巧用“等積法”，妙解中考題

陳炎

本文以義務(wù)教育課程標準實驗教科書九年級《數(shù)學》上冊（上海科學技術(shù)出版社）一道課本習題和例題為例，淺談解法的多樣性，以及用“等積法”解題的便利性.

課本習題（P72，習題221第10題）已知：在△ABC中，AD為∠A的平分線.

求證：ABAC=BDCD.

分析：本題的背景是學生已學習了“平行線分線段成比例”，目的是考察學生通過添加輔助線，構(gòu)造平行關(guān)系，進而得到線段的比例關(guān)系.學生可以“執(zhí)果索因”，即通過結(jié)果是要證明一個比例式，進而打開思路，難度不大.圖1

證明：如圖1，過B點作BG∥AC交AD的延長線于G點，則BGAC=BDCD，∠CAD=∠G.因為AD為∠CAB的平分線，所以∠CAD=∠DAB，所以∠G=∠DAB，所以BG=AB，所以ABAC=BDCD.圖2

當然，本題添加輔助線的方法并不唯一，也可過D點作AC的平行線、過C點作AB的平行線等等，可充分調(diào)動學生的積極性，激發(fā)學生的興趣.但是如果跳出教材看教材，本題放在整個初中領(lǐng)域里，通過“AD為∠A的平分線”這一唯一條件，想到向兩邊作垂線段（垂線段相等），可能更簡單.如圖2，過D點作DE⊥AC，垂足為E，DF⊥AB，垂足為F.

一方面，SABDSACD=12BD·h12CD·h=BDCD；

另一方面，SABDSACD=12AB·DF12AC·DE=ABAC，

所以ABAC=BDCD.

課本例題（P88，例1）一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80 cm，高AD=60 cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的兩邊之比為2∶1，且矩形長的一邊位于邊BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上，求這個矩形零件的邊長.

分析：本題考察學生通過方程思想建立模型，并運用相似三角形的性質(zhì)“相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比”得到相等關(guān)系，題目甚是典型.圖3

解：如圖3，矩形PQRS為加工后的矩形零件，邊SR在邊BC上，頂點P，Q分別在邊AB、AC上，△ABC的高AD交PQ于點E.設(shè)PS為x cm，則PQ為2x cm.

因為PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC，PQBC=AEAD，即2x80=60-x60，

解得x=24，2x=48.

再次跳出教材看教材，本題是將三角形進行分割得到一個符合條件的矩形，從圖中我們很容易想到用兩種不同的方法表示△ABC的面積，即（S△PBS+S△QRC）+S矩形PQRS+S△APQ=S△ABC，

1280-2xx+2x·x+12·2x60-x=12×80×60，解得x=24，2x=48.

題后反思以上兩題在完成實現(xiàn)教材對即學知識運用的同時，都采用了“等積法”.“等積法”是初中數(shù)學中很常見的一種解題方法，學生在探索整式乘法公式規(guī)律及已知直角邊長，求直角三角形的斜邊上的高時都用到了“用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，結(jié)果相等”這一結(jié)論.我們把用這一結(jié)論解題的方法稱之為“等積法”.“等積法”是學生必須掌握的數(shù)學解題方法之一.在具體問題中，若能靈活利用這一方法，那么在解決某些問題時具有化難為易，化繁為簡，事半功倍的功效.下面列舉幾例中考題，供讀者參考.

例1（2015年連云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是.

解由以上討論的解題方法及得出的結(jié)論易得，答案是4∶3

例2（2015年寧夏）如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一點E，連接BE，將△BCE沿BE折疊，使點E恰好落在AD邊上的點F處，則CE的長為.

解由折疊的性質(zhì)得BF=BC=5，所以在Rt△ABF中，由勾股定理得AF=BF2-AB2=4，所以FD=1.設(shè)CE=x，則DE=3-x，又由折疊的性質(zhì)得FE=CE=x.下面使用兩種方法表示矩形ABCD的面積，并建立等式，得

12×3×4+12×2×5x+12×1·3-x=3×5，

解得，x=53.圖5

例3（2015年武漢）已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8.

（1）如圖5，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點K.

①略②略.

（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個頂點在△ABC一邊上，另兩個頂點分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長

分析本題要求直接寫出結(jié)果，題目的本意是利用解決第一問所探究得到的方法，進一步鞏固并應(yīng)用成果.但是如果第一問不會做，或直接撇開第一問的探索過程利用“等積法”也很方便.

解設(shè)正方形的邊長為x cm.

①當正方形的兩個頂點在BC邊上時，

12x12-x+12x8-x+x2=12×12×8，

解得x=245

②當正方形的的兩個頂點在AB或AC邊上時，

因為AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=12÷2=6，所以AB=AC=AD2+BD2=62+82=10，所以AB或AC邊上的高等于：AD·BCAB=8×1210=485，12x10-x+12x485-x+x2=12×12×8，解得x=24049.

綜上所述，正方形的邊長是245或24049.

例4（2009年安徽）如圖6，將正方形沿圖中虛線（其中x

（1）畫出拼成的矩形的簡圖；

（2）求xy的值.

（2）本題所給的條件非常有限，從分析圖形若能拼成矩形，則需滿足的條件入手，可以利用“①”與“①+④”，（“②”與“②+③”）兩個三角形相似，得到對應(yīng)邊成比例，進而求出xy的值；或者通過三角形的銳角正切值相等，得到等式，進而求出xy的值，即x+y（x+y）+y=xy.但是以上兩種方法都不太容易想到，本題若能關(guān)注到圖形變化前后面積相

等，則思路非常自然.由拼圖前后的面積相等得：

[（x+y）+y]y=（x+y）2，

因為y≠0，整理得：（xy）2+xy-1=0，

解得：xy=5-12.（負值不合題意，舍去）

結(jié)束語通過以上幾個例題，我們可以發(fā)現(xiàn)“等積法”在中考具有廣泛的用途，并且它具有“門檻低、入手容易”等特征.在《滬科版》教科書的其他章節(jié)中，其實也有不少習題可以通過“等積法”解題（請讀者自己去尋覓體會）.而在平時的教學、學習過程中，我們易輕視教材里的習題，認為題目簡單，而把目光投到了茫茫的市面題海資料中去，到處拼題、抄題.教師辛苦，學生的負擔更重.豈不知“好題”就在課本中，就在我們的身邊.即刻回歸課本，尋找遺失的美好，刻不容緩！