分段函數(shù)

鄒生書(shū)

分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi)，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，卻經(jīng)常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，其值域也是各段函數(shù)值域的并集.分段函數(shù)情形復(fù)雜、綜合性強(qiáng)，能有效考查復(fù)雜函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想，因此分段函數(shù)倍受高考命題人青睞，是歷年高考中的熱點(diǎn)題型.在2015年高考的全國(guó)各省市15份理科試卷中有8份試卷考查了分段函數(shù)，這8道題目均為客觀題且大多為客觀題中的壓軸題，分段函數(shù)成為2015年高考中一道亮麗的風(fēng)景線.下面對(duì)這8道考題一一加以解析，供參考.

例1（浙江卷第10題）已知函數(shù)f（x）=x+2x-3，x≥1，

lg（x2+1），x<1，則f（f（-3））=；f（x）的最小值是.

解因?yàn)閒（-3）=lg10=1，所以f（f（-3））=f（1）=0.

若x≥1，則，f′（x）=x2-2x2，當(dāng)12時(shí)，f′（x）>0，所以f（x）min=f（2）=22-3.若x<1，則f（x）=lg（x2+1）≥f（0）=0.

綜上可知，f（x）的最小值是22-3.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查分段函數(shù)的求值和最值.分段函數(shù)的最小（大）值是各段函數(shù)最?。ù螅┲担ㄈ绻凶钚≈祷蜃畲笾担┲械淖钚。ù螅┱?

例2（福建卷第14題）若函數(shù)f（x）=-x+6，x≤2，

3+logax，x>2（a>0，且a≠1）的值域是[4，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解因?yàn)楫?dāng)x≤2時(shí)，f（x）=-x+6≥4，而函數(shù)f（x）的值域是[4，+∞），故當(dāng)x>2時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，且f（x）>4，即a>1且3+loga2≥4，解得1

點(diǎn)評(píng)本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性和值域，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和值域列不等式組是問(wèn)題解決的關(guān)鍵.

例3（湖北卷第6題）已知符號(hào)函數(shù)sgnx=1，x>0，

0，x=0，

-1，x<0.f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），則（）.

A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=-sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

解因?yàn)閒（x）是R上的增函數(shù)，且a>1，所以當(dāng)x>0時(shí)，xax，則f（x）>f（ax），從而g（x）>0.由符號(hào)函數(shù)的定義知，sgn[g（x）]=1，g（x）>0，

0，g（x）=0，

-1，g（x）<0，=1，x<0，

0，x=0，

-1，x>0，=--1，x<0，

0，x=0，

1，x>0，即sgn[g（x）]=-sgnx，故選B.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查符號(hào)函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性，考查考生運(yùn)用新概念解決問(wèn)題的能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)潛能.

例4（山東卷第10題）設(shè)函數(shù)f（x）=3x-1，x<1，

2x，x≥1，則滿(mǎn)足f（f（a））=2f（a）的a的取值范圍是（）.

A.[23，1]B.[0，1]C.[23，+∞）D.[1，+∞）

解①因?yàn)楫?dāng)x<1時(shí)，f（x）=3x-1單調(diào)遞增，且f（x）

點(diǎn)評(píng)函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用是本題獲得簡(jiǎn)解的關(guān)鍵.

例5（北京卷第14題）設(shè)函數(shù)f（x）=2x-a，x<1，

4（x-a）（x-2a），x≥1.①若a=1，則f（x）的最小值為；②若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.圖1

解①若a=1，則f（x）=2x-1，x<1，

4（x-1）（x-2），x≥1，作

f（x）的圖象如圖1所示.由圖可得f（x）的最小值為-1.

②法1注意到，當(dāng)x<1時(shí)，f（x）=2x-a=0

x=log2a<10

（1）若a≤0，由上知，當(dāng)x<1時(shí)，f（x）=2x-a無(wú)零點(diǎn)；而當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=4（x-a）（x-2a）無(wú)零點(diǎn).

（2）若0

（3）若a≥2，由上知，當(dāng)x<1時(shí)，f（x）=2x-a無(wú)零點(diǎn)；而當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=4（x-a）（x-2a）恰有兩個(gè)零點(diǎn)a，2a，故a≥2滿(mǎn)足條件.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[12，1）∪[2，+∞）.圖2圖3

法2當(dāng)a≥1時(shí)，作出f（x）的圖象如圖2所示.

要使f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則其圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)2-a≤0，即a≥2.

當(dāng)a<1時(shí)，作出f（x）的圖象如圖3所示.

f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)a<1≤2a，

2-a>0，解得

12≤a<1.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[12，1）∪[2，+∞）.