運(yùn)用定義解2015年高考數(shù)學(xué)題及其啟示

一般來說，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來揭示其本質(zhì)特征的.但在這之前，有一個(gè)通過實(shí)例、練習(xí)及口頭描述來理解的階段.比如，兒童對自然數(shù)，對運(yùn)算結(jié)果——和、差、積、商的理解，就是如此.到高年級，開始出現(xiàn)以文字表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)概念，即定義的方式，如分?jǐn)?shù)、比例、極值等.有些數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過長期的醞釀，最后才以定義的形式表達(dá)，如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、等差等比數(shù)列、極限等.定義是準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式，定義也是思維的起點(diǎn).仔細(xì)研究2015年各地高考試題，發(fā)現(xiàn)考查定義、運(yùn)用定義解題的問題不少.下面我們舉例說明，期望對考生的復(fù)習(xí)備考有幫助.1運(yùn)用定義解2015年高考數(shù)學(xué)題

1.1運(yùn)用函數(shù)定義

例1（2015年浙江卷理科7）存在函數(shù)f（x）滿足：對于任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

解析取x=0，可知f（sin0）=sin0=0，再取x=π2，可知f（sinπ）=sinπ2=1，所以不存在函數(shù)f（x），使得f（sin2x）=sinx，否則有f（0）=0且f（0）=1，不滿足函數(shù)概念的唯一性.所以A錯(cuò).

取x=0，可知f（sin0）=sin0=0，再取x=π2，可知f（sinπ）=π22+π2，同樣，不存在函數(shù)f（x）使得f（sin2x）=x2+x，否則有f（0）=0且f（0）=π22+π2，不滿足函數(shù)概念的唯一性.所以B錯(cuò).

取x=1，可得f（2）=2，再取x=-1，可得f（2）=0，所以C錯(cuò).

所以，選D.事實(shí)上，存在函數(shù)f（x）=x+1使得f（x2+2x）=|x+1|成立.

點(diǎn)評定義是教學(xué)之根，把根留住數(shù)學(xué)的天地才能郁郁蔥蔥.

1.2運(yùn)用反函數(shù)定義

例2（2015年上海卷理科10）設(shè)f-1（x）為f（x）=2x-2+x2，x∈0，2的反函數(shù)，則y=f（x）+f-1（x）的最大值為.

解析函數(shù)f（x）=2x-2+x2，x∈0，2是增函數(shù)，所以f（x）的最大值是f（2）=1+1=2，最小值是f（0）=14.所以f（x）的值域是14，2.

因?yàn)樵瘮?shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f-1（x）關(guān)于直線y=x對稱，若（a，b）在原函數(shù)y=f（x）的圖象上（即f（a）=b），則（b，a）在反函數(shù)y=f-1（x）的圖象上（即a=f-1（b）），又f（x）=2x-2+x2，x∈0，2的反函數(shù)f-1x也是增函數(shù)，反函數(shù)的定義域14，2，

值域?yàn)?，2，所以反函數(shù)的最大值為2，

所以y=fx+f-1x的最大值為f（2）+f-1（2）=2+2=4.

點(diǎn)評本題是利用函數(shù)與其反函數(shù)定義和性質(zhì)求解的問題，具體求出反函數(shù)解析式是不可能的，要對函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系很清楚：（1）函數(shù)與其反函數(shù)在其定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性，（2）函數(shù)與其反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱，（3）若點(diǎn)（x，y）在原函數(shù)圖象上，則點(diǎn)（y，x）在其反函數(shù)圖象上.

13運(yùn)用二面角定義圖1

例3（2015年浙江卷理科8）如圖1，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角為α，則（）.

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

解析這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題，在變化中蘊(yùn)含不變的東西.當(dāng)翻折180°時(shí)，若AC=BC，則∠A′DB=α=0，∠A′CB=α=0；當(dāng)AC≠BC時(shí)，∠A′DB>0，∠A′CB>0，α=0.此時(shí)，A和C錯(cuò).

當(dāng)翻折0°時(shí)，α=180°，∠A′DB=180°，∠A′CB<180°.此時(shí)，D錯(cuò).

只有B在兩種情況下均成立，所以選B.

點(diǎn)評二面角的取值范圍是[0°，180°]，即問題包含翻折180°和無翻折的情形，利用這個(gè)特殊情形可快速求解.

1.4運(yùn)用圓錐曲線定義

例4（2015年浙江卷理科5）如圖2所示，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是（）.

A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1

圖2

解析如圖2，過A作AM垂直于準(zhǔn)線x=-1，垂足為M，AM交y軸于A1，過B作BN垂直于準(zhǔn)線x=-1，垂足為N，BN交y軸于B1，則AF=AM，BF=BN，所以

△BCF△ACF=BCAC=CB1CA1=BB1AA1=BF-1AF-1.故選A.

點(diǎn)評利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離相等，可以幫助我們快速解題.圖3

例5（2015年重慶卷理科21）如圖3所示，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1.

（1）若|PF1|=2+2，|PF2|=2-2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若|PF1|=|PQ|，求橢圓的離心率e.

解（1）由橢圓的定義，得2a=|PF1|+|PF2|=（2+2）+（2-2）=4，故a=2.

設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2，得2c=

|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=

（2+2）2+（2-2）2=23，

即c=3，從而b=a2-c2=1.

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.

（2）方法一如圖3，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由點(diǎn)P在橢圓上，且PF1⊥PF2，得

x20a2+y20b2=1，x20+y20=c2，

求得x0=±aca2-2b2，y0=±b2c.

由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0，從而

|PF1|2=（aa2-2b2c+c）2+b4c2

=2（a2-b2）+2aa2-2b2=（a+a2-2b2）2.

由橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a.從而由

|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，得|QF1|=4a-2|PF1|.

又由PF1⊥PF2，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=2|PF1|，因此

（2+2）|PF1|=4a，即（2+2）（a+a2-2b2）=4a，

于是（2+2）（1+2e2-1）=4，解得

e=12×1+（42+2-1）2=6-3.

方法二如圖3，由橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，得|QF1|=4a-2|PF1|.

又由PF1⊥PQ，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=2|PF1|，因此，4a-2|PF1|=2|PF1|，得|PF1|=2（2-2）a，從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2（2-2）a=2（2-1）a.

由PF1⊥PF2，知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=（2c）2，因此

e=ca=|PF1|2+|PF2|22a=

（2-2）2+（2-1）2=9-62=6-3.

點(diǎn)評解這樣的題目，圓的定義、橢圓的定義都派上了用場.

1.5運(yùn)用指數(shù)式與對數(shù)式定義

例6（2015年浙江卷理科12）若a=log43，則2a+2-a=.

解析因?yàn)閍=log43，所以4a=32a=3，所以2a+2-a=3+13=433.

點(diǎn)評這是一個(gè)簡單問題，只要弄清楚指數(shù)式與對數(shù)式轉(zhuǎn)換的定義即可求解.

1.6運(yùn)用奇偶函數(shù)定義

例7（2015年廣東卷理科3）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）.

A.y=1+x2B.y=x+1xC.y=2x+12xD.y=x+ex

解析若f（x）=1+x2，則f（-x）=1+（-x）2=1+x2=f（x）（x∈R），即A是偶函數(shù)；若f（x）=x+1x，則f（-x）=-x-1x=-x+1x=-f（x）（x≠0），即B是奇函數(shù)；若f（x）=2x+12x，則f（-x）=2-x+12-x=12x+2x=f（x）（x∈R），即C是偶函數(shù)；令f（x）=x+ex，則f（1）=1+e，f（-1）=-1+e-1，即f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），所以y=x+ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故選D.

點(diǎn)評本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于容易題.

例8（2015年新課標(biāo)全國卷Ⅰ，理科13）若函數(shù)f（x）=xln（x+a+x2）為偶函數(shù)，則a=.

解析由f（-x）=f（x）得-xln（-x+a+x2）=xln（x+a+x2），即x[ln（x+a+x2）+ln（-x+a+x2]=xlna=0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，因?yàn)閤不恒為0，所以lna=0，所以a=1.

1.7考查充要條件的定義

例9（2015年北京卷理科4）設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且mα.“m∥β”是“α∥β”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析因?yàn)棣?，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且mα.若“m∥β”，則平面α，β可能相交也可能平行，不能推出α∥β，反過來若α∥β，由面面平行定義知α∩β=，又mα，所以m∩β=，所以m∥β，從而“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件.選B.

點(diǎn)評本題考查了面面平行的定義和性質(zhì)，空間直線與平面的位置關(guān)系，充要條件等.

1.8運(yùn)用排列組合定義

例10（新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科10）（x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（）.

A.10B.20C.30D.60

解析在（x2+x+y）5的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中的x2，剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取x，其余因式取y，故x5y2的系數(shù)為C25C13C22=30，故選C.

點(diǎn)評本題還有其它解法，但運(yùn)用排列組合定義能直達(dá)目標(biāo).其實(shí)，二項(xiàng)式定理就是通過排列組合定義推導(dǎo)出來的，利用證明定理的方法解決問題也是重要方法.

1.9應(yīng)用數(shù)列前n項(xiàng)和定義

例11（新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科16）設(shè)n是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=-1，an+1=nn+1，則n=.

解析因?yàn)閍1=-1，an+1=nn+1，所以1=-1，n+1-n=nn+1，所以1n+1-1n=-1，所以數(shù)列1n是首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列，所以1n=-1-（n-1）=-n，所以n=-1n.

點(diǎn)評應(yīng)用數(shù)列前n項(xiàng)和定義得出an+1=n+1-n=nn+1，再構(gòu)造等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵.

1.10新定義問題

例12（2015年浙江卷理科6）設(shè)A，B是有限集，定義：d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的個(gè)數(shù).

命題①：對任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要條件；

命題②：對任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）.

A.命題①和命題②都成立

B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立

D.命題①不成立，命題②成立

解析畫出文氏圖可知，無論是A∩B≠，A∩B=，A=B，AB，BA，命題①均正確，再畫出A、B、C所有可能的情形，可得命題②正確.選A.圖4

例13（2015年北京卷理科8）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖4描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）.

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

解析“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，A錯(cuò)誤；B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B錯(cuò)誤，C中甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km，行駛80km，消耗8升汽油，C錯(cuò)誤，D中某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，選D.

點(diǎn)評本題是函數(shù)應(yīng)用問題，考查了對“燃油效率”新定義的理解及對圖象的理解.新定義問題是高考數(shù)學(xué)的熱門話題，幾乎每年都有此類問題出現(xiàn)——為了公平，為了考查學(xué)習(xí)能力.

在2015年的高考中，我們還可以找到一些運(yùn)用定義解題的例子，可以說，考查定義的掌握程度是高考命題的一個(gè)重要方向.2啟示

定義是思維的基本形式，具有確定研究對象和任務(wù)的作用.數(shù)學(xué)定義則是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映.數(shù)學(xué)定義是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是提高解決問題能力的的前提，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓.因此，數(shù)學(xué)定義教學(xué)是“雙基”教學(xué)的核心之一，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，所以必須引起足夠重視.從2015年的高考題重視對定義的考查，可以預(yù)見未來還會(huì)重視對定義的考查.

在平時(shí)學(xué)習(xí)定義時(shí)，力求明了：①該定義討論的對象是什么？②定義中有哪些規(guī)定和限制條件？它們與已掌握的舊知識(shí)有何聯(lián)系？③定義的名稱、表述的語言有何特點(diǎn)？與日常生活用語、與其它相應(yīng)概念比較，有沒有容易混淆的地方？應(yīng)當(dāng)怎樣區(qū)別？④該定義有沒有重要的等價(jià)敘述？為什么等價(jià)？⑤由該定義中的條件和規(guī)定，能夠歸納出哪些基本的性質(zhì)？各個(gè)性質(zhì)在具體運(yùn)用中有何作用？能派生出哪些數(shù)學(xué)思想方法？等等.

在教學(xué)中要克服定義隨便講，或者講得膚淺的做法.不要以為深刻定義會(huì)擠占習(xí)題的時(shí)間，影響學(xué)生成績的提高.其實(shí)，概念定義清楚了，更容易把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，做題就更節(jié)省時(shí)間，也是提高教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán).

作者簡介童其林，男，1963年生，中學(xué)高級教師，福建省特級教師，龍巖市杰出人民教師，曾有200余篇文章發(fā)表，主要從事教學(xué)管理研究與數(shù)學(xué)教學(xué)研究.