第7講 “統(tǒng)計(jì)與概率”復(fù)習(xí)精講

魏祥勤

7.1

統(tǒng)計(jì)

核心知識(shí)梳理

本節(jié)知識(shí)塊主要有收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)；用扇形圖、條形圖及頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖表示數(shù)據(jù)，計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，用樣本的平均數(shù)、方差估計(jì)總體的平均數(shù)和方差，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果作出合理的判斷和預(yù)測(cè).

重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)解析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：總體、個(gè)體、樣本的概念，計(jì)算平均數(shù)，選擇合適的統(tǒng)計(jì)量表示數(shù)據(jù)的集中程度，列頻數(shù)分布表，畫頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，用樣本的某些特征估計(jì)總體的相應(yīng)特征.

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：計(jì)算一組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，計(jì)算樣本的方差，運(yùn)用方差估計(jì)幾組數(shù)據(jù)的離散程度，用樣本估計(jì)總體的思想方法的應(yīng)用.

高頻考點(diǎn)：對(duì)于調(diào)查方式，通常是考查抽樣調(diào)查與普查：對(duì)于數(shù)據(jù)分析，通常是考查一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)，計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，運(yùn)用方差對(duì)幾組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性作出判斷，對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表的分析，通常是扇形圖、條形圖或頻數(shù)分布圖表綜合，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、整理與描述，結(jié)合樣本信息對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).

易混易錯(cuò)點(diǎn)：扇形統(tǒng)計(jì)圖中角度與百分比的轉(zhuǎn)換出錯(cuò)；總體、個(gè)體與樣本描述不當(dāng)；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的單位遺漏；對(duì)于兩組數(shù)據(jù)的方差的比較，辨析數(shù)據(jù)穩(wěn)定性出錯(cuò).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：了解總體、個(gè)體與樣本，以及頻數(shù)分布的意義和作用，掌握用扇形圖、直方圖、折線圖表示數(shù)據(jù)，列頻數(shù)分布表，畫頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，選擇合適的統(tǒng)計(jì)量表示數(shù)據(jù)的集中程度，計(jì)算極差與方差，用樣本的平均數(shù)、方差估計(jì)總體的平均數(shù)與方差，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果作出合理的判斷和顱測(cè)：體會(huì)抽樣調(diào)查的必要性，用樣本估計(jì)總體的思想及統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用.

規(guī)律方法總結(jié)

1.幾種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)

條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示每部分的具體數(shù)據(jù)，是從頻數(shù)、頻率上分析數(shù)據(jù)；折線統(tǒng)計(jì)圖能清楚地反映數(shù)據(jù)的變化情況，主要是數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)上比較分析數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示各部分在總體中所占的百分比主要從頻率或百分比上作比較分析.

2.畫頻數(shù)分布直方圖的一般步驟

（I）計(jì)算最大值與最小值的差（極差）；（2）確定組距和組數(shù)；（3）確定分點(diǎn)；（4）列頻數(shù)分布表；（5）畫出頻數(shù)分布直方圖.

3.普查和抽樣調(diào)查的選擇判斷

（1）兩者的識(shí)別關(guān)鍵是弄清“調(diào)查范圍”，若是對(duì)所有考察對(duì)象做的全面調(diào)查，就是普查；若是對(duì)部分考察對(duì)象做的調(diào)查，就是抽樣調(diào)查；（2）普查具有調(diào)查結(jié)果精確的優(yōu)點(diǎn)，但是當(dāng)我們考察的對(duì)象多得數(shù)不勝數(shù)時(shí)，或者考察會(huì)對(duì)考察對(duì)象帶來損傷破壞的時(shí)候，或者考察所需時(shí)間、人力、物力有限時(shí)，普查就受到了局限，抽樣調(diào)查就具有了無可比擬的優(yōu)越性.

4.計(jì)算時(shí)注意：（1）當(dāng)數(shù)據(jù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，中位數(shù)有可能不是原數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)字.（2）眾數(shù)的個(gè)數(shù)有時(shí)不唯一.

重要考點(diǎn)題型例析

一、普查與抽樣調(diào)查

例1 （2014.內(nèi)江）下列調(diào)查中：①調(diào)查本班同學(xué)的視力；②調(diào)查一批節(jié)能燈管的使用壽命；③為保證“神舟9號(hào)”的成功發(fā)射，對(duì)其零部件進(jìn)行檢查；④對(duì)乘坐某班次客車的乘客進(jìn)行安檢，其中適合采用抽樣調(diào)查的是（）.

A.①

B.②

C.③

D.④

解析：①適合普查，故①不適合抽樣調(diào)查；②調(diào)查具有破壞性，故適合抽樣調(diào)查，故②符合題意；③調(diào)查要求準(zhǔn)確性，故③不適合抽樣調(diào)查；④安檢適合普查，故④不適合抽樣調(diào)查.故選B.

反思：本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考察的對(duì)象的特征靈活選用，一般來說，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查：對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.

二、總體、個(gè)體、樣本和樣本容量

例2 （2014.巴中）今年我市有4萬名學(xué)生參加中考，為了了解這些考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取2 000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問題中，有下列說法：①這4萬名考生的數(shù)學(xué)中考成績(jī)的全體是總體；②每個(gè)考生是個(gè)體；③2 000名考生是總體的一個(gè)樣本；④樣本容量是2 000.其中說法正確的有（）.

A.4個(gè)

B.3個(gè)

C.2個(gè)

D.1個(gè)

解析：8這4萬名考生的數(shù)學(xué)中考成績(jī)的全體是總體；每個(gè)考生的數(shù)學(xué)中考成績(jī)是個(gè)體；2 000名考生的中考數(shù)學(xué)成績(jī)是總體的一個(gè)樣本，樣本容量是2 000.故正確的是①④.故選C.

反思：本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念，解題要分清具體問題中的總體、個(gè)體與樣本，關(guān)鍵是明確考察的對(duì)象.總體是指考察的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考察的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目.總體、個(gè)體與樣本的考察對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個(gè)體的數(shù)目，不能帶單位.

三、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的應(yīng)用

例3 （2014.齊齊哈爾）現(xiàn)測(cè)得齊齊哈爾市扎龍自然保護(hù)區(qū)六月某五天的最高氣溫分別為27、30、27、32.34（單位：℃），這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）.

A.34、27

B.27、30

C.27、34

D.30、27

解析：27出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是27；把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為27，27，30，32，34，最中間的數(shù)是30，則中位數(shù)是30.故選B.

反思：此題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).注意根據(jù)數(shù)據(jù)特征，眾數(shù)有時(shí)個(gè)數(shù)不唯一，眾數(shù)是數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)或是某幾個(gè)數(shù)，而中位數(shù)只有一個(gè)，根據(jù)數(shù)字特征，中位數(shù)不一定是數(shù)據(jù)中的數(shù)字.平均數(shù)唯一，不一定與數(shù)據(jù)中的數(shù)字相同.在這一紕數(shù)據(jù)中l(wèi)是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是1；將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為-2，1，1，2，4，6，處于中間位置的兩個(gè)數(shù)是1，2，那么由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)足（1+2）÷2=1.5；極差為6-（-2）=8.故選D.

反思：此題考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差的意義.平均數(shù)足指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)：一組數(shù)據(jù)lf1…現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作眾數(shù)；中位數(shù)足將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪袉柕哪莻€(gè)數(shù)（或最中問兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）；極差是一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差.

例6 （2014.三明）甲、乙兩支儀仗隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)相同，平均身高相同，身高的方差分別為（），則甲、乙兩支儀仗隊(duì)的隊(duì)員身高更整齊的是____（填“甲”或“乙”）.

解析：由（），故甲、乙兩支儀仗隊(duì)的隊(duì)員身高更整齊的是甲.

反思：本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的機(jī)量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，一般地，對(duì)于已知兩組數(shù)據(jù)的方差，確定某，組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定的問題，結(jié)合方差意義，直接進(jìn)行判斷即可.

五、根據(jù)平均數(shù)與方差進(jìn)行合理的判斷

例7 （2014.東營(yíng)）市運(yùn)會(huì)舉行射擊比賽，某校射擊隊(duì)從甲、乙、丙、丁四人中選拔一人參賽，在選拔賽中，每人射擊10次，計(jì)算他們10發(fā)成績(jī)的平均數(shù)（環(huán)）及方差如下表，清你根據(jù)表l中數(shù)據(jù)選一人參加比賽，最合適的人選是

.

解析：因甲、乙、丙、丁四個(gè)人中甲和丙的平均數(shù)最大且相等，四個(gè)人中丙的方差最小，說明丙的成績(jī)最穩(wěn)定，故綜合平均數(shù)和方差兩個(gè)方面說明丙成績(jī)既高又穩(wěn)定.故最合適的人選是丙.

反思：本題考查根據(jù)平均數(shù)和方差的意義進(jìn)行合理的判斷，一般地，在平均數(shù)相等或相差很小的情況下，選擇穩(wěn)定性較好（方差較?。┑臄?shù)組，另一方面在方差相等或相差很小的情況下，選擇平均數(shù)較好的數(shù)組.對(duì)于平均數(shù)與方差綜合的辨析問題，應(yīng)當(dāng)從平均數(shù)與方差兩個(gè)角度綜合思考，選擇平均成績(jī)較好且穩(wěn)定性也較好的數(shù)組.

六、根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖、表的信息確定某些數(shù)據(jù)

例8 （2014.揚(yáng)州）如圖1，某校根據(jù)學(xué)生上學(xué)方式的一次抽樣調(diào)查結(jié)果，繪制出一個(gè)未完成的扇形統(tǒng)計(jì)圖，若該校共有學(xué)生700人，則據(jù)此估計(jì)步行的有

人.

反思：本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖及用樣本估計(jì)總體的某些特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖中得出步行上學(xué)學(xué)生所占的百分比，運(yùn)用總體數(shù)據(jù)乘以樣本中這部分占樣本容量的百分比即可求解.

例9 （2014.柳州）一位射擊運(yùn)動(dòng)員在10次射擊訓(xùn)練中，命中靶的環(huán)數(shù)如圖2.請(qǐng)你根據(jù)表2，完成下列問題：

（1）補(bǔ)充完成下面成績(jī)表單（表2）的填寫.

（2）求該運(yùn)動(dòng)員這10次射擊訓(xùn)練的平均成績(jī).

解析：根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)表：運(yùn)用平均數(shù)計(jì)算公式，求出該運(yùn)動(dòng)員射擊總環(huán)數(shù)除以10即可.

（1）由折線統(tǒng)計(jì)圖得出第一次射擊環(huán)數(shù)為8，第二次射擊環(huán)數(shù)為9，第三次射擊環(huán)數(shù)為7.

（2）運(yùn)動(dòng)員這10次射擊訓(xùn)練的平均成績(jī)：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5（環(huán)）.

反思：本題主要考查了統(tǒng)計(jì)表、折線統(tǒng)計(jì)圖和平均數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能從折線統(tǒng)計(jì)圖中正確找出數(shù)據(jù)表格中缺少的數(shù)據(jù)，運(yùn)用平均數(shù)計(jì)算公式求值，易錯(cuò)點(diǎn)是不能正確理解折線統(tǒng)計(jì)圖中關(guān)鍵點(diǎn)的意義.折線圖與條形圖相同的性質(zhì)是都能夠準(zhǔn)確標(biāo)明某一組的數(shù)據(jù)，因此折線圖中折線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即對(duì)應(yīng)著條形圖上的某一組的頻數(shù).

中考命題預(yù)測(cè)

1.以下問題，不適合用全面調(diào)查的是（）.

A.旅客上飛機(jī)前的安檢

B.學(xué)校招聘教師，對(duì)應(yīng)聘人員的面試

C.了解全校學(xué)生的課外讀書時(shí)間

D.了解一批燈泡的使用壽命

2.某中學(xué)隨機(jī)調(diào)查了15名學(xué)生，了解他們一周在校參加體育鍛煉時(shí)間，列表如表3.

則這15名同學(xué)一周在校參加體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）.

A.6，7

B.7，7

C.7，6

D.6，6

3.在一個(gè)有15萬人的小鎮(zhèn)，隨機(jī)調(diào)查了3 000人，其中有300人看中央電視臺(tái)的早間新聞，據(jù)此，估計(jì)該鎮(zhèn)看中央電視臺(tái)早間新聞的約有（）.

A.2.5萬人 B.2萬人 C.1.5萬人 D.1萬人

4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)五次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表4.如果從這四位同學(xué)中，選出一位成績(jī)較好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學(xué)參加全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽，那么應(yīng)選（）.

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

5.在2014年的體育中考中，某校6名學(xué)生的體育成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖3，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、方差依次是（）.

A.18，18，1

B.18，17.5，3

C.18，18，3

D.18，17.5，1

6.某中學(xué)隨機(jī)抽查了50名學(xué)生，了解他們一周的課外閱讀時(shí)間，結(jié)果如表5所示.

則這50名學(xué)生一周的平均課外閱讀時(shí)間是______小時(shí).

7.-組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為l，2，3，x，4，5，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3，則這組數(shù)據(jù)的方差是______________________.

8.某中學(xué)對(duì)全校1 200名學(xué)生進(jìn)行“校同安全知識(shí)”的教育活動(dòng)，從l 200名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，成績(jī)?cè)u(píng)定按從高分到低分排列分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，繪制了圖4、圖5兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：

（1）本次抽查的學(xué)生共有多少人7

（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

（3）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A”所在扇形圓心角的度數(shù).

（4）估計(jì)全?！癉”等級(jí)的學(xué)生有多少人.

7.2. 概率

核心知識(shí)梳理

本節(jié)知識(shí)塊主要有概率的意義；用列舉法（包括列表法、樹形圖法）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率；大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率可以作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；運(yùn)用概率解決一些實(shí)際問題.

重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)解析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：明確用列舉法求概率的適用條件、原理和步驟；熟悉運(yùn)用列表法和樹形圖求概率并能簡(jiǎn)單應(yīng)用，

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：從各種情境中抽象出事物的本質(zhì)特征，建立數(shù)學(xué)模型，形成思想方法.

高頻考點(diǎn)：確定事件與隨機(jī)事件的辨析；概率的計(jì)算；統(tǒng)計(jì)與概率綜合問題，

易混易錯(cuò)點(diǎn)：辨析事件發(fā)生的可能性大小時(shí)忽視可能事件與確定事件的區(qū)別，概率計(jì)算中不能用樹形圖或列表法分析事件所有等可能的結(jié)果，忽視兩次抽取卡片、摸取小球問題中第一次操作后是否放回之間的區(qū)別.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：熟練掌握用列舉法（包括列表法、樹形圖法）計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

規(guī)律方法總結(jié)

1.事件的區(qū)分

事件分不可能事件、可能事件與必然事件，發(fā)生的機(jī)會(huì)：不可能事件發(fā)生的機(jī)會(huì)為0，可能事件發(fā)生的機(jī)會(huì)大于0且小于1，必然事件發(fā)生的機(jī)會(huì)為1.

2.可能事件的定性描述

“不太可能”發(fā)生是指發(fā)生的可能性很小，但不是0；“很有可能”發(fā)生是指發(fā)生的機(jī)會(huì)很大，但不是l00%.

3.游戲的“公平”與“不公平”

“公平”的游戲是指事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是相等的，“不公平”的游戲是指事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是不相等的.

4.事件發(fā)生的規(guī)律性

在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生與否具有不穩(wěn)定性，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率將逐漸趨于穩(wěn)定，反映在折線圖上為“隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，折線將穩(wěn)定在某一數(shù)值的左右平穩(wěn)波動(dòng)”.

5.頻率與機(jī)會(huì)的關(guān)系

頻率與機(jī)會(huì)在試驗(yàn)中可以非常接近，但不一定相等，在卡H同的條件下，可以通過大量試驗(yàn)得出的頻率值來估計(jì)機(jī)會(huì)的大小.

6.模擬試驗(yàn)的要求

不管是實(shí)物模擬或者是計(jì)算機(jī)模擬，都必須保證試驗(yàn)是在相同條件下進(jìn)行，否則會(huì)影響試驗(yàn)結(jié)果.

7.畫樹形圖的方法及樹形圖、列表法的選擇

在用樹形圖表示等可能事件時(shí)，對(duì)于相同的物體或事物要進(jìn)行編號(hào)，通常是當(dāng)一次試驗(yàn)中涉及三個(gè)或更多因素時(shí)，用樹形圖法，而試驗(yàn)的因素不超過兩個(gè)時(shí)，用列表法比較合適.

8.概率的意義

概率表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小，也就是大量重復(fù)試驗(yàn)中得到的頻率值，或者說是事件發(fā)生的機(jī)會(huì)，必然事件的概率是l，即P（必然事件）=1，不可能事件的概率是0，即P（不可能事件）=0.隨機(jī)事件的概率介于0與1之間.若A是隨機(jī)事件，則O

9.概率的計(jì)算

簡(jiǎn)單概率的計(jì)算，就是要求用分?jǐn)?shù)來表示簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性大小，從概率的意義來看，要求某一事件發(fā)生的概率，必須且只需弄清兩個(gè)數(shù)字：操作過程中所有等可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)量，及該事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)量，按照公式求出概率值，P（所關(guān)注的事件）=所關(guān)注事件的結(jié)果數(shù)量；對(duì)于復(fù)雜事件發(fā)生的概率，可所有等可能的結(jié)果以借助“樹形圖”或“列表法”進(jìn)行計(jì)算.

重要考點(diǎn)題型例析

三、事件的判斷

例1 （2014.聊城）下列說法中不正確的是（）.

A.拋擲一枚硬幣，硬幣落地時(shí)正面朝上是隨機(jī)事件

B.把4個(gè)球放人三個(gè)抽屜中，其中一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)球是必然事件

C.任意打開七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教科書，正好是97頁是確定事件

D.一個(gè)盒子中有白球m個(gè)，紅球6個(gè)，黑球n個(gè)（每個(gè)除了顏色外都相同）.如果從中任取一個(gè)球，取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同，那么m與n的和是6

解析：根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的慨念以及概率的求法即可作出判斷，選項(xiàng)C：中任意打開七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教科書，正好是97頁是不確定事件，故此說法錯(cuò)誤.故選C.

反思：考查了隨機(jī)事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念以及概率的求法.必然事件是指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

二、用概率公式求概率

例2（2014.湖州）已知一個(gè)布袋里裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和n個(gè)黃球，這些球除顏色外其余郜棚同.若從該布袋里任意摸出1個(gè)球，是紅球的概率為

，則α等于（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：8首先根據(jù)題意，運(yùn)用概率計(jì)算公式構(gòu)造含有字母α的方程，通過解方程即可確定α的值.根據(jù)題意得（），解得α=l，經(jīng)檢驗(yàn)，α=l是原分式方程的解故選A

反思：此題考查了概率公式的應(yīng)用，運(yùn)用概率計(jì)算公式建立方程模型，通過解方程即可確定待求字母α的值.根據(jù)題目信息得出分式方程，因此求解后應(yīng)當(dāng)對(duì)字母α的值進(jìn)行檢驗(yàn).

例3 （2014.廈門）一個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤被平均分成紅、黃、藍(lán)、白4個(gè)扇形區(qū)域，向其投擲一枚飛鏢，飛鏢落在轉(zhuǎn)盤上，則落在黃色區(qū)域的概率是

.

解析：根據(jù)概率公式，求出黃色區(qū)域的面積與總面積的比即可解答.圓形轉(zhuǎn)盤平均分成紅、黃、藍(lán)、白 4個(gè)

反思：本題考查了幾何概率的運(yùn)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是概率計(jì)算公式，對(duì)于與面積有關(guān)的概率計(jì)算問題，在解答時(shí)可以運(yùn)用面積法，得出所求事件的概率為相應(yīng)的面積與總面積之比.

三、用列表法或樹形圖法求概率

例4 （2014.南寧）第45屆世界體操錦標(biāo)賽將于2014年10月3日至12日在南寧隆重舉行，屆時(shí)某校將從小記者團(tuán)內(nèi)負(fù)責(zé)體育賽事報(bào)道的3名同學(xué)（2男1女）中任選2名前往采訪，那么選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的概率是______.

解析：列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的情況數(shù)，即可求出概率，記兩個(gè)男同學(xué)為男1、男2，列表如表1.

反思：此題考查了列表法與樹形圖法，注意列表或畫樹形圖時(shí)，不可忽視所選取的應(yīng)當(dāng)是不同的兩個(gè)人.即表格中左上、右下方向上的對(duì)角線上情況不存在，畫樹形圖時(shí)，第二次選取時(shí)，每一種情況下只有不同的兩種情況，因此總情況個(gè)數(shù)是3x2=6.

例5 （2014.玉林、防城港）一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小、形狀相同的四個(gè)球，其中紅球1個(gè)、綠球1個(gè)、白球2個(gè)，小明摸出一個(gè)球不放回，再摸出一個(gè)球，則兩次都摸到白球的概率是（）.

解析：首先根據(jù)題意畫出樹形圖，然后由樹形圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到白球的情況，再利用概率公式即可求得答案.

記兩個(gè)白球?yàn)榘?、白2，畫樹形圖如圖1.件A，事件4有2種情況，故（）.故答案為C.

反思：本題考查的是用列表法或畫樹形圖法求概率，列表法或畫樹形圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹形圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，注意題目中的條件“摸出一個(gè)球不放回，再摸出一個(gè)球”，因此摸球所有等可能的結(jié)果的個(gè)數(shù)是4x3=12，與摸出一球記下顏色后放回情況不同，另外題目中有兩個(gè)白球，為了準(zhǔn)確表示前后兩次摸球時(shí)摸出的是哪一個(gè)白球，需要用數(shù)字1、2對(duì)白球進(jìn)行標(biāo)注，當(dāng)紅球與綠球不是1個(gè)時(shí)，也按照此法標(biāo)注.

四、概率與方程、函數(shù)、幾何圖形有關(guān)計(jì)算的綜合問題

例6（2014.本溪）已知關(guān)于x的一元二次方程X2+bx+c=0，從-1，2，3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，作為方程中6的值，再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)作為方程中。的值，能使該一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率是______ .

解析：先利用樹形圖展示所有6種等可能的結(jié)果，再根據(jù)判別式的意義得到當(dāng)b=2，c=-l；b=3，c=-l；b=3，c=2時(shí)，該一元二次方程有實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)概率公式計(jì)算.畫樹形圖如圖2.

五、統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題

例8（2014.十堰）據(jù)報(bào)道，“國(guó)際剪刀石頭布協(xié)會(huì)”提議將“剪刀石頭布”作為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目.某校學(xué)生會(huì)想知道學(xué)生對(duì)這個(gè)提議的了解程度，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次問卷調(diào)查，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖如圖4、圖5.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題：

（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有____名，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為____；請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）若該校共有學(xué)生900人，請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校學(xué)生中對(duì)將“剪刀石頭布”作為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目的提議達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù).

（3）“剪刀石頭布”比賽時(shí)雙方每次任意出“剪刀”、“石頭”、“布”這三種手勢(shì)中的一種，規(guī)則為：剪刀勝布，布勝石頭，石頭勝剪刀，若雙方出現(xiàn)相同手勢(shì)，則算打平.若小剛和小明兩人只比賽一局，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求兩人打平的概率.

反思：此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖以及用列表法與樹狀圖法求概率.弄清題意，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息，及明白游戲規(guī)則是解本題的關(guān)鍵，注意條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖中的信息轉(zhuǎn)換，條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小，注意扇形統(tǒng)計(jì)圖中每一部分占樣本的百分比與扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形圓心角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，圓心角的大小等于某部分占樣本的百分比與360。的乘積.結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖中的已知數(shù)據(jù)，運(yùn)用部分占整體的百分比及這部分的頻數(shù)，確定整體數(shù)量，即樣本容量.另外注意樣本的某些特征對(duì)總體的對(duì)應(yīng)特征進(jìn)行預(yù)測(cè)的思想方法的靈活運(yùn)用.概率的汁算注意選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎舅械瓤赡艿那闆r，運(yùn)川概率公式求解.

5.在一個(gè)不透明的袋子中裝有若干個(gè)除顏色外形狀大小完全相同的球，如果其中有3個(gè)白球，且摸出白球的概率是（），那么袋子中共有球________個(gè).

6.抽屜里放著黑白兩種顏色的襪子各1雙（除顏色外其余都相同），在看不見的情況下隨機(jī)摸出兩只襪子，它們恰好同色的概率是 ________.

7.天水市某校從三名男生和兩名女生中選出兩名同學(xué)作為“伏羲文化節(jié)”的志愿者，則選出一男一女的概率為________.

8.在四邊形ABCD中，（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）A B=CD，（4）AD=BC，在這四個(gè)條件中任選兩個(gè)作為已知條件，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的概率是________.

9.在一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有數(shù)字-3、-1、0、2的四個(gè)小球，除數(shù)字不同外，小球沒有任何區(qū)別，每次試驗(yàn)先攪拌均勻.

（1）從中任取一球，求抽取的數(shù)字為正數(shù)的概率.

（2）從中任取一球，將球上的數(shù)字記為α，求關(guān)于x的一元二次方程ax2-2ax+a+3=0有實(shí)數(shù)根的概率.

（3）從中任取一球，將球上的數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為x（不放回）；再任取一球，將球上的數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，記為y.試用畫樹狀圖（或列表法）表示出點(diǎn)（x，y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求點(diǎn)（x，y）落在第二象限內(nèi)的概率.