無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積等于零嗎

無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積等于零嗎？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，我與很多同行老師進(jìn)行了探討，歸納為兩種觀點(diǎn).一種觀點(diǎn)是：“無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積一定不等于零，原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)槿绻e等于零，則至少有一個(gè)因數(shù)等于零.”另一種觀點(diǎn)是：“無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積一定等于零，原因也很簡(jiǎn)單，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)乘一個(gè)大于零小于1的數(shù)的積會(huì)變小，因此無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積會(huì)越乘越小，最終積等于零.”

這兩種觀點(diǎn)究竟正確不正確？下面，我們進(jìn)行討論.

首先，第一種觀點(diǎn)是不正確的.眾所周知，“如果有限個(gè)數(shù)的乘積等于零，則至少有一個(gè)因數(shù)等于零”這個(gè)結(jié)論，第一種觀點(diǎn)不正確的根源是錯(cuò)誤地將無(wú)限當(dāng)作有限來(lái)處理.我們都知道“量變引起質(zhì)變”這個(gè)哲學(xué)原理.事實(shí)上，無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積可以等于零.例如，文[1]給出了這樣一個(gè)例題：如果0

其次，第二種觀點(diǎn)也不正確，其根源是考慮問(wèn)題不全面.雖然有無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積等于零，但是也有無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積不等于零，也就是說(shuō)無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)的乘積不一定都等于零. 事實(shí)上，文[2]給出了這樣幾個(gè)例題.

例1當(dāng)n=2，3，4，…時(shí)，0<1-1n<1，則 limn→∞（1-1n）n2=0，即無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)1-1n的乘積等于零.

解令y=（1-1x）x2， 因?yàn)?由洛必達(dá)法則得

limx→+∞ln y=limx→+∞x2ln（1-1x）=limx→+∞lnx-1x1x2

=limx→+∞xx-1·1x2-2x3=limx→+∞-x22x-1=-∞，

所以limx→+∞（1-1x）x2=0，故limn→∞（1-1n）n2=0 .

例2當(dāng)n=2，3，4，…時(shí)，0<1-1n<1，則 limn→∞（1-1n）n=1e，即無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)1-1n的乘積不等于零.

解 由文[3]，limx→+∞（1-1x）x=1e，得limn→∞（1-1n）n=1e.

例3當(dāng)n=2，3，4，…時(shí)，0<1-1n2<1，則 limn→∞（1-1n2）n=1，即無(wú)限個(gè)大于零小于1的數(shù)1-1n2的乘積等于1.

解由文[4]知limn→∞（1-1n2）n=elim[]n→∞[X）]-1n2·n=e0=1.

綜上所述，我們得到以下結(jié)論：

結(jié)論1 無(wú)限個(gè)相等的大于零小于1的數(shù)的乘積一定等于零.

實(shí)際上，結(jié)論1是針對(duì)指數(shù)函數(shù)而言的.但對(duì)于像例1、例2、例3中的數(shù)的乘積，情況就不同了.實(shí)際上它們都是冪指函數(shù)，比如，n=100，例1相當(dāng)于是10000個(gè)0.99相乘；例2相當(dāng)于是100個(gè)0.99相乘；例3相當(dāng)于是100個(gè)0.9999相乘.因此，對(duì)于像這樣的冪指函數(shù)的乘積，我們得出以下結(jié)論：

結(jié)論2無(wú)限個(gè)大于零小于1的呈現(xiàn)冪指函數(shù)形式的數(shù)的乘積不一定等于零.

就是說(shuō)無(wú)限個(gè)大于零小于1的呈現(xiàn)冪指函數(shù)形式的數(shù)的乘積可能等于零，可能等于介于零與1之間的某個(gè)數(shù)，也可能等于1.

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014，27-28.

[2]薛利敏.觀察法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，（19）：9-13.

[3]薛利敏，趙小鵬. 高等數(shù)學(xué)（第三版）[M].西安：西北大學(xué)出版社，2014，39.

[4]陳文燈，黃先開(kāi).考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南[M].北京：世界圖書(shū)出版公司，2010，25.

作者簡(jiǎn)介田亞麗，女，1965年9月生，陜西渭南人，中學(xué)高級(jí)教師，陜西省省級(jí)教學(xué)能手，發(fā)表論文20余篇.