2015年高考數(shù)學(xué)中的新定義型試題例析

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)命題，可以發(fā)現(xiàn)“新定義”問題越來越受到重視.這類題目以能力立意為目標(biāo)，集應(yīng)用性、探索性和開放性于一體，在全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、方法及數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考查學(xué)生的創(chuàng)新探究能力與學(xué)習(xí)潛力等綜合素質(zhì).

新定義題，是指在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有學(xué)過的新概念、新符號、新運(yùn)算等，需要學(xué)生利用已有知識、能力進(jìn)行閱讀理解，并結(jié)合新概念解決問題的題目.下面對2015年高考中新定義型試題的三種題型進(jìn)行分析.1函數(shù)新定義

例1（2015年湖北理6）已知符號函數(shù)sgnx=1，x>0，

0，x=0，

-1，x<0，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），則（）.

A.sgn[g（x）]=sgnx

B.sgn[g（x）]=sgn[f（x）]

C.sgn[g（x）]=-sgnx

D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

解析分類比較x與ax的大小，根據(jù)f（x）的單調(diào)性確定g（x）的符號，從而確定sgn[g（x）]，再結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

因?yàn)閍>1，所以當(dāng)x>0時(shí)，x0，sgn[g（x）]=1=-sgn（x）；當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=0，sgn[g（x）]=0=-sgn（x）也成立，故C正確.

點(diǎn)評此題結(jié)合高等數(shù)學(xué)中“符號函數(shù)”來編擬適合高中生的試題，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的和諧美.本題較好地考查了學(xué)生的知識遷移能力、轉(zhuǎn)化能力及探究能力，是高考命題者喜歡的題型.2實(shí)數(shù)運(yùn)算新定義

例2（2015年山東文14）定義運(yùn)算“”：xy=x2-y2xyx，y∈R，xy≠0.當(dāng)x>0，y>0時(shí)，xy+2yx的最小值為.

解析先利用定義的新運(yùn)算寫出解析式：xy+2yx=x2-y2xy+4y2-x22xy=x2y+yx，再利用基本不等式求得xy+2yx的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號成立.

點(diǎn)評在高考題中引入新的符號，通過定義一種新的運(yùn)算，考查學(xué)生的自學(xué)能力和探究能力.通過分析這類題目，給中學(xué)老師一種啟發(fā)，就是在實(shí)際教學(xué)過程中，一定要注意培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力及自主探索的能力.

例3（2015年福建理15）一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k=1，2，…，n）稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）

已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，

x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，其中⊕運(yùn)算定義為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0.

現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于.

解析二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，說明在x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1中僅有一個(gè)等式錯(cuò)誤.根據(jù)⊕定義可得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=0，所以x2=1，，x3=0，x6=0，x7=1是正確的.又因?yàn)?/p>

x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=1≠0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1≠0，故x1，x4，x5都錯(cuò)誤，或僅x5錯(cuò)誤.因?yàn)闂l件中要求僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤，故只有x5錯(cuò)誤.

點(diǎn)評本題所定義的運(yùn)算法則實(shí)質(zhì)上是計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制運(yùn)算.掌握計(jì)算機(jī)知識已成為現(xiàn)代公民的基本素養(yǎng)，所以在日常教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，注重應(yīng)用.對于新運(yùn)算應(yīng)該緊扣運(yùn)算法則，通過推導(dǎo)判斷，從而獲得正確的結(jié)論.3集合運(yùn)算新定義

例4（2015年浙江理6）設(shè)集合A，B是有限集，定義d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），

其中card（A）表示有限集A中元素的個(gè)數(shù).

命題①：對于任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要條件；

命題②：對于任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）.

A.命題①和命題②都成立

B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立

D.命題①不成立，命題②成立

解法一命題①成立，若A≠B，則card（A∪B）>card（A∩B），

所以d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B）>0成立.反之可以把上述過程逆推，故“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要條件；

命題②成立，由Venn圖知card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B），

d（A，C）=card（A）+card（C）-2card（A∩C），

d（B，C）=card（B）+card（C）-2card（B∩C），

d（A，B）+d（B，C）-d（A，C）

=card（A）+card（B）-2card（A∩B）+card（B）+card（C）-2card（B∩C）

-[card（A）+card（C）-2card（A∩C）]

=2card（B）-2card（A∩B）-2card（B∩C）+2card（A∩C）

=2card（B）+2card（A∩C）-2[card（A∩B）+card（B∩C）]

≥2card（B）+2card（A∩C）-2[card（（A∪C）∩B）+card（A∩B∩C）]

=[2card（B）-2card（（A∪C）∩B）]+[2card（A∩C）-card（A∩B∩C）]≥0.

所以d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）得證.選A.

解法二畫集合的Venn圖，ni（ni≥0）表示區(qū)域內(nèi)元素的個(gè)數(shù).

由圖甲知d（A，B）=（n1+n3+n2）-n3=n1+n2，A≠B等價(jià)于d（A，B）>0，命題①成立.

由圖乙知d（A，C）=（n1+n4）+（n3+n6）=n1+n3+n4+n6.

d（A，B）+d（B，C）=[（n1+n5）+（n2+n6）]+[（n2+n4）+（n3+n5）]=（n1+n3+n4+n6）+2（n2+n5）.

d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C），當(dāng)A=B=C時(shí)等號成立，命題②成立，故選A.

點(diǎn)評本題是結(jié)合集合概念以及充要條件判斷的新定義問題，考查學(xué)生的閱讀理解能力、創(chuàng)新能力及推理論證能力.

例5（2015年湖北理9文10）已知集合A={（x，y）x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）x≤2，y≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為（）.

A.77B.49C.45D.30

解析集合A={（x，y）x2+y2≤1，x，y∈Z}={（x，y）x=±1，y=0；或x=0，y=±1；或x=0，y=0}，

集合B={（x，y）x≤2，y≤2，x，y∈Z}={（x，y）x=-2，-1，0，1，2；y=-2，-1，0，1，2}.

集合A⊕B表示點(diǎn)集.

由x1=-1，0，1，x2=-2，-1，0，1，2，得x1+x2=-3，-2，-1，0，1，2，3共7種取值可能.

同理，由y1=-1，0，1，y2=-2，-1，0，1，2，可得y1+y2=-3，-2，-1，0，1，2，3共7種取值可能.

當(dāng)x1+x2=-3或3時(shí)，y1+y2可以為-2，-1，0，1，2中的一個(gè)值，分別構(gòu)成5個(gè)不同的點(diǎn)；

當(dāng)x1+x2為-2，-1，0，1，2時(shí)，y1+y2可以為-3，-2，-1，0，1，2，3中的一個(gè)值，分別構(gòu)成7個(gè)不同的點(diǎn)；

故A⊕B共有5×2+5×7=45（個(gè)）元素，選C.

點(diǎn)評在集合知識的基礎(chǔ)上，引入集合新運(yùn)算，考查了知識遷移能力，以及分析問題解決問題的能力.在確定集合A⊕B中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，考查了數(shù)據(jù)的處理能力以及分類討論思想的應(yīng)用.

在高考命題“由知識立意向能力立意過渡”指導(dǎo)思想的要求下，新定義題型會受到命題者更多青睞，須引起廣大師生的重視.

作者簡介魏巍，1980年生，山東青島人，中學(xué)一級教師，教育碩士.工作期間，多次被評為優(yōu)秀教師、三八紅旗手，2007年參加濟(jì)寧市優(yōu)質(zhì)課評比獲二等獎(jiǎng).