一道中考填空壓軸題的命制

蔡衛(wèi)兵

筆者有幸參加了2015年浙江寧波中考命題工作，在此談?wù)劸唧w的命制歷程和體會(huì)，以期與大家交流、研討.

1命題立意

一是反比例函數(shù)中的坐標(biāo)乘積不變性和面積不變性可分別看作反比例函數(shù)的代數(shù)不變性和幾何不變性，它們反映了雙曲線的代數(shù)與幾何的統(tǒng)一性，也是雙曲線的核心性質(zhì)，是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，理應(yīng)成為考查的重點(diǎn)；二是反比例函數(shù)容易與其他知識(shí)建立聯(lián)系，使試題具有綜合性和靈活性.命題組在商定命題雙向細(xì)目標(biāo)時(shí)達(dá)成共識(shí)，確定在填空題部分命制一道以反比例函數(shù)為載體的壓軸題，但要避免思路陳舊，方法雷同問(wèn)題，主要涉及方程、函數(shù)、圖形與坐標(biāo)、簡(jiǎn)單的幾何圖形的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系等知識(shí)，要求借助幾何直觀與函數(shù)問(wèn)題對(duì)數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行綜合考查，融觀察、發(fā)現(xiàn)、計(jì)算、探究于一體，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生探究能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

2命題過(guò)程

2.1尋題根，思題源

原題1如圖1，函數(shù)y=1x和y=-3x的圖象分別是l1和l2.PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點(diǎn)B，則△PAB的面積為.

原題2如圖2，函數(shù)y=1x和y=-3x的圖象分別是l1和l2.PA⊥x軸，交l2于點(diǎn)A，PB⊥y軸，交l2于點(diǎn)B，以PA，PB為邊作矩形PACB，則矩形PACB的面積為.

命題組查閱了大量習(xí)題，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結(jié)合起來(lái)，較好地將知識(shí)與能力融合在一起，考查的題型廣泛，考查方法靈活，轉(zhuǎn)化思想引領(lǐng)，數(shù)形結(jié)合搭橋，使解決問(wèn)題時(shí)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果.諸如原題1和原題2，在陳述信息上突出函數(shù)圖象、垂直坐標(biāo)軸和面積，借助反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)或利用反比例函數(shù)k的幾何意義便能求解，但不管求△PAB的面積還是求矩形PACB的面積，甚至求△OAB的面積等等看似“舊貌換新顏”，實(shí)質(zhì)是“穿新鞋走老路”，學(xué)生完全可以通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)掌握解題規(guī)律，大大降低考查的效度.依據(jù)不使用成題的命題原則，命題組決定在直觀圖形中將三角形或矩形隱藏起來(lái)，在陳述信息上不出現(xiàn)面積，由此進(jìn)行改造得到如下初稿.

2.2試編題，品初稿

初稿1如圖3，點(diǎn)A、B分別為函數(shù)y=1x（x>0）和y=-3x（x<0）的圖象上的點(diǎn)，AB∥x軸，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，AB=2，AB與CD的距離為5，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

初稿1利用兩條雙曲線和平行四邊形組合構(gòu)造圖形，主要涉及函數(shù)、圖形與坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合、方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，解題方法也比較靈活多樣，如解法1（代數(shù)解法）：設(shè)A（（a，1a），B（a-2，-3a-2），則1a=-3a-2，所以a=12，即A（（12，2），所以D（0，7）或D（0，-3），所以C（-2，7）或C（-2，-3）.解法2（幾何解法）：如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為F，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可知矩形ABFE的面積為4，因?yàn)锳B=2，所以AE=2，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為7或-3，所以C（-2，7）或C（-2，-3）.比較兩種解法，顯然設(shè)點(diǎn)代入的代數(shù)解法的思維要求較低，計(jì)算難度不大，一方面學(xué)生都會(huì)選擇此種解法，不能有效地考查反比例函數(shù)的幾何不變性，另一方面難度偏低，不能在填空壓軸上進(jìn)行明顯的區(qū)分，不能很好地體現(xiàn)選拔性.

命題組在研討中意識(shí)到因?yàn)榻o定解析式而造成容易求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，能否改造問(wèn)題的問(wèn)法，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)，求反比例函數(shù)中的k值，同時(shí)滲透更多的數(shù)學(xué)思想的考查，以進(jìn)一步提升題目的難度，達(dá)到壓軸目的，為此進(jìn)行再次改造得到如下初稿.

初稿2如圖5，點(diǎn)A（-2，-2），點(diǎn)B（1，-2），平行四邊形ABCD的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D分別為函數(shù)y=ax（a>0）和y=bx（b<0）的圖象上的點(diǎn)，AB與CD的距離為5，則a-b的值為.

23研究題，定正稿

如此修改，進(jìn)一步在直觀圖形中隱去圖形，需要學(xué)生根據(jù)平行四邊形的特征以及ABCD的書寫要求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、操作、猜想、驗(yàn)證、計(jì)算、探究等基本數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生對(duì)于解決問(wèn)題的思考，由圖6采用設(shè)而求之的代數(shù)解法和幾何意義的面積求法都易求得a-b=9，在求解過(guò)程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和整體思想.但也意識(shí)到部分學(xué)生誤將點(diǎn)C的坐標(biāo)當(dāng)成（1，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)當(dāng)成（-2，3），而結(jié)果求得仍然正確，也會(huì)部分學(xué)生因忽視ABCD的書寫要求而進(jìn)行分類討論，求得當(dāng)CD在AB的下方時(shí)a-b=21，這樣必然影響試題的信度和效度.幾番周折，幾番打磨，基本達(dá)到預(yù)設(shè)的目標(biāo).

已知點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)y=ax（a>0）的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)y=bx（b<0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則的值是.

題意含蓄，內(nèi)容豐富，借助學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，把畫圖操作、觀察發(fā)現(xiàn)、計(jì)算探究融合在一起來(lái)考查學(xué)生的幾何直觀、數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力，思維水平較高，在壓軸的難度設(shè)計(jì)要求上是充分的.但由于隱去圖形以及A，B，C，D的位置，根據(jù)要求畫出滿足要求的圖形的難度較大，而且分類討論情形復(fù)雜（A，C在同一分支或不同分支，相應(yīng)的AB與CD在軸同側(cè)或異側(cè)），需要逐一嘗試和排除，在計(jì)算中也有較大的迷惑性，一道填空題所花時(shí)間過(guò)多，在一定程度上也影響試卷的信度和效度.考慮到學(xué)生的探究能力，決定給出圖形和添加限制條件的措施降低難度，形成定稿.圖7

如圖7，已知點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)y=ax（a>0）的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)y=bx（b<0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側(cè)，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

思考梳理上述思維過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)解法1與解法2抓住雙曲線上的關(guān)鍵點(diǎn)，利用反比例函數(shù)中的坐標(biāo)乘積不變性進(jìn)行巧設(shè)元，通過(guò)攻破一點(diǎn)，再擊其余.先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后表示點(diǎn)D，A，B的坐標(biāo)，通過(guò)這一方法能將特殊的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系進(jìn)行溝通與關(guān)聯(lián)，有理有據(jù)，但用字母表示圖中有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段的長(zhǎng)度或關(guān)系，體現(xiàn)出符號(hào)意識(shí)，特別是A，B的坐標(biāo)的表示需要通過(guò)代數(shù)式的運(yùn)算進(jìn)行數(shù)式的變形是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)的重要形式，過(guò)程比較靈活，結(jié)果有點(diǎn)繁瑣，同時(shí)所得的方程組稍許復(fù)雜，解方程組需要一定的技巧性處理，更多地是對(duì)方程組m-mba=2，mba-5m-maa-5m=3缺乏整體思想和目標(biāo)意識(shí)而無(wú)從下手，從而導(dǎo)致半途而廢.解法3中所用到反比例函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵和添加輔助線的重要信息源，基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)積累和解題策略，聯(lián)想構(gòu)造矩形，易得a即為反比例函數(shù)y=ax（a>0）的圖象上的點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形面積，-b即為反比例函數(shù)y=bx（b<0）的圖象上的點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形面積，要求的a-b的值與矩形CDHG、矩形ABFE的面積相等，較好地運(yùn)用了構(gòu)造、化歸、方程等思想方法.用此方法甚是簡(jiǎn)單，選擇解法3的優(yōu)勢(shì)是不言而喻，但輔助線的添加與矩形的構(gòu)造有一定的難度，需要善于聯(lián)想與善于轉(zhuǎn)化，否則思路易于受阻.綜合而言，難度系數(shù)04左右，能發(fā)揮中考的選拔功能.

25變式題，悟通法

反比例函數(shù)的幾何不變性隱約閃現(xiàn)的“矩形”，可使題中量之間關(guān)系變得簡(jiǎn)單明了，可謂樸實(shí)蘊(yùn)藏奇異，那它能成為通性通法嗎？為此繼續(xù)探究將問(wèn)題進(jìn)行變式：

變式1如圖9，已知點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)y=ax（a>0）的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)y=bx（b>0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的同側(cè)，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

變式2如圖10，已知點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)y=ax（a>0）的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)y=bx（b<0）的圖象上，AB∥CD∥y軸，AB，CD在y軸的兩側(cè)，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

變式3如圖11，已知點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)y=ax的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)y=bx的圖象上，a>b>0，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側(cè)，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

不難發(fā)現(xiàn)，位置“變”了，圖形“變”了，條件“變”了，但圖形基本構(gòu)件及問(wèn)題本質(zhì)“沒(méi)變”，a-b的幾何意義“沒(méi)變”，問(wèn)題的解決思路“沒(méi)變”，解題方法也“沒(méi)變”，這種立足于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和最近發(fā)展區(qū)的能以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”的通法符合學(xué)生的常規(guī)思維和認(rèn)知規(guī)律，我們應(yīng)讓綜合問(wèn)題的條件加以分析并運(yùn)用雙曲線的核心性質(zhì)的“幾何意義法”成為“自然解法”！3結(jié)束語(yǔ)

本題以反比例函數(shù)為載體設(shè)置問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)雙曲線與平行線圖形的完美組合，突出考查反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)、曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系、方程思想的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、整體、方程等數(shù)學(xué)思想，皆在考查學(xué)生應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力.試題的改編和修正著眼學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和能力儲(chǔ)備，以能力立意，關(guān)注核心知識(shí)為載體，既關(guān)注了知識(shí)的融合創(chuàng)新，又注重了解題策略和方法的多樣性，不斷嘗試，不斷變化，體現(xiàn)“含而不露”的命題情懷.