考慮散體樁變形時(shí)復(fù)合地基徑豎向固結(jié)解析解

張紹勇，許 波

(1.浙江省地球物理地球化學(xué)勘查院，浙江杭州 310005;2.香港華藝設(shè)計(jì)顧問(深圳)有限公司南京分公司，江蘇南京 210037)

傳統(tǒng)的砂井地基軸對(duì)稱固結(jié)解析解答最早起源于Barron 固結(jié)［1］，且發(fā)展至豎井熱固結(jié)理論［2］，至今解答已甚成熟?，F(xiàn)有復(fù)合地基固結(jié)理論繼承和發(fā)展了砂井固結(jié)理論成果［3～11］。與傳統(tǒng)砂井固結(jié)理論不同的是，復(fù)合地基固結(jié)存在“應(yīng)力集中”，即應(yīng)力會(huì)傳向壓縮性較小的樁體，使得復(fù)合地基應(yīng)力重分布。Yoshikuni［3］最早提出了該現(xiàn)象，并把成果運(yùn)用到工程實(shí)踐中。謝康和［4］根據(jù)復(fù)合地基受力特點(diǎn)，考慮樁體、涂抹區(qū)和地基土在剛度和透水性存在差異，提出了考慮了樁體和地基土徑豎向組合滲流下的復(fù)合地基固結(jié)解;王瑞春［5］考慮復(fù)合地基“應(yīng)力集中”效應(yīng)及施工擾動(dòng)，給出了雙層材料散體樁復(fù)合地基固結(jié)解;Han［6］認(rèn)為初始時(shí)刻樁內(nèi)孔壓可能小于土體內(nèi)孔壓，傳統(tǒng)砂井地基固結(jié)的初始條件不滿足復(fù)合地基固結(jié)問題，因此給出了可考慮應(yīng)力集中效應(yīng)下復(fù)合地基徑向固結(jié)解;Xie［7］和盧萌盟［8～9］根據(jù)樁土共同作用的特點(diǎn)，認(rèn)為現(xiàn)有的解答采用傳統(tǒng)砂井地基井土交界面流量連續(xù)假定與復(fù)合地基等應(yīng)變假定相矛盾，因此他們拋棄該假定，并引入新的初始條件，給出了可考慮滲透系數(shù)變化以及附加應(yīng)力梯形分布下復(fù)合地基固結(jié)解;張玉國(guó)［10］提出了變荷載作用下復(fù)合地基固結(jié)一般解，豐富和完善了現(xiàn)有復(fù)合地基固結(jié)理論，趙明華［11］拋棄了砂井地基井土界面流量連續(xù)假定，根據(jù)復(fù)合地基受力特點(diǎn)引入“平均超孔隙水壓力”概念，提出了考慮樁體固結(jié)變形下復(fù)合地基固結(jié)解，但該解答未考慮涂抹效應(yīng)。

表1 現(xiàn)有復(fù)合地基固結(jié)解析解答中考慮的因素Table 1 Factors considered in the existing analytical solutions for the composite foundation consolidation

表1給出了現(xiàn)有復(fù)合地基固結(jié)解答中所考慮的因素，現(xiàn)有復(fù)合地基固結(jié)解的偏微分方程采用與Carrillo［12］類似但相逆的方法得到的一種近似徑豎向固結(jié)微分方程［13］。文獻(xiàn)［13］指出Carrillo方法對(duì)于瞬時(shí)加載工況下地基附加應(yīng)力沿深度均勻分布情況是適用的，而對(duì)于地基附加應(yīng)力隨時(shí)間變化以及沿深度變化時(shí)，固結(jié)微分方程是非齊次的，Carrillo方法得到的計(jì)算結(jié)果雖然誤差不算太大，但在理論上卻并不適用。基于文獻(xiàn)［4～11］提出的近似徑豎向固結(jié)微分方程的解答，在理論上是不完備的，本文在前人的研究基礎(chǔ)上，針對(duì)復(fù)合地基“應(yīng)力集中”現(xiàn)象，根據(jù)樁土共同作用原理，在計(jì)算地基固結(jié)度時(shí)同時(shí)考慮樁體固結(jié)和地基固結(jié)，以與等應(yīng)變假定相符;另外，拋棄傳統(tǒng)砂井軸對(duì)稱固結(jié)中井土界面流量連續(xù)假定，并引入新的初始條件，考慮涂抹、樁體和土體徑豎向同時(shí)固結(jié)，以及附加應(yīng)力沿深度任意分布，建立一種推求徑豎向同時(shí)固結(jié)解答的求解方法。通過本文解答擬解決三個(gè)問題:第一，當(dāng)散體樁樁徑比在多少范圍內(nèi)，樁體徑向固結(jié)可不考慮;第二，當(dāng)樁長(zhǎng)與堆載區(qū)寬度比值相對(duì)較高，不同的平均附加應(yīng)力分布形式對(duì)復(fù)合地基影響程度;第三，評(píng)價(jià)置換率和涂抹參數(shù)kh/ksh對(duì)復(fù)合地基影響程度。

1 計(jì)算模型及推導(dǎo)假定

計(jì)算模型如圖1所示。圖1中，r和z分別表示極坐標(biāo)系中徑向和豎向坐標(biāo);rc、rs和re分別表示樁的半徑、涂抹區(qū)半徑以及單樁影響區(qū)域有效半徑，kh和kv分別表示未擾動(dòng)區(qū)土體徑向和豎向滲透系數(shù);ksh表示涂抹區(qū)土體的徑向滲透系數(shù);kch和kcv分別表示樁體內(nèi)徑向和豎向滲透系數(shù)，H表示樁長(zhǎng)。

圖1 軸對(duì)稱固結(jié)示意圖Fig．1 Diagram of the axisymmetric consolidation

解析推導(dǎo)假定如下:

(1)等豎向應(yīng)變條件成立:即同一深度處土體和樁體的豎向應(yīng)變相等，不考慮地基土側(cè)向變形;

(2)土體飽和，土中水的滲流服從達(dá)西定律;

(3)涂抹區(qū)僅起徑向排水作用，不考慮其固結(jié);

(4)外部荷載一次性瞬時(shí)施加并保持不變，由樁土共同承擔(dān)。

2 解答的推導(dǎo)過程

2.1 一般性控制方程及求解邊界條件［13］

一般性控制方程為:

式中:t、γw——固結(jié)時(shí)間及水的重度;

u、us、uc——未擾動(dòng)區(qū)、涂抹區(qū)土體和樁體內(nèi)部超靜孔隙水壓力;

εz——樁體和土體的豎向應(yīng)變;

ksv——涂抹區(qū)土體的豎向滲透系數(shù);

其余未說明的符號(hào)意義同圖1說明。

徑向求解條件:

頂面透水、底面不透水(PTPB)或頂面和底面均透水(PTIB)的邊界條件分別為［8～9］:

2.2 未擾動(dòng)區(qū)固結(jié)微分方程

根據(jù)樁土共同作用原理及等豎向應(yīng)變假設(shè)［8］:

εz——土體和樁體的豎向應(yīng)變;

Es、Ec——土體和樁體的壓縮模量;

由式(13)和式(14)得:

其中:

根據(jù)假定(4)，考慮荷載瞬時(shí)加載，并對(duì)式(15)求時(shí)間的偏導(dǎo):

根據(jù)假定(1)，等豎向應(yīng)變條件成立，未擾動(dòng)區(qū)土體固結(jié)微分方程采用式(1):

式中符號(hào)意義同前。

參照文獻(xiàn)［13］的研究，為得到式(20)的解答，采用Fourier正弦級(jí)數(shù)表示:

式中:un(r，t)、εzn(t)——u、εz對(duì)應(yīng)的 Fourier系數(shù)。

ωn=［(2n-1)π］/(Dh)，對(duì)于 PTPB 透水邊界，D=2，對(duì)于PTIB透水邊界，D=1。

參照文獻(xiàn)［13］的推導(dǎo)方法，可得式(20)的解:

式中:I0、K0——零階第一類和第二類虛宗量 Bessel函數(shù);

c1n、c2n——待定常數(shù)。

2.3 擾動(dòng)區(qū)(涂抹區(qū))固結(jié)微分方程

采用假定(1)和(3)，不考慮涂抹區(qū)固結(jié)及豎向滲流，擾動(dòng)區(qū)(涂抹區(qū))土體徑向固結(jié)微分方程可采用式(2)的蛻化表達(dá)式:

式中符號(hào)意義同前。

為得到式(24)的解答，仍采用Fourier正弦級(jí)數(shù)表示:

式中:usn(r，t)——us對(duì)應(yīng)的 Fourier系數(shù)。

將式(26)依次代入式(25)、(24)得:

式中:c3n、c4n——待定常數(shù)。

2.4 樁體內(nèi)固結(jié)微分方程

參照文獻(xiàn)［13］的推導(dǎo)方法，可得式(28)的解:

式中:ucn——uc對(duì)應(yīng)的 Fourier系數(shù);

c5n、c6n——待定常數(shù)。

2.5 時(shí)間函數(shù)Bn(t)推導(dǎo)

由式(18)、(23)、(29)運(yùn)用面積加權(quán)方法可求得地基任一深度任意時(shí)刻時(shí)的總的平均孔壓表達(dá)式:

對(duì)式(30)采用Fourier正弦級(jí)數(shù)表示:

將式(31)代入式(30)得:

式中:

將式(33)、(34)依次代入式(30)、(19)得:

式(35)為關(guān)于變量t的一階線性偏微分方程，其解為:

根據(jù)文獻(xiàn)［8］的研究成果，針對(duì)復(fù)合地基樁土共同承擔(dān)荷載的特點(diǎn)，復(fù)合地基的平均初始孔壓等于地基內(nèi)平均附加應(yīng)力，即:

式中:σn——(z)對(duì)應(yīng)的 Fourier系數(shù)。

將式(23)、(29)、(36)代入式(18)，再代入式(32)，聯(lián)立式(37)得:

2.6 解答中待定系數(shù)的求解

2.6.1 散體樁與涂抹區(qū)交界面孔壓連續(xù)性及流速相等邊界條件

將式(27)、(29)代入式(7)、(8)得:

2.6.2 未擾動(dòng)區(qū)與涂抹區(qū)交界面孔壓連續(xù)性及流速相等邊界條件

根據(jù)式(5)和式(6)，并分別代入式(23)和式(27)得:

聯(lián)立式(40)～(44)得:

式中:

2.6.3 單樁影響區(qū)域外側(cè)不排水邊界條件

將式(23)依次代入式(21)、(4)，得:

聯(lián)立式(45)、(46)得:

式中:Δn=-αnK1(μnre)-βnI1(μnre)

將式(44)、(47)代入式(41)～(43)，并化簡(jiǎn):

至此，根據(jù)式(47)求得的c1n和c2n，依次代入式(48)～ (50)可分別求得 c5n、c3n和 c4n。

2.7 地基整體平均固結(jié)度解答

將式(39)、(36)、(23)代入式(21)可得任意時(shí)刻任意位置處未擾動(dòng)區(qū)土體超靜孔壓表達(dá)式:

將式(39)、(36)、(27)代入式(25)可得任意時(shí)刻任意位置處涂抹區(qū)土體超靜孔壓表達(dá)式:

將式(39)、(36)代入式(29)可得任意時(shí)刻任意位置處未擾動(dòng)區(qū)土體超靜孔壓表達(dá)式:

將式(51)、(53)分別代入式(16)、(17)，再代入式(18)，可得到地基任意深度處總的平均孔壓:

根據(jù)文獻(xiàn)［8］的研究，當(dāng)考慮樁土共同作用及樁體變形，在計(jì)算復(fù)合地基固結(jié)度時(shí)，把樁體壓縮也引入其中，那么地基的整體平均固結(jié)度可定義為:

假定地基平均附加應(yīng)力沿深度梯形分布，則:

將式(54)、(56)、(57)代入式(55)可得瞬時(shí)加載工況下復(fù)合地基整體平均固結(jié)度:

3 解答的驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提出解答的準(zhǔn)確性，本文選取文獻(xiàn)［4］進(jìn)行對(duì)比，文獻(xiàn)［4］所考慮因素與本文完全一致，所不同的是其解答不考慮附加應(yīng)力沿深度的衰減。為精確地對(duì)比，本文選取計(jì)算參數(shù)和力學(xué)參數(shù)取值與文獻(xiàn)［4］完全一致，并令本文的σt=σb以使本文解蛻化成不考慮附加應(yīng)力的衰減。

由圖2可以看出，本文解答與文獻(xiàn)［4］解答相差很小，說明本文解答推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。另外，從圖中可以看出本文解答比Xie解答稍微偏大，這是因?yàn)楸疚脑谕茖?dǎo)過程中未考慮涂抹區(qū)固結(jié)。

圖2 本文解答與Xie解答［4］對(duì)比圖Fig．2 Comparison of the proposed solution with the Xie solution［4］

4 復(fù)合地基固結(jié)性狀分析

根據(jù)上文得到的解答，本文對(duì)散體樁軟黏土復(fù)合地基固結(jié)的一些影響因素進(jìn)行了計(jì)算分析，基本計(jì)算參數(shù)取值見圖3。

圖3 不同平均附加應(yīng)力分布形式對(duì)復(fù)合地基固結(jié)的影響Fig．3 Effect of the difference in additional mean stress distribution forms on the composite foundation consolidation

圖3表示不同平均附加應(yīng)力形式對(duì)復(fù)合地基固結(jié)的影響，需要指出的是，這里平均附加應(yīng)力是根據(jù)樁土共同作用原理，樁土共同承擔(dān)附加應(yīng)力的按面積加權(quán)的平均值。從圖中可看出地基平均附加應(yīng)力沿深度倒三角部分(σt=100，σb=0)地基固結(jié)速率最快，沿深度呈梯形分布(σt/σb=2)次之，散體樁復(fù)合地基固結(jié)理論假定地基附加應(yīng)力沿深度不變化，即矩形分布(σt/σb=1)低估了地基固結(jié)速率。

圖4表示不同井徑比(m=re/rc)與文獻(xiàn)［14］的對(duì)比圖。文獻(xiàn)［14］為含豎向排水體地基徑豎向固結(jié)解，其解與本文解答相比，除未考慮樁(井)內(nèi)徑向滲流，其余考慮完全相同。從圖中可看出，隨著樁徑比增大，本文解答與文獻(xiàn)［14］計(jì)算結(jié)果差距逐漸減小，這是因?yàn)榫畯奖仍龃?，意味著?井)直徑變小，那么樁(井)的徑向滲流可忽略不計(jì)。

圖4 不同井徑比下本文解答與文獻(xiàn)［14］比較Fig．4 Comparison of the proposed solution with the solution［14］ presented in this paper under different diameter ratios

圖5表示不同的置換率和涂抹參數(shù)kh/ksh對(duì)復(fù)合地基固結(jié)的影響。從圖5中可看出，地基固結(jié)速率隨置換率(mp=1/m2，m為井徑比)的增大而加快;另外，針對(duì)相同置換率下的復(fù)合地基，kh/ksh比值越大(kh值一定)，說明涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)越小，地基固結(jié)影響越慢，涂抹參數(shù)kh/ksh對(duì)復(fù)合地基固結(jié)影響較為顯著。

圖5 不同置換率和kh/ksh對(duì)復(fù)合地基固結(jié)的影響Fig．5 Effect of different area replacement ratio and kh/ksh on the composite foundation consolidation

5 結(jié)論

(1)地基平均附加應(yīng)力沿深度倒三角衰減分布時(shí)復(fù)合地基固結(jié)最快，梯形衰減分布次之，矩形分布最慢。

(2)當(dāng)工程中樁徑比較小時(shí)，不考慮樁體徑向滲流會(huì)低估復(fù)合地基的固結(jié)速率。

(3)地基固結(jié)速率隨置換率增大而加快，隨涂抹參數(shù)kh/ksh比值增大而減慢，且兩者對(duì)固結(jié)速率的影響均顯著。

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