一道二次曲線間交點(diǎn)問題的錯解反思

劉鴻春

1錯解呈現(xiàn)

例1拋物線x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F恰好是雙曲線y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的一個焦點(diǎn)，且兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F，求該雙曲線的離心率.

解答由x2=2py，

y2a2-x2b2=1消x得b2y2-2a2py

-a2b2=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線與雙曲線的兩個交點(diǎn)，則y1+y2=2a2pb2，由對稱性知AB垂直于y軸且過焦點(diǎn)F，因此y1=y2=p2，所以p2+p2=2a2pb2，即b2=2a2，得離心率e=3.2錯解剖析

拋物線和雙曲線的交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在x軸上方，因此y1>0且y2>0，而方程b2y2-2a2py-a2b2=0的兩根是一正一負(fù)，因此該方程的兩根并非是y1和y2，由此用韋達(dá)定理解題帶來錯誤.

但可以肯定：y1=y2且y1是該方程的根；上述方程中，y有一個負(fù)實(shí)根，這負(fù)實(shí)根應(yīng)該舍棄，因?yàn)榘阉霋佄锞€x2=2py（p>0），沒有意義.

把該解法修改一下可以得到如下正確解法.

正解由x2=2py，

y2a2-x2b2=1消x得b2y2-2a2py

-a2b2=0…①.由題意知拋物線和雙曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為p2，因此p2是方程①的解，則

b2（p2）2-2a2p·p2-a2b2=0……②，

又p2=c…………③

由②，③消去p得

b2c2-4a2c2-a2b2=0，

由此解得e=2+1.

3錯解反思

若直線方程和二次曲線方程消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，為何我們可以通過該一元二次方程的判別式來判定直線和二次曲線的交點(diǎn)個數(shù)，通過韋達(dá)定理來研究與交點(diǎn)有關(guān)的問題.而一般情況下，若兩個二次曲線方程消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，卻不可以通過它的判別式和韋達(dá)定理解決類似問題？

記二次曲線C1：f1（x，y）=0，二次曲線C2：f2（x，y）=0，直線l：Ax+By+C=0.