恭祝楊世明（楊之）老師80歲大壽

王方漢

由A，B不同時為0，不妨B≠0，

易知下列方程組同解（注：下面不作特殊說明，都指實數(shù)解），

f1（x，y）=0，

Ax+By+C=0，f1（x，-ABx-CB）=0，

Ax+By+C=0，…（*）

方程f1（x，-ABx-CB）=0的任一解x代入Ax+By+C=0中，都得到唯一的y值，因此該方程解的個數(shù)與方程組（*）解的個數(shù)相等.方程f1（x，-ABx-CB）=0的解是曲線C1和直線l交點的橫坐標(biāo)，若該方程是二次方程，則可以用判別式研究它解的個數(shù)，進而知道曲線C1和直線l交點個數(shù)，當(dāng)然在該二次方程有解的情況下，也可以用韋達定理解題.

值得注意的是，下列方程組一般不同解，是推出關(guān)系，

f1（x，y）=0，

Ax+By+C=0，f1（x，-ABx-CB）=0，

f1（x，y）=0.

舉例：x2+y2=1與x+y-1=0聯(lián)立，消去y得x2-x=0，有

x2+y2=1，

x+y-1=0，與x2-x=0，

x+y-1=0，同解，

但x2+y2=1，

x+y-1=0，與x2-x=0，

x2+y2=1，不同解.

若f1（x，y）=0與f2（x，y）=0聯(lián)立消元后，可以得一元二次方程mx2+nx+k=0，易知下列方程組同解，

f1（x，y）=0，

f2（x，y）=0，mx2+nx+k=0，

f1（x，y）=0，

f2（x，y）=0，（**）.

一般地，方程組（**）中f1（x，y）=0與f2（x，y）=0都不可少，比如：

由x2+y2=1和x2+y2-x-y=0聯(lián)立，消去y可得：x2-x=0，

但x2+y2=1，

x2+y2-x-y=0，與x2-x=0，

x2+y2=1，并不同解.

若方程mx2+nx+k=0無解，則方程組（**）無解；若方程mx2+nx+k=0有解，由該方程解的個數(shù)并不能判定方程組（**）解的個數(shù)，因為將該方程的任一解x代入f1（x，y）=0，

f2（x，y）=0，中，可能得到0或1或2個y值，舉例如下，

由x2+y2+2x=0和y2=x聯(lián)立，消去y得：x2+3x=0，x=0對應(yīng)的y值為0，x=-3對應(yīng)的y值不存在.

由x2+y2-2x=0和y2=x聯(lián)立，消去y得：x2-x=0，x=0對應(yīng)的y值為0，x=1對應(yīng)的y值為±1.

通過前面的分析可知，在方程mx2+nx+k=0有解的情況下，有的解有意義（可以得到對應(yīng)y的實數(shù)解），它是兩二次曲線交點的橫坐標(biāo)；有的解沒有意義（沒有對應(yīng)y的實數(shù)解，只有虛數(shù)解），它不是兩二次曲線交點的橫坐標(biāo).因此在該方程有解的情況下，不能僅用判別式來研究兩個二次曲線交點的個數(shù)，也不能用韋達定理來研究兩個二次曲線交點的相關(guān)問題（除非該方程的兩個解x都有意義，才可以使用韋達定理）.

若f1（x，y）=0與f2（x，y）=0聯(lián)立消元后，得到關(guān)于y的一元二次方程my2+ny+k=0，情況類似.

涉及兩二次曲線交點的問題，下面舉一例說明.

例2橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是32，過坐標(biāo)原點且斜率為12的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，|AB|=210.

（1）求a，b的值；

（2）若動圓（x-m）2+y2=1和橢圓C沒有公共點，求m的取值范圍.

解答（1）a=4，b=2.過程略.

（2）由x216+y24=1，

（x-m）2+y2=1，……①

消去y得，3x2-8mx+4m2+12=0，…②

令f（x）=3x2-8mx+4m2+12，

Δ=16m2-144，

由題意可知，

Δ<0或Δ≥0，

4m3<-4，

f（-4）>0或4m3>4，

f（4）>0.

解得m∈（-∞，5）∪（-3，3）∪（5，+∞）.

評注：若Δ<0，則方程組①無解；

若Δ≥0，則方程②的x有實數(shù)解，將x的實數(shù)解代入方程組①中的任一方程，得到的y的解的情況是一致的，比如代入x216+y24=1中，當(dāng)x∈[-4，4]時，y有實數(shù)解，可以認為得到實交點；當(dāng)x[-4，4]時，y有虛數(shù)解，可以認為得到虛交點.

基于上面的分析，動圓和橢圓沒有公共點當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于x的方程②無實數(shù)解，或有實數(shù)解但解在區(qū)間[-4，4]外.

作者簡介劉鴻春，男，1976年生，中教一級，揚州市中青年教學(xué)骨干.