追求知識呈現(xiàn)自然的數(shù)學教學設計微探

《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（A版）》（簡稱“人教A版”）主編寄語寫到：數(shù)學是自然的，在這套教科書中出現(xiàn)的內(nèi)容，是在人類長期的實踐中經(jīng)過千錘百煉的數(shù)學精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學概念、數(shù)學方法與數(shù)學思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其它概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味，這將有助于大家的學習.但是當前數(shù)學教學過程中，在數(shù)學知識的呈現(xiàn)上顯得不夠自然，即使是現(xiàn)行的教材也存在許多“數(shù)學規(guī)定”，顯得蠻不講理，這些都將對學生的學習產(chǎn)生較大的影響.基于上述原因，筆者認為，在數(shù)學教學設計中，教師要不斷追求數(shù)學知識呈現(xiàn)的自然性，讓學生所學的數(shù)學知識、方法、思想彰顯“自然”本色.本文列舉概念產(chǎn)生、問題解決等八個方面的片段教學設計，探析如何在教材的基礎(chǔ)上通過教學設計使數(shù)學知識的呈現(xiàn)更顯自然.1展現(xiàn)背景，讓概念產(chǎn)生是自然的

概念不是憑空產(chǎn)生的想象物，數(shù)學基礎(chǔ)性概念一般都具有現(xiàn)實原型和產(chǎn)生背景，比如無理數(shù)、復數(shù)的產(chǎn)生都是在原有數(shù)系內(nèi)解方程無解的背景下產(chǎn)生的，向量是在力、速度等一些現(xiàn)實原型的基礎(chǔ)上抽象出來的概念；教師在進行教學設計時，要善于將概念的背景和現(xiàn)實原型展現(xiàn)出來，讓學生感受到概念產(chǎn)生的自然.

例如在周期函數(shù)與周期的概念，人教A版必修4第34頁是這樣描述的：正弦函數(shù)值具有“周而復始”的變化規(guī)律，這一點可以從正弦線的變化規(guī)律中看出，還可以從誘導公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）中得到反映，數(shù)學上，用周期性這個概念來定量地刻畫這種“周而復始”的變化規(guī)律，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.那“周而復始”的變化規(guī)律在自然界中存在嗎？可以通過函數(shù)來刻畫嗎？為什么要在三角函數(shù)的背景下學習周期函數(shù)？這些過程展現(xiàn)不夠，導致周期與周期函數(shù)的概念產(chǎn)生略顯不自然，教師在這個片段的教學設計中要圍繞這些問題展開，首先通過生活中的實例引出“周而復始”的現(xiàn)實原型，比如月亮圓缺變化，每年的四季更替，潮起與潮落等，讓學生充分感知生活中存在大量“周而復始”現(xiàn)象；其次，我們知道函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型，這種變化規(guī)律照樣可以通過函數(shù)來刻畫，那么如何刻畫呢？再次，由于角α的終邊繞坐標原點每旋轉(zhuǎn)一周得到的角的終邊與角α的終邊相同，他們的同名三角函數(shù)值也相同，這是具體函數(shù)（三角函數(shù)）的“周而復始”現(xiàn)象.此時，周期函數(shù)與周期的概念呼之欲出、水到渠成.2揭示本質(zhì)，讓定義下得更自然

所謂下定義，就是用簡潔明確的語句提示概念的內(nèi)涵，即揭示概念所反映對象的特點或本質(zhì)的一種邏輯方法，在數(shù)學學習過程中，往往需要給概念下定義，但有些定義由于缺乏本質(zhì)的揭示，顯得很不自然，強加于人.比如人教A版選修2-1第44頁橢圓離心率的定義：我們把橢圓的焦距與長軸長的比ca稱為橢圓的離心率，那么為什么一定要用ca來定義橢圓的離心率而不用ba呢？其實橢圓的離心率可以形象地理解為焦點離開中心的程度，離心率越大越“象”橢圓，因而用ca來定義橢圓的離心率比較合理、自然.又比如人教A版選修2-1第112頁這樣給平面的法向量下定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a請據(jù)字符數(shù)改字號叫做平面α的法向量，為什么要取與平面垂直的直線的方向向量（即與平面垂直的向量）作為平面的法向量？不與平面垂直的向量為什么就不能定義為平面的法向量呢？可見這又是一個強加于人的定義，因此教師在平面法向量的片段教學設計中，要盡量展現(xiàn)各個方向的向量，讓學生充分體驗同垂直于一平面的向量互相平行，可以確定平面的“方向”，而其它方向上的向量則不行，這樣把與平面垂直的向量定義為平面的法向量就顯自然.3創(chuàng)設情境，讓問題的提出是自然的

愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為提出新的問題，需要創(chuàng)造性的想象力，標志著科學的真正進步”.在數(shù)學教學過程中，教師往往會預設許多問題讓學生解決，但這些問題因何提出，如何提煉，學生渾然不知，顯得不自然，強加于人，更談不上培養(yǎng)學生提出問題的能力；所以教師在教學設計過程中要精于創(chuàng)設情境，讓學生在不知不覺中發(fā)現(xiàn)、提出、提煉問題，不僅顯得自然，而且培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力.人教A版必修2第54頁《直線與平面平行的判定》章節(jié)中有一個觀察情景，將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系，該情境與書中后面提出的問題明顯脫節(jié)，如下改進后便可讓問題自然出現(xiàn)：由觀察可知邊緣AB所在直線與桌面所在平面平行，為什么邊緣AB在不同的位置都可以保證與桌面所在平面平行呢？源于邊緣AB總與封面的另一個邊緣平行，從而很自然地提出一個一般化的問題：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與平面是否平行？又如人教A版必修4第124頁《兩角差的余弦公式》章頭中給的情境是求tan（45°+α）的值，而提出的問題是如何用角α、β的正弦、余弦值來表示cos（α-β）呢？問題與情境脫節(jié)，如果將教材中的情境改為求cos（60°-45°）的值，那又如何求得cos（60°-45°）呢？如果從一般性的角度來看就是研究什么問題呢？經(jīng)過交流與討論，提煉出問題：cos（α-β）與α、β的正弦、余弦值有什么關(guān)系？4探求聯(lián)系，讓方法的產(chǎn)生是自然的

問題解決是當前課堂教學中教師最為關(guān)注一個環(huán)節(jié).但教師平時比較看重傳授解決問題的方法而輕分析怎樣想到用這種方法，從而導致問題解決方法的產(chǎn)生太突然，也導致問題解決不自然.那如何讓方法產(chǎn)生更自然呢？筆者認為確立目標、探求聯(lián)系最為關(guān)鍵.比如人教A版必修5第55頁應用錯位相減法探求等比數(shù)列的前n項和公式，錯位相減法的適用范圍明確，解法步驟簡單，思維也很清楚，學生容易理解，但實際教學過程中，教師通常“硬生生”地直接給學生，或者說是“灌進去”，學生對錯位相減法從何來感到比較突然，似乎從天而降，只知其然而不知其所以然.如何讓錯位相減法的產(chǎn)生顯自然呢？（1）求等比數(shù)列前n項和公式的目標就是將n用等比數(shù)列的基本量a1、q表示，那如何a1、q表示n？構(gòu)造方程是最根本的想法；（2）n=a1+a1q+a1q2+…+a1qn構(gòu)造成關(guān)于n的方程，n=a1+q（a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1）-a1qn=a1+qn-a1qn，所以n-qn=a1-a1qn，從而得到等比數(shù)列的前n項和公式；（3）從n-qn=a1-a1qn的結(jié)構(gòu)來看，只需構(gòu)造n-qn即可，而這就是錯位相減法的框架結(jié)構(gòu).此時錯位相減法從何來顯得自然；再如人教A版必修4第125頁《兩角差的余弦公式》通過銳角三角函數(shù)線的關(guān)系得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ后，又如何想到應用向量的數(shù)量積來證明對任意角都成立呢？源于cosαcosβ+sinαsinβ與向量的數(shù)量積公式a·b=x1y1+x2y2形式相近，而且α、β的終邊與單位圓的交點可表示為（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），如此設計就使應用向量的數(shù)量積求證兩角差的余弦公式顯得自然.5講些道理，讓“數(shù)學規(guī)定”顯自然

在數(shù)學中，相關(guān)“規(guī)定”比較多，但在現(xiàn)行的高中數(shù)學教材中，很少有對“規(guī)定”過多解釋，對于有些規(guī)定為什么是這樣？教師擔心自己講不清楚，怕越說學生越糊涂，還有一種想法就是覺得沒必要向?qū)W生說，理由是說與不說對教學效果沒有影響；但從“數(shù)學是自然的”的理念來看，這些“數(shù)學規(guī)定”的出現(xiàn)與理念相悖，因此教師在教學設計時，要講些為什么這么“規(guī)定”的道理，讓“數(shù)學規(guī)定”顯自然；例如人教A版必修1第54頁這樣給指數(shù)函數(shù)下定義：一般地，函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，那為什么規(guī)定a>0，且a≠1呢？教師在教學設計時可以這樣講道理，當a<0時，函數(shù)的定義域不確定，當a=0時，自變量x=0時無意義，且不具備太多的研究價值，當a=1時，函數(shù)值恒等于1，研究的意義不大；再比如人教A版必修5基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0），其實a=0或b=0也是可以的，但為什么要規(guī)定a>0，b>0，在設計時可以這樣分析，當a=0或b=0，不等式顯然成立，沒有太大的研究空間，同時也與正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的定義不相吻合；也許教師講的道理不太到位，但足以讓這些“數(shù)學規(guī)定”顯自然，也培養(yǎng)了學生的問題意識.6巧設導語，讓課堂環(huán)節(jié)的過渡是自然的

數(shù)學課堂的每一個環(huán)節(jié)既相對獨立又緊密聯(lián)系，環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間需要一種自然地、內(nèi)在邏輯的過渡，讓后一個環(huán)節(jié)因前一個環(huán)節(jié)自然而生；但在實際教學中，環(huán)節(jié)之間的過渡顯得強加于人，后一個環(huán)節(jié)往往從天而降，不知緣何而來；通過巧設導語能讓各個環(huán)節(jié)之間自然過渡，使多個環(huán)節(jié)組成的數(shù)學課堂成為有機的整體，從而在學生思維與教材邏輯之間架設橋梁，啟發(fā)學生思維、激發(fā)學習動機.比如人教A版必修5《基本不等式》這節(jié)課，在基本不等式ab≤a+b2的證明環(huán)節(jié)結(jié)束后如何過渡到幾何解釋環(huán)節(jié)呢？可用華羅庚的詩句“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”作為導語進行過渡，使研究基本不等式的幾何解釋環(huán)節(jié)成為自然；又比如人教A版必修4《三角函數(shù)的誘導公式》這節(jié)課，在學習完誘導公式二、三、四及其應用后，根據(jù)角π+α，-α，π-α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點、x軸、y軸對稱可得到誘導公式二、三、四，那與角α終邊關(guān)于y=x對稱的角如何表示呢？根據(jù)對稱關(guān)系又能得到什么樣的公式呢？如此設計導語，就能自然地過渡到學習誘導公式五這個環(huán)節(jié).教師在教學設計時，要有設計環(huán)節(jié)之間過渡導語的意識，至于如何巧設導語，那需要教師長期的積累，并作為一門藝術(shù)來追求.7注重分析，讓解題方法的形成是自然的

著名數(shù)學教育家波利亞說過：“掌握數(shù)學意味著什么？這就是說善于解題”.解題是數(shù)學學習的重要組成部分，在平時的解題教學中，由于對解題過程的分析與體驗不夠，導致解題方法的形成往往顯得強加于人、不自然，學生日后遇到同一類問題也聯(lián)想不到這類問題的解題方法，因此教師在進行解題教學設計時，要將設計的重心放在如何分析問題上，讓各種解題方法自然形成，而不是去介紹解題方法.比如人教A版必修5第45頁例4，已知等差數(shù)列5，427，347，…的前n項和為n，求使得n最大的序號n的值，由于等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，很自然想到應用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解，本題也可以從另外一個角度來分析，該等差數(shù)列是遞減數(shù)列，若能找到一個n，使得第n項大于等于0，第n+1項小于0，便找到了使n最大的序號n的值，很自然地想到從等差數(shù)列的通項公式出發(fā)，解不等式組an≥0、an+1<0，從而得到n的值.8掌握策略，讓知識的拓展是自然的

在平時的教學中，教師在講完概念、公式、定理、習題后都會根據(jù)教學與學生的需要進行適當?shù)耐卣?，不僅豐富了知識的內(nèi)涵與外延，更重要的是培養(yǎng)了學生創(chuàng)新意識；至于怎么拓展、為什么這么拓展，學生渾然不知，被教師牽著鼻子走，知識的拓展略顯不自然.那如何讓知識的拓展更自然呢？甚至能達到學生自我拓展的境界？首先，教師在平時的教學中要讓學生樹立拓展的意識；其次要教會學生拓展的策略，比如改變條件、延展結(jié)論、條件與結(jié)論互換、歸納類比等.比如人教A版必修1零點存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.

延展結(jié)論：y=f（x）是連續(xù)函數(shù)，若f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有幾個零點？

改變條件：y=f（x）是連續(xù)函數(shù)，若f（a）·f（b）>0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是否有零點？有幾個零點？

條件與結(jié)論互換：y=f（x）是連續(xù)函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，那么是否有f（a）·f（b）<0？

實踐證明，通過教學設計能讓數(shù)學知識的呈現(xiàn)顯自然，教師在教學過程中要精于教學設計，追求更自然、更合理的數(shù)學知識呈現(xiàn)過程，這必將促進學生良好思維習慣的形成，提高學生思維的深刻性和流暢性.

參考文獻

[1]陳中峰.關(guān)注過程揭示促進有序建構(gòu)知識[J].數(shù)學通報，2013，12：10-11.

[2]課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]溫建紅、李春霞.論“數(shù)學規(guī)定”的教學策略[J].數(shù)學通報，2013，11：9-10.

[4]魏韌.追求自然樸實的數(shù)學教學[J].數(shù)學通報，2014，11：16-18.

作者簡介王神華，1972年6月，男，中學高級教師，特級教師，全國優(yōu)秀教師，福建省中小學學科教學帶頭人，寧德市民族中學副校長，主管教學教研.