量”，是“兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”.這就是我們今天要講的核心內(nèi)容“函數(shù)的概念”，結(jié)合剛才的討論，試著給函數(shù)下定義.

……

教師板書：一般地，在一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量.

環(huán)節(jié)4：函數(shù)概念及辨析

環(huán)節(jié)5：課堂練習(xí)及小結(jié).

限于篇幅，此處省略.

3理念闡述及其對(duì)教學(xué)的啟示

為什么把“感悟、理解變量之間對(duì)應(yīng)的關(guān)系”作為本節(jié)課的著力點(diǎn)，而不把“概念的定義和辨析”作為本節(jié)課的著力點(diǎn)，是基于以下考慮，同時(shí)，這樣的設(shè)計(jì)對(duì)概念起始課的教學(xué)有很大的啟示作用.

3.1概念起始課教學(xué)要著力于讓學(xué)生感知概念產(chǎn)生的必要性

為什么要產(chǎn)生新概念，新概念的產(chǎn)生是憑空想象的嗎？本節(jié)課通過大量的生活實(shí)例，比如水位和蓄水量的“對(duì)應(yīng)”、圓的面積和半徑的對(duì)應(yīng)、潮位和時(shí)刻的對(duì)應(yīng)、重量和價(jià)錢的對(duì)應(yīng)、里程和車輪轉(zhuǎn)數(shù)的對(duì)應(yīng)等等，讓學(xué)生感知新概念產(chǎn)生的必要性，它既是生活實(shí)際的需要，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的必然，不搞清楚概念產(chǎn)生的背景，學(xué)生的學(xué)習(xí)也就沒有方向，而糊涂的學(xué)習(xí)必然導(dǎo)致效果低下.所以，起始課上讓學(xué)生明確概念產(chǎn)生的必要性比概念的學(xué)習(xí)更重要.

3.2概念起始課教學(xué)要著力于讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

“感悟、理解變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”作為本節(jié)課的著力點(diǎn)，能使學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，了解概念的來龍去脈.“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀”指出：數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)把注意力唯一地集中于數(shù)學(xué)活動(dòng)的最終產(chǎn)物，而應(yīng)更加注意活動(dòng)本身，教學(xué)不僅要重視學(xué)生獲得的知識(shí)技能，而且要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得基本經(jīng)驗(yàn)，感悟基本思想，幫助學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣等.本案例通過學(xué)生反復(fù)體會(huì)、感悟兩個(gè)變量的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系過程，學(xué)生不僅能獲得函數(shù)的知識(shí)，更獲得了在探究函數(shù)過程中的“隱性數(shù)學(xué)知識(shí)”——數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).建構(gòu)主義理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)實(shí)際上是新舊知識(shí)互相作用的結(jié)果，學(xué)習(xí)是每個(gè)學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的主動(dòng)的建構(gòu)過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，運(yùn)用已有的知識(shí)認(rèn)識(shí)新情境，解釋新問題，并把新的學(xué)習(xí)內(nèi)容納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而完成新知識(shí)的學(xué)習(xí).本節(jié)課通過對(duì)多個(gè)情境的設(shè)計(jì)，以及學(xué)生聯(lián)系實(shí)際的舉例，運(yùn)用的都是以前學(xué)過的知識(shí)，如圖表、關(guān)系式、圖像等，但不斷讓學(xué)生在新情境中去理解“兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，確是新問題、新知識(shí)，這種讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念形成的過程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)函數(shù)概念的教學(xué)會(huì)讓學(xué)生終身受益.

另外，感悟、體會(huì)、理解是一個(gè)內(nèi)化吸收的緩慢過程，教師通過放慢教學(xué)節(jié)奏，使學(xué)生有更多獨(dú)立思考的時(shí)間.慢的是教學(xué)節(jié)奏，收獲的是學(xué)生思維能力的提升.而思維能力的培養(yǎng)應(yīng)該是每節(jié)課教學(xué)的著力點(diǎn).

3.3概念起始課教學(xué)要避免不顧學(xué)生認(rèn)知規(guī)律一味追求概念的嚴(yán)密性

概念的嚴(yán)密性和學(xué)生認(rèn)知水平之間是一對(duì)矛盾.怎樣解決這對(duì)矛盾呢？著名教研員裴光亞先生說：“變化”不是函數(shù)的本質(zhì)，可以用式子表達(dá)也不是函數(shù)的本質(zhì)，“對(duì)應(yīng)”才是函數(shù)的本質(zhì).我們可不可以為了這個(gè)本質(zhì)從“集合”和“對(duì)應(yīng)”出發(fā)呢？如果那樣，從數(shù)學(xué)的邏輯來講，當(dāng)然是很好的.可是，學(xué)生呢？對(duì)教學(xué)來講，再好的數(shù)學(xué)，不滿足學(xué)生的接受心理又有什么用？所以，一切從實(shí)際出發(fā)，從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀出發(fā)，必須從不嚴(yán)格出發(fā)，為抵達(dá)嚴(yán)格預(yù)設(shè)通道直至抵達(dá)嚴(yán)格；為了適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，本節(jié)課沒有采取“情境導(dǎo)入——定義概念——概念辨析——概念鞏固”的同化教學(xué)模式，是因?yàn)樵撃Ｊ竭^于強(qiáng)調(diào)對(duì)概念的深化理解.而是設(shè)計(jì)為在“感悟、理解變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”之后得出概念，雖然過程不太嚴(yán)謹(jǐn)，但對(duì)函數(shù)“對(duì)應(yīng)”本質(zhì)揭示充分，學(xué)生在充分理解概念產(chǎn)生的必要性之后，老師又著力于讓學(xué)生對(duì)概念前置的感知，然后得出概念就水到渠成.教學(xué)過程符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，是當(dāng)前學(xué)段最好的教學(xué)選擇.另外，由于函數(shù)的學(xué)習(xí)時(shí)間跨度很大，對(duì)函數(shù)概念理解沒有必要一次性到位，

也許本節(jié)課淡化對(duì)概念的枯燥理解，側(cè)重對(duì)函數(shù)“對(duì)應(yīng)”的感知是尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和課程標(biāo)準(zhǔn)的具體體現(xiàn).

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