列表分析數(shù)量關(guān)系

一元一次方程與實際問題是七年級上學(xué)期的教學(xué)重點(diǎn)，也是難點(diǎn).在教學(xué)的過程中，學(xué)生最為棘手的是如何從實際問題中建立方程模型.不少同學(xué)雖然掌握了常用的基本數(shù)量關(guān)系，但是具體到每一個實際問題中，往往不能確定每個數(shù)字的意義，即便有公式也不知道該怎么運(yùn)用.

表格是數(shù)學(xué)語言的一種，它的優(yōu)點(diǎn)是簡潔明了，一目了然.通過列表，我們可以將已知條件和未知關(guān)系放在一個表格中，再運(yùn)用基本數(shù)量關(guān)系，就可以方便、快速并準(zhǔn)確地列出方程.而且，用一元一次方程解決的實際問題中包含的數(shù)量一般不超出4個，學(xué)生容易下手.我們以利潤問題和行程問題為例，感受一下列表分析數(shù)量關(guān)系的優(yōu)勢.

1利潤問題

利潤問題中所包含的數(shù)量主要有成本（進(jìn)價），售價，利潤，利潤率.這四個量之間的關(guān)系是：

利潤=成本×利潤率=售價-成本；

售價=成本×（1+利潤率）=成本+利潤；

成本=售價-利潤=利潤÷利潤率；

原價×折扣率=現(xiàn)價

由于利潤率是以成本為基礎(chǔ)的，它和成本的關(guān)系更密切，所以設(shè)計表格時，將利潤率放在成本和利潤之間，這樣也更直觀地表達(dá)了”成本×利潤率=利潤”這個數(shù)量關(guān)系.如果在一個具體問題中，商品的價格沒有變化（沒有打折），表格設(shè)計成2行4列即可；如果出現(xiàn)了變化，表格設(shè)計為3行4列.下面舉兩個例子.

例1一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣出這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？（教材102頁探究1）

分析判斷兩件衣服總的銷售情況，就是要判斷兩件衣服的成本之和與售價之和的關(guān)系，所以突破點(diǎn)是求出這兩件衣服的成本.以同樣的價格售出，一件盈利，一件虧損，那么這兩件衣服的成本必然一件大于60元，一件小于60元，它們是兩個不同的數(shù)量，所以應(yīng)該用不同的字母表示.我們不妨設(shè)盈利的那件衣服成本為x元，虧損的那件衣服成本為y元，列表如下：

第一種，將表格填滿：用x，25%，60這3個量表示利潤：

25%x=60-x（根據(jù)利潤=成本×利潤率=售價-成本）；

第二種：在已知的x，25%，60之間建立等量關(guān)系：

（1+25%）x=60（根據(jù)售價=成本×（1+利潤率））.

通過列表，既能清楚地表示60，25%，以及未知數(shù)x的意義，更能快速地找出它們之間存在的等量關(guān)系，方程很自然地就產(chǎn)生了.這里只列舉了關(guān)于x的方程，關(guān)于y的方程大家可以試一試.我們再舉一個價格有變化的例子：

例2一家服裝超市將某種服裝按成本價提高30%后標(biāo)價，然后又以9折（按標(biāo)價的90%）優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍可獲利34元.求這種服裝的成本價.

分析在這個問題中，商品的銷售價格出現(xiàn)了調(diào)整，可以設(shè)計成3行4列式表格：

這樣一來，表格中的每一行都有3個數(shù)量了.此時該列方程了.由于完成表格中的第二行時，我們已經(jīng)利用了數(shù)量之間的關(guān)系，現(xiàn)在只能從第三行的3個數(shù)量入手，建立等量關(guān)系.如果類比例1，從填滿表格的角度列方程，表達(dá)利潤率會出現(xiàn)分式方程，所以回避.我們可以從最后一行的3個量的關(guān)系著眼，列方程為：

x+34=09（1+30%）x（根據(jù)實際售價=成本+利潤=原售價×折扣率）

利潤問題一向是讓學(xué)生感到頭疼的問題，主要原因是他們?nèi)狈ι罱?jīng)驗，只能從教材上認(rèn)識成本，售價，利潤等等概念.如果他們能用表格將已知條件和未知條件各就各位，相信列方程對他們來說也就是小菜一碟了.尤其當(dāng)后續(xù)學(xué)習(xí)用一元二次方程解決實際問題時，只要在表格中增加一列”銷售量”就足矣！

2行程問題

學(xué)生對行程問題中包含的數(shù)量關(guān)系是非常熟悉的：

速度×?xí)r間=路程；

路程速度=時間，路程時間=速度.

在教學(xué)中，有人喜歡將行程問題細(xì)化為相遇，追及，順（逆）風(fēng)（水）等等.其實，這種劃分對學(xué)生來說反而是一種折磨.如果學(xué)生能夠?qū)⒈砀窈途€段示意圖結(jié)合起來，不管什么樣的行程問題，都能撥云見日，快速列方程.我們也舉兩個例子.

例3張華和李明登一座山，張華每分登高10m，并且先出發(fā)30min（分），李明每分登高15m，兩人同時登上山頂.設(shè)張華登山用了xmin，如何用含x的式子表示李明登山所用時間？試用方程求x的值，由x的值能求出山高嗎？如果能，山高多少？（原題見教材98頁習(xí)題33綜合運(yùn)用第5題）

分析此問題中涉及兩個運(yùn)動的目標(biāo)，我們可以用一條水平的線段表示登山的路程（從左到右對應(yīng)從山腳到山頂），首先設(shè)計表格為3行4列（包括速度，時間，路程），并在表格中填上已知數(shù)量：

然后，借助線段示意圖找出等量關(guān)系（本題由于兩人都是從山腳登上山頂，所以路程相等，線段示意圖略過），

最后，根據(jù)線段示意圖，正確列出方程：10x=15（x-30）.

至于求山的高度，只需解出方程后，將x的值代入方程任意一邊求值即可.

例4一支部隊排成1200米長的隊伍行軍，在隊尾的通訊員要與最前面的營長聯(lián)系，他用6分鐘時間跑步追上了營長，為了回到隊尾，在追上營長的地方等待了24分鐘.如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么所需要的時間是多少分鐘？

分析這個實際問題中包含的行程可以分為3次，可以放在一個表格中.

我們以通訊員和營長為目標(biāo).設(shè)通訊員跑步的速度為a m/min，隊伍前進(jìn)的速度（也即營長的速度）為b m/min，通訊員從最前頭跑回隊尾需要x min，列表如下：

三次運(yùn)動過程的線段示意圖如下：

如圖1，通訊員從隊尾跑步追上營長：圖1通訊員追上營長

A、B分別表示隊尾的通訊員和隊伍最前面

的營長，C點(diǎn)表示6分鐘后通訊員追上營長時.兩段路程滿足：

6a=1200+6b.①

如圖2，通訊員原地等待，隊伍繼續(xù)原速前進(jìn)：圖2通訊員原地等待

A表示通訊員追上營長后原地不動（此時營長也在該處），B表示24分鐘后隊尾到達(dá)通訊員的位置時，營長的位置，不難得出：

24b=1200.②

如圖3，通訊員從隊伍最前面跑回隊尾：圖3通訊員跑步回到隊尾

其中，點(diǎn)A表示通訊員和營長在一起時的位置（此后兩人運(yùn)動方向相反），點(diǎn)B、C分別表示t分鐘后通訊員和營長的位置，

由圖，我們可以輕易列出方程：

at+bt=1200.③

三次運(yùn)動過程，得到3個方程，而這三個方程中，雖然包含了3個未知數(shù)，但當(dāng)我們選擇從第②個方程著手時，發(fā)現(xiàn)解出這3個方程并不難：

由②可得b=50，將b=50代入①，可得a=250，再將a=250，b=50代入③，得到t=4.

也即通訊員如果從隊伍最前頭跑回隊尾，所需要的時間是4分鐘.

通過這四道例題，我們可以感受到表格的威力：它既能快速理清各種數(shù)量關(guān)系，更能幫助學(xué)生從實際問題中建立方程模型，從而有效解決實際問題.當(dāng)然，能用表格表達(dá)數(shù)量關(guān)系的不僅僅是利潤問題和行程問題，還有工程問題，數(shù)字問題，配套問題等等.只不過針對不同的類型，表格中的數(shù)量名稱要發(fā)生相應(yīng)變化.例如在工程問題中，表格應(yīng)包含不同對象的工作效率，工作時間，以及已完成的工作量；在配套問題中，每種配件的日產(chǎn)量（或所耗材料），分配的人數(shù)（或材料），各種配件當(dāng)天的產(chǎn)量，以及配套關(guān)系是表格中需要的內(nèi)容.至于其他類型的問題，在這里就不一一列舉了.

學(xué)生剛開始可能會因為畫表格覺得繁瑣，但是當(dāng)習(xí)慣成自然后，我們就可以畫無形的表格，不需要邊框，只是借表格的樣式呈現(xiàn)各種數(shù)量即可，這樣也達(dá)到了高效，簡潔的目的.

真心希望我在教學(xué)中的這點(diǎn)想法能幫助學(xué)生掌握解決問題的方法！

作者簡介系艷清，女，1978年生，中學(xué)一級教師.被評為武漢市青山區(qū)優(yōu)秀班主任，曾有多篇論文發(fā)表.